1 1

ВЕСТНИК

Тамбовского Университета

Научно-теоретический и практический журнал

Серия:

Естественные и технические науки

Том 14, вып. 4, 2009

Журнал основан 5 февраля 1996 г.

Журнал Тамбовского государственного университета им. Г.Р. Державина

Журнал входит в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Материалы международной конференции

�КОЛМОГОРОВСКИЕ ЧТЕНИЯ.

Общие проблемы управления и их приложения (ОПУ-2009)�, посвященной 15-летию

Тамбовского государственного университета имени Г.Р. Державина

и 80-летию Института математики, физики и информатики ТГУ имени Г.Р. Державина. 5–9 октября 2009 г., Тамбов

Е.В. Абрамова Об оптимальном восстановлении решения задачи Дирихле для полуплоскости по нечетным данным

654

А.А. Артемов Канонические представления обобщенной группы Лоренца на сфере

656

А.А. Бетин Вычисление присоединенной матрицы на многопроцессорном кластере

659

М.С. Близорукова О реконструкции неизвестных характеристик в системах второго и третьего порядков

661

Г.П. Бочкарёв Исследование одного обобщения неравенства Виртингера вариационными методами

663

E. Bravyi On the solvability of resonance boundary value problems for functional differential equations with monotone operators

665

А.И. Булгаков, Е.В. Корчагина О реализации расстояния на множестве решений функционально-дифференциального включения с многозначными импульсными воздействиями

667

А.И. Булгаков, Е.В. Корчагина, О.В. Филиппова Полунепрерывная снизу зависимость от параметров множеств решений функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями

671

А.И. Булгаков, J.P. Munembe Связность множества решений задачи Коши функционально-дифференциального уравнения с вольтерровым оператором и импульсными воздействиями

673

А.И. Булгаков, О.В. Филиппова О продолжаемости обобщенных решений функционально-дифференциальных включений с вольтерровым оператором и импульсными воздействиями

676

E.O. Бурлаков О корректности краевых задач для управляемых систем с отклоняющимся аргументом

680

Е.В. Водолажская  Преобразование Радона на плоскости над конечным кольцом  683

Н.Б. Волотова Индикаторные системы, связанные с пара-эрмитовыми пространствами ранга один

685

А.А. Вышинский Бифуркации периодических колебаний в нелинейных системах управления

687

А.Б. Гельман  Об h-вполне непрерывных многозначных отображениях  689
Б.Д. Гельман  Об ацикличности множества решений операторных уравнений  690

Д.С. Гладких Оценки снизу тригонометрических сумм в пространствах Марцинкевича

691

О.В. Гришина Полиномиальное квантование для комплексного пара-эрмитова пространства

693

Л.И. Грошева Канонические представления на комплексных гиперболических пространствах

695

C. Djinja, Y. Nepomnyashchikh, A. Ponossov, A. Shindiapin Gluing of functions and local operators

698

А.М. Добычин Об одном варианте децентрализованного управления параллельным вычислительным процессом

701

В.И. Дождиков  Компьютерная алгебра в задачах распространения тепла  703

В.И. Дождиков, С.В. Порядин, К.В. Дождиков Оптимизация управления процессом теплопроводности в твердом теле

704

Ю.В. Дунин  Гармонический анализ на плоскости Лобачевского–Галилея  706

В.А. Дыхта, О.Н. Самсонюк Оценки множеств достижимости и достаточные условия оптимальности для нелинейных управляемых систем с разрывными траекториями

707

Е.С. Жуковский, M.J. Alves Вольтерровые отображения метрических пространств

710

С.Е. Жуковский Некоторые свойства решений включений с накрывающей левой частью

712

В.А. Зайцев  Управление спектром собственных значений билинейных систем  713

М.С. Ильина Гармонический анализ на однополостном гиперболоиде над конечным полем

716

Р.С. Исмагилов О колмогоровских поперечных кривых в гильбертовом пространстве

717

Р.И. Кадиев Устойчивость решений нелинейных стохастических функционально–дифференциальных уравнений

718

А.Ф. Клейменов Построение нэшевских решений в неантагонистической позиционной дифференциальной игре двух лиц

720

С.В. Кольцова  Конечное преобразование Радона  723

С.В. Кольцова Об одной задаче дискретной оптимизации на фактор-матроиде простого графа

724

V. Kornyak Computer algebra study of symmetries in discrete dynamical systems

726

Е.В. Корчагина О продолжаемости решений функционально-дифференциальных включений с многозначными импульсными воздействиями

727

А.О. Лапаев О вычислении многомерного дискретного преобразования Фурье в простом поле

729

А.С. Ларионов, В.В. Лузгин, В.В. Панасов Исследование динамики систем автоматического регулирования с запаздыванием

731

П.Д. Лебедев, А.А. Успенский Построение решений динамических задач на основе множеств симметрии

733

И.В. Лисаченко, В.И. Сумин Нелинейная управляемая задача Гурса–Дарбу: условия сохранения разрешимости �в целом�

735

Н.В. Лой О применении метода интегральных направляющих к задаче о бифуркации периодических решений дифференциальных включений

737

Л.И. Лурье, Б. Касси Культурологическая направленность математического моделирования в образовании Мозамбика

740

В.И. Максимов Об исследовании некоторых задач реконструкции и управления с помощью экстремального сдвига

741

Г.И. Малашонок  О проекте параллельной компьютерной алгебры  743

N. Malaschonok An algorithm for symbolic solving of differential equations and estimation of accuracy

747

Н.А. Малашонок  Применение ядер Сеге для аппроксимации функций рядами  749

В.Г. Малинов Метод оптимизации в задаче расчёта оптимальной траектории самолёта

751

О.А. Малыгина Формирование профессиональной мобильности студентов технического университета как педагогическая проблема

754

С.С. Мамонов Вращательные режимы системы частотно-фазовой автоподстройки частоты с инвертированной характеристикой частотного детектора

756

O. Marichev  Two worlds of mathematical formulas: Mathematica` s and classical 758

A. Machina  The Filippov theory and its application to gene regulatory networks 759

А.А. Мельникова Применение свойств конечных автоматов в алгоритмах вершинной минимизации

762

J. Miguel, A. Ponosov, A. Shindiapin Mathematical models of partly protected fish populations

765

Н.П. Можей Преподавание высшей математики студентам экономических специальностей в современных условиях

767

В.Ф. Молчанов Канонические и граничные представления на флаговых пространствах надгруппы

769

С.А. Муртазина Бифуркации вынужденных колебаний в системах автоматического регулирования

772

Н.Г. Павлова  Локальная управляемость динамических импульсных систем  774

Е.А. Панасенко Равномерно устойчивые множества дифференциальных включений

776

О.Н. Переславцева Распараллеливание алгоритмов с применением китайской теоремы об остатках

778

Н.И. Погодаев Расширение задачи оптимального управления системой Гурса–Дарбу

780

А.Г. Поздникин  Файловые полиномы  782

А.Н. Пчелинцев О построении обобщенно-периодических решений динамических систем

785

Л.И. Родина, Е.Л. Тонков  Статистически инвариантные множества управляемой системы  787

М.А. Рыбаков Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа

790

F. Sadyrbaev Bifurcations of period annuli and multiple solutions of two-point boundary value problems

791

А.Ю. Сазонов, Ю.Г. Фомичева О смешанной задаче для параболического уравнения второго порядка

793

Е.О. Сивкова  Точное неравенство для дробных степеней оператора Лапласа  795

П.М. Симонов, А. В. Чистяков Ограниченные на оси решения линейных неоднородных систем дифференциальных уравнений Ито

797

С.П. Сорокин Монотонные решения неравенств Гамильтона–Якоби в оптимальном управлении

799

М.В. Старов  Реализация метода Фужера  801

В.И. Сумин Равностепенная квазинильпотентность: определения, признаки, применения

803

М.И. Сумин Параметрическая двойственная регуляризация и принцип максимума в задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями

806

В.И. Сумин, А.В. Чернов Условия сохранения глобальной разрешимости вольтерровых операторных уравнений и их применение в теории распределенных управляемых систем

808

М.Т. Терёхин Метод малых форм в проблеме существования предельных циклов системы второго порядка

811

Д.С. Тугарёв  Канонические представления на кватернионном шаре  813

Г.А. Тырыгина Об одной полезной оценке пуассоновских сумм для моделей риска

814

В.М. Тюрин О корректности линейных дифференциальных операторов эллиптического типа

816

О.В. Филиппова Оценка А.Ф. Филиппова для функциональнодифференциальных включений с импульсными воздействиями

817

И.А. Финогенко Неявные формы записи и непрерывные аппроксимации разрывных систем

820

Д.В. Хлопин  Отслеживание непродолжимых траекторий ломаными Эйлера  823

И.М. Цун Математическая модель движения бесконечного цилиндра вдоль оси вниз

825

С.В. Цыкина Преобразование Березина в полиномиальном квантовании для пара-эрмитовых пространств с псевдо-ортогональной группой движений

827

А.Г. Ченцов, Ю.В. Шапарь К вопросу о расширении некоторых игровых задач в классе конечно–аддитивных мер

829

М.А. Черепнев  О некоторых вычислениях в пространствах Крылова над GF(2)  832

И.В. Шарафутдинов Бифуркация Андронова–Хопса в системах с негладкими нелинейностями

834

I. Shlykova, A. Ponossov Singular perturbation analysis for walls and gene regulatory network with delay

836

А.М. Шмырин, И.А. Седых Классы окрестностных систем, полученных на основе сетей Петри

839

А.А. Щеглова Минимальное число входов и стабилизируемость линейных алгебро–дифференциальных систем

841

Учредитель: ГОУВПО "Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина"

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР д.э.н., проф. В.М. Юрьев. РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ ЖУРНАЛА: д. пед. н., проф. А.П. Поздняков (зам. гл. редактора), д.филол.н., проф. Н.Н. Болдырев (зам. гл. редактора), д.т.н., проф. А.А. Арзамасцев (науч. редактор серии), И.В. Ильина (отв. секретарь), к.ф.- м.н., доц. А.А. Артемов, д.ф.-м.н., проф. А.И. Булгаков, д.ф.-м.н., проф. Ю.И. Головин, к.геогр.н., проф. Н.И. Дудник, д.ф.- м.н., проф. Е.С. Жуковский, к.биол.н., доц. Г.А. Лада, д.ф.-м.н., проф. Г.И. Малашонок, д.ф.-м.н., проф. В.Ф. Молчанов, к.филос.н., проф. В.Н. Окатов, д.мед.н., проф. Э.М. Османов, д.с/х.н., проф. А.М. Пучнин, д.ф.-м.н., проф. В.А. Федоров, д.х.н., проф. Л.Е. Цыганкова, д.пед.н., проф. М.С. Чванова, д.ф.-м.н., проф. А.А. Шибков

Адрес редакции: 392000, г. Тамбов, ул. Интернациональная, д. 33, комн. 303. Тел. редакции: (4752) 72-34-34 доб. 0440. Тел. научного редактора серии: (4752) 53-72-39. Факс (4752) 71-03-07. Е-mail: arz_{_} sci@mail.ru; vestnik@tsu.tmb.ru.

Интернет: www.chat.ru/tsureports.

Журнал зарегистрирован Министерством РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовой коммуникации.

Свидетельство о регистрации ПИ �77-17334.

Индекс 83372 в каталоге агентства �Роспечать�.

Редакторы английских текстов С.В. Нефедов, Е.А. Панасенко. Компьютерное макетирование И.В. Ильина, Е.В. Корчагина, О.В. Филиппова, Е.О. Бурлаков.

Вестник Тамбовского Университета. Сер. Естественные и технические науки. - Тамбов, 2009. -Т. 14. -Вып. 4. - 210 с. -ISSN 1810-0198.

Сдано в набор 2.06. 2009. Подписано в печать 20.08.2009. Усл. печ. л. 23,72. Уч.-изд. л. 24,74. Формат 60×84 1/8. Бумага офсетная. Гарнитура TimesNR. Отпечатано на копировальных аппаратах. Тираж 1000 экз. Заказ � 3093. Цена свободная.

Оригинал-макет подготовлен в редакции журнала. Лицензия ИД �02973 от 06.10.2000. 392000, г. Тамбов, Интернациональная,

33. Отпечатано в Издательском доме ТГУ им. Г.Р. Державина. 392008, г. Тамбов, Советская, 190г.

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, 2009 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Журнал �Вестник Тамбовского Университета�, 2009. При перепечатке, а также при цитировании материалов ссылка на журнал обязательна

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Арзамасцев А.А., дизайн журнала и макет обложки, 1996

Tambov University REPORTS

A Theoretical and Applied Scientific Journal

Series:

Natural and Technical Sciences

Volume 14, Issue 4, 2009

The Journal was founded in February, 5 1996

A Journal of Tambov State University

The journal is on the official list of scholarly, scientific and technical periodicals in which it is recommended to publicise principal conclusions from doctoral and master’s theses

C O N T E N T S

Proceedings of the International conference "KOLMOGOROV MEETINGS. General control problems and applications" dedicated to fifteen-year anniversary of

Tambov State University named after G.R. Derzhavin and

eighty-year anniversary of Institute of Mathematics, Physics and Informatics of TSU named after G.R. Derzhavin ("GCP-2009") 5–9 October, 2009, Tambov

Elena Abramova On optimal recovery of Dirichlet problem solution for half-plane from inaccurate data

654

Anatoliy Artyomov Canonical representations of the generalized Lorentz group on a sphere

656

Andrey Betin  Computation of adjoint matrix by a parallel machine  659

Marina Blizorukova On reconstruction of unknown characteristics in second- and third-order systems

661

Grigoriy Botschkaryov Researching a generalisation of wirtinger’s inequality by variational methods

663

Евгений Бравый О разрешимости резонансных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с монотонными операторами

665

Аlexandr Bulgakov, Elena Korchagina On distance realization on the solutions set to a functional-differential inclusion with multivalued impulses

667

Аlexandr Bulgakov, Elena Korchagina, Olga Filippova Lower semicontinuous dependence on parameters of the solution-set to functional-differential inclusions with impulses

671

Аlexandr Bulgakov, Joao Paulo Munembe Connectedness of the set of solutions of Cauchi problem with Volterra operator and impulses

673

Аlexandr Bulgakov, Olga Filippova On prolongability of generalized solutions of functional-differential inclusions with Volterra operator and with impulses

676

Evgeniy Burlakov On a correctness of boundary value problems for controllable systems with argument divergence

680

Elena Vodolazhskaya  Radon transform on the plane over a finite ring  683

Nadezhda Volotova  Indicator systems associated with rank one para-Hermitian spaces  685

Aleksandr Vyshinskiy The local bifurcations of nonlinear controlsystems’ periodic oscillations

687

Aleksey Gelman  On h–quite continuous multivalued maps  689

Boris Gelman  On acyclicity of the solutions set for operator equations  690

Denis Gladkikh  Lower bounds for exponential sums in Marcinkiewicz spaces  691
Оlga Grishina  Polynomial quantization for a complex para-Hermitian space  693

Larisa Grosheva  Canonical representations on complex hyperbolic spaces  695

Домингос Цельсо Джинья, Юрий Непомнящих, Aркадий Поноссов, Aндрей Шиндяпин Склейка функций и локальных операторов

698

Alexandr Dobychin  On a decentralised handle of parallel computing process  701

Vladimir Dozhdikov The computer algebra methods are considered for solving of heat spreading problems

703

Vladimir Dozhdikov, Sergey Poryadin, Kirill Dozhdikov The optimization method of control of heat conduction in solid state is considered

704

Juriy Dunin  Harmonic analysis on the Lobachevsky–Galilei plane  706

Vladimir Dykhta, Olga Samsonyuk Estimations of the reachable sets and sufficient optimality conditions for nonlinear control systems with discontinuous trajectories

707

Evgeniy Zhukovskiy, Manuel Alves Volterra mappings of metric spaces

710

Sergey Zhukovskiy  Some properties of solutions of inclusions with covering first member 712
Vasili Zaitsev  Control over eigenvalue spectrum for bilinear systems  713

Мarina Il’ina  Harmonic analysis on a hyperboloid of one sheet over a finite field  716

Rais Ismagilov  On Kolmogorov widths of curves in a Hilbert space  717

Ramazan Kadiev The stability of solutions nonlinear stochastic functional–differential equations

718

Anatoliy Kleimenov Constructing nash solutions in nonantagonistic positional two-person differential game

720

Svetlana Koltsova  Finite Radon transform  723

Svetlana Koltsova On a problem of discrete optimization on quotient- matroid of simple graph

724

Владимир Корняк Изучение симметрий в дискретных динамических системах с помощью средств компьютерной алгебры

726

Elena Korchagina On prolongability of solutions of functional-differential inclusions with multivalued impulses

727

Aleksey Lapaev About computation of multidimentional Discrete Fourier Transform in a finite field

729

Alexander Larionov, Vladimir Luzgin, Vyacheslav Panasov Investigation of dynamic of automatic regulator systems with time-delay

731

Pavel Lebedev, Alexandr Uspenskiy Dynamic Problems Solutions Construction Based on Symmetry Sets

733

Irina Lisachenko, Vladimir Sumin Nonlinear controllable Goursat-Darboux problem: conditions of solvability in the large

735

Nguyen Van Loi Application of method of integral guiding functions to bifurcation problem of periodic solutions of differential inclusions

737

Leonid Lurie, Cassy Bhangy Cultural orientation of mathematical modeling in the formation of Mozambique

740

Vyacheslav Maksimov On analysis of some reconstruction and control problems with the help of extremal shift

741

Gennadi Malaschonok  One project of parallel computer algebra  743

Наталия Малашонок Об одном алгоритме символьного решения дифференциальных уравнений и оценках точности

747

Natasha Malasсhonok  Application of Szegö kernels to approximate functions by series  749

Valerian Malinov Method of optimization in the problem of calculation optimal trajectory of aircraft

751

Olga Malygina Formation the professional mobility of students in the technical university as pedagogical problem

754

Sergey Mamonov Rotary modes of system of frequency-phase autofine tuning with the inverted characteristic of the frequency detector

756

Олег Маричев О записи математических формул: в системе Mathematica и в классической записи

758

Anna Machina Теория Филиппова и ее приложения к генно регулируемым сетям

759

Alexandra Melnikova Use the properties of finite automata in algorithms of state-minimization

762

Жоао Мигель, Аркадий Поноссов, Андрей Шиндяпин Математические модели частично защищенных популяций рыбы

765

Natalya Mozhey Mathematical training for students learning economic subjects in present situation.

767

Vladimir Molchanov Canonical and boundary representations on flag spaces of an overgroup

769

Sariya Murtazina The bifurcations of automatic regulation of sistems’ forced oscillations

772

Natal’ya Pavlova  Local controllability of dynamic impulsive systems  774

Elena Panasenko  Uniformly stable sets for differential inclusions.  776

Oxana Pereslavtseva  Chinese remainder theorem in parallel programming  778

Nikolay Pogodaev On extension of optimal control problem for Goursat-Darboux system

780

Alexey Pozdnikin  File polynoms  782

Alexander Pchelintsev About the constructions of generally periodic solutions of the dynamic systems

785

Ludmila Rodina, Eugeniy Tonkov Statistical Invariant Sets of Controllable System.

787

Mikhail Ribakov Solving Systems of linear differential equations with constant coefficients by means of Laplace transformation

790

Феликс Садырбаев Бифуркации периодических колец и решений двухточечных краевых задач

791

Anatoliy Sazonov, Yuliya Fomicheva On a mixed problem for parabolic equation of second order

793

Elena Sivkova  The exact inequality for fractional powers of Laplace operator  795

Petr Simonov, Aleksandr Chistyakov Bounded on axes of solutions of linear nonhomogeneous systems of itô’s differential equations

797

Stepan Sorokin Monotone Solutions of Hamilton-Jacobi Inequalities and Optimal Control Theory

799

Maksim Starov  A realization of Faugere’s method  801

Vladimir Sumin  Uniform quasinilpotency: definitions, conditions, applications  803

Mikhail Sumin Parametric dual regularization and Pontryagin maximum principle in optimal control problem with state constraints

806

Vladimir Sumin, Andrey Chernov Conditions of global solvability preservation of Volterra operator equations and their application in the theory of controllable distributed parameter systems

808

Mikhail Teryokhin The method of small forms in the problem of existence of the limit cycles of a system of the second-order

811

Denis Tugarev  Canonical representations on a quaternion bull  813

Galina Tyryguina  One useful estimate poisson sums for risk models  814

Vasiliy Turin  On a correctness of linear elliptic differential operators  816

Olga Filippova A.F. Filippov’s estimate for functional-differential inclusions with impulses

817

Ivan Finogenko Implicit forms of recording and continuous approximations of discontinuos systems

820

Dmitri Khlopin  The converge of Euler polygons to noncontinuable solutions  823

Iosif Tsoun Mathematical model of a motion of the endless cylinder down the axis

825

Svetlana Tsykina The Berezin transform in polynomial quantization for para-Hermitian spaces with a pseudo-orthgonal group of translations

827

Aleksandr Chentsov, Yulia Shapar To the question of solvability of some game problems in the class of finitely–additive measures

829

Mikhail Cherepniov  Some calculations in Krylov spaces over GF(2)  832

Ildar Sharafutdinov An andronov-hopf bifurcation in a equations with unsmooth nonlinear terms

834

Ирина Шлыкова, Аркадий Поносов Теория сингулярных возмущений и ее применение к анализу генных регулярных сетей с запаздыванием

836

Anatoliy Smyrin, Irina Sedyh The classes of neighborhood’s systems based on the Petry nets

839

Alla Shcheglova The minimum number of inputs and stabilization of differential algebraic equations

841

Founder: SEEHVT "Tambov State University named after G.R. Dergavin"

EDITOR-IN-CHIEF: Prof. V.M. Yuryev. EDITORIAL BOARD OF THE JOURNAL: Prof., Dr. А.P. Pozdnyakov (Deputy Editor-In-Chief), Prof., Dr. N.N. Boldyrev (Deputy Editor-In-Chief), Prof., Dr. A.A. Arzamastsev (Series Managing Editor), I.V. Ilyina (Secretary), Assoc. Prof., Cand. Sci. A.A. Artemov, Prof., Dr. A.I. Bulgakov, Prof., Dr. Y.I. Golovin, Prof., Cand. Sci. N.I. Dudnik, Assoc. Prof., Dr. E.S. Zhukovsky, Assoc. Prof., Cand. Sci. G.A. Lada, Prof., Dr. G.I. Malashonok, Prof., Dr. V.F. Molchanov, Prof., Cand. Sci. V.N. Okatov, Prof., Dr. E.M. Osmanov, Prof., Dr. A.M. Puchnin, Prof., Dr. V.A. Fedorov, Prof., Dr. L.E. Tsygankova, Prof., Dr. M.S. Chvanova, Prof., Dr. A.A. Shibkov

Editorial Office: 33 Internatsionalnaya street, suite 303, Tambov, 392000, Russia. Editorial Phone: (4752)-72-34-34 (0440). Phone of the Managing Editor: (4752) 53-72-39. Fax (4752) 71-03-07. E-mail: arz_{s}ci@mail.ru; vestnik@tsu.tmb.ru.Internet : http : //tsu.tmb.ru/nu/nauka; http : //tsu.tmb.ru/nu/tsu_{r}eport/. RegisteredbytheRF MinistryofP ress, BroadcastngandMassCommunicationMedia.RegistrationCertificate77 − 17334. T he2008cataloguerecordavailablefromtheRospechatAgencyis83372.

Advising Editors (English) S.V. Nefedov, E.A. Panasenko. Layout by I.V. Ilyina, E.V. Korchagina, O.V. Filippova, E.O. Burlakov.

Вестник Тамбовского Университета. Сер. Естественные и технические науки. - Тамбов, 2009. -Т. 14. -Вып. 4. - 210 с. -ISSN 1810-0198.

Сдано в набор 2.06. 2009. Подписано в печать 20.08.2009. Усл. печ. л. 23,72. Уч.-изд. л. 24,74. Формат 60×84 1/8. Бумага офсетная. Гарнитура TimesNR. Отпечатано на копировальных аппаратах. Тираж 1000 экз. Заказ � 3093. Цена свободная.

Оригинал-макет подготовлен в редакции журнала. Лицензия ИД �02973 от 06.10.2000. 392000, г. Тамбов, Интернациональная,

33. Отпечатано в Издательском доме ТГУ им. Г.Р. Державина. 392008, г. Тамбов, Советская, 190г.

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} SEEHVT "Tambov State University named after G.R. Dergavin", 2009 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Журнал "Вестник Тамбовского Университета", 2009. При перепечатке, а также при цитировании материалов ссылка на журнал обязательна \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Арзамасцев А.А., дизайн журнала и макет обложки, 1996

"Я всегда считал, что истина – главное" Андрей Николаевич Колмогоров 1903–1987

Международная конфеpенция КОЛМОГОРОВСКИЕ ЧТЕНИЯ �Общие проблемы управления и их приложения. (ОПУ-2009)� Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина

5-9 октября 2009 г.

Организаторы:

Министерство образования и науки РФ,

администрация Тамбовской области,

управление образования и науки Тамбовской области,

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,

Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук,

Институт математики и механики УрО Российской академии наук,

Российский университет Дружбы Народов,

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина.

Пpогpаммный комитет конфеpенции:

Председатель: ректор ТГУ им. Г.Р. Державина, профессор В.М. Юрьев. Сопредседатели: профессор В.М. Тихомиpов (Москва), член-корреспондент РАН А.Г. Ченцов (Екатеринбург). Зам. председателя: профессор А.И. Булгаков (Тамбов). Члены: доцент А.А. Артёмов (Тамбов), профессор А.В. Арутюнов (Москва), профессор А.П. Афанасьев (Москва), профессор В.В. Дикусаp (Москва), профессор А.В. Дмитpук (Москва), профессор И.В. Евстигнеев (Москва), профессор Е.С. Жуковский (Тамбов), профессор М.И. Зеликин (Москва), академик РАН А.Б. Куржанский (Москва), профессор В.Л. Левин (Москва), профессор Г.Г. Магаpил-Ильяев (Москва), профессор В.Ф. Молчанов (Тамбов), профессор Ю.В. Покоpный (Воронеж), профессор Е.Л. Тонков (Ижевск), член-корреспондент РАН А.А. Толстоногов (Иркутск), член-корреспондент РАН В.Н. Ушаков (Екатеринбург), профессор L. Berezansky (Negev, Izrael), профессор A. Ioffe (Haipha, Izrael), профессор A. Ponossov (Oslo, Norway), профессор A. Shindyapin (Maputo, Mozambique).

Оргкомитет конференции:

Председатель: ректор ТГУ им. Г.Р. Державина профессор В.М. Юрьев. Сопредседатели: глава администрации Тамбовской области О.И. Бетин, профессор В.М. Тихомиров (Москва), член-корреспондент РАН А.Г. Ченцов (Екатеринбург). Зам. пpедседателя: начальник управления образования и науки Тамбовской области, профессор Н.Г. Астафьева, первый проректор ТГУ, профессор А.П. Поздняков (Тамбов), проректор по научной работе и международным связям ТГУ, профессор Н.Н. Болдырев (Тамбов), проректор по информационным технологиям ТГУ С.П. Юхачев (Тамбов), профессор А.И. Булгаков (Тамбов). Члены: доцент А.А. Артёмов (Тамбов), профессор А.В. Аpутюнов (Москва), профессор В.Б. Демидович (Москва), профессор Е.С. Жуковский (Тамбов), профессор В.Ф. Молчанов (Тамбов), доцент Е.А. Панасенко (Тамбов) - ученый секретарь, доцент А.Ю. Сазонов (Тамбов), доцент Ю.Г. Фомичева (Тамбов) - ученый секретарь, М.В. Борзова (Тамбов) - технический секретарь.

Программа конференции включает пленарные заседания, школу молодых ученых по оптимальному управлению и следующие секции:

ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 14, вып. 4, 2009

Теоретическое наследие Андрея Николаевича Колмогорова; Теория оптимизации и ее перспективы; Методы аппроксимации и устойчивость в управлении; Вариационные методы исследования нелинейных систем и их приложения; Управление динамическими объектами и дифференциальные включения; Математические модели управления в экономике, технике, биологии и других естественных и гуманитарных науках; Математические модели живых систем, математическая биология и медицина; Компьютерная алгебра. Использование распределённых вычислений и систем для решения задач управления большой размерности; Проблемы математического моделирования в физике наноматериалов и нанотехнологиях; Функциональный анализ; Проблемы преподавания математических дисциплин в условиях реформы образования РФ.

Конференция зарегистрирована и включена в план научных мероприятий Американского Математического Общества http://www.ams.org/mathcal и Европейского Математического Общества http://www.euro-math-soc.eu/conferences.html?page=5. Подробная информация о конференции размещена на сайте библиографического международного электронного издания http: // www.pubopp.com

Сайт конференции размещен по адресу http: // www.tambovopu2009.narod.ru

Материалы предыдущих конференций �ОПУ-2007�, �ОПУ-2003�, �ОПУ-2000� были опубликованы в журнале �Вестник Тамбовского университета�, серия: Естественные и технические науки, том 12, вып. 4, 2007; том 8, вып. 3, 2003; том 5, вып. 4, 2000. Информацию об этих конференциях можно найти на сайтах http://www.tambovopu2007.narod.ru; http: // www.opu 2003.narod.ru/; http://www.opu2000.narod.ru/; http://www.elibrary.ru

Конференция организована при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект � 09-01-06083), Роснауки в рамках федеральной целевой программы �Научные и научно-педагогические кадры инновационной России� (Лот 17. 2009-2.1-103-086), администрации Тамбовской области и Тамбовского государственного университета им. Г.Р. Державина. Оргкомитет выражает благодарность ректорату ТГУ им. Г.Р. Державина за всестороннюю помощь в подготовке и проведении конференции.

International conference KOLMOGOROV MEETINGS "General control problems and applications" ("GCP-2009") Tambov State University named after G.R. Derzhavin 5-9 October, 2009

Organizers:

Ministry of education and science of Russian Federation Administration of Tambov region, Department of education and science of Tambov region, Moscow State University named after М.V. Lomonosov, Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of Russian Academy of Sciences, Peoples’ Friendship University of Russia, Tambov State University named after G.R. Derzhavin.

Program committee of the conference:

Chairman: rector of TSU named after G.R. Derzhavin, professor V.M. Yur’ev. Co-chairmen: professor V.M. Tikhomirov (Moscow), member of RAS A.G. Chentsov (Ekaterinburg). Vice-chairman: professor A.I. Bulgakov (Tambov). Members: docent A.A. Artemov (Tambov), professor A.V. Arutynov (Moscow), professor A.P. Afanasyev (Moscow), professor V.V. Dikusar (Moscow), professor A.V. Dmitruk (Moscow), professor I.V. Evstigneev (Moscow), professor E.S. Zhukovskiy (Tambov), professor M.I. Zelikin (Moscow), academician of RAS A.B. Kurzhanskiy (Moscow), professor V.L. Levin (Moscow), professor G.G. Magaril-Il’yaev (Moscow), professor V.F. Molchanov (Tambov), professor Yu.V. Pokorniy (Voronezh), professor E.L. Tonkov (Izhevsk), member of RAS A.A. Tolstonogov (Irkutsk), member of RAS V.N. Ushakov (Ekaterinburg), professor L. Berezansky (Negev, Israel), professor A. Ioffe (Haifa, Israel), professor A. Ponossov (Oslo, Norway), professor A. Shindyapin (Maputo, Mozambique).

Organizing committee of the conference:

Chairman: rector of TSU named after G.R. Derzhavin, professor V.M. Yur’ev. Co-chairmen: head of the administration of Tambov region O.I. Betin, professor V.M. Tikhomirov (Moscow), member of RAS A.G. Chentsov (Ekaterinburg). Vice-chairmen: head of the department of education and science of Tambov region, professor N.G. Astaf’eva, professor A.P. Pozdnyakov (Tambov), professor N.N Boldyrev (Tambov), professor S.P. Yukhachev (Tambov), professor A.I. Bulgakov (Tambov). Members: docent A.A. Artemov (Tambov), professor A.V. Arutynov (Moscow), professor V.B. Demidovich (Moscow), professor E.S. Zhukovskiy (Tambov), professor V.F. Molchanov (Tambov), docent E.A. Panasenko (Tambov) – scientific secretary , docent A.Yu. Sazonov (Tambov), docent Yu.G. Fomicheva (Tambov) – scientific secretary, M.V. Borzova (Tambov) – technical secretary.

The program of the conference includes plenary talks, school of young scientists on optimal control and the following sections: Theoretical legacy of Andrei Nikolaevich Kolmogorov; Theory of optimization and perspectives; Methods of approximation and stability in optimal control; Variational methods for investigating nonlinear systems and applications; Mathematical models of control in economics, machinery, biology and other natural and human sciences; Mathematical models of living systems mathematical biology and medicine; Computer algebra. Using of distributed calculus for solving high dimensional problems; The problems of mathematical modelling in physics of nannomaterials and nannotechnologies; Functional analysis; Problems of teaching mathematics within the reforms of educational system in Russian.

The conference is registered and included in the plan of scientific measures in the American Mathematical Society http://www.ams.org/mathcal and the European Mathematical Society http://www.euro-math-soc.eu/conferences.html?page=5. In-depth information about the conference is accessible on the site bibliographical e-zine http://www.pubopp.com

The site of the conference: http://www.tambovopu2009.narod.ru

The proceedings of the conferences "GCP-2003", "GCP-2000", "GCP-2007" have been published in the journal "Tambov University Reports", series: Natural and Technical Sciences, Volume 12, Issue 4, 2007; Volume 8, Issue 3, 2003; Volume 5, Issue 4, 2000. All the information concerning these conferences can be found on the web-sites: http://www.tambovopu2007.narod.ru/; http: //www.opu2003.narod.ru/; http://www.opu2000.narod.ru/; http://www.elibrary.ru

The conference is financially supported by the Russian Fund for Basic Research (grant � 09-01-06083), Federal Science and Innovation Agency within the bounds of Federal Task Program "Scientific and Scientific-Pedagogical Staff of Innovation Russia", by the Administration of Tambov region, and by Tambov State University named after G.R. Derzhavin. The Organizing committee is grateful to the Administrative body of Tambov State University for all the possible help in holding this conference.

УДК 517.51

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПО НЕТОЧНЫМ ДАННЫМ

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Е. В. Абрамова

Ключевые слова: оптимальное восстановление; задача Дирихле; преобразование Фурье.

Аннотация: Рассматривается задача Дирихле для полуплоскости { (x, y) ∈ ℝ^{2} | y > 0 }; основной результат заключается в нахождении оптимальной погрешности и оптимального метода восстановления функции u(·, y) в метрике L_{2}(ℝ) по неточным измерениям функций u(·, y_{1}) и u(·, y_{2}), где 0 < y_{1} < y < y_{2}.

Хорошо известно (см.,напр., [1]), что если задана функция f(·) ∈ L_{2}(ℝ), то существует единственная гармоническая функция u(·, ·) в полуплоскости { (x, y) ∈ ℝ^{2} | y > 0 } такая, что u(·, y) → f(·) при y → 0 в метрике L_{2}(ℝ), и эта функция есть интеграл Пуассона

u(x, y) = ∫_{ℝ} P (x − t, y)f(t) dt,

где P (x, y) = y/π(x^{2} + y^{2}).

Ставится следующая задача, аналогичная задаче Адамара о трех кругах: по приближенно известным функциям u(·, y_{1}) и u(·, y_{1}) (0 < y_{1} < y_{2}) восстановить функцию u(·, y), где y_{1} < y < y_{2}. Точная постановка задачи такова.

Пусть известны функции z_{i}(·) ∈ L_{2}(ℝ), i = 1, 2, такие, что ∥u(·, y_{i}) − z_{i}(·)∥_{L_{2}(ℝ)} ⩽ δ_{i}, где δ_{i} > 0, i = 1, 2. Под оптимальным восстановлением функции u(·, y) в метрике L_{2}(ℝ) по данной информации будем понимать следующее. Любое отображение m: L_{2}(ℝ)×L_{2}(ℝ) → L_{2}(ℝ) называем методом восстановления и погрешность этого метода оцениваем величиной

e(y, y_{1}, y_{2}, δ_{1}, δ_{2}, m) = sup_{\begin{matrix}z_{i}(·)∈L_{2}(ℝ), i=1,2 \\ ∥u(·,y_{i})−z_{i}(·)∥_{L_{2}(ℝ)}⩽δ_{i}, i=1,2 \end{matrix}} ∥u(·, y) − m(z_{1}(·), z_{2}(·))(·)∥_{L_{2}(ℝ)}.

Нас интересует величина

E(y, y_{1}, y_{2}, δ_{1}, δ_{2}) = inf_{m: L_{2}(ℝ)×L_{2}(ℝ)→L_{2}(ℝ)}e(y, y_{1}, y_{2}, δ_{1}, δ_{2}, m),

которую называют погрешностью оптимального восстановления и метод m̂, на котором нижняя грань достигается, называемый оптимальным методом восстановления.

Т е о р е м а.

E(y, y_{1}, y_{2}, δ_{1}, δ_{2}) = δ1^{\frac{y_{2}−y}{y_{2}−y_{1}}} δ2^{\frac{y−y_{1}}{y_{2}−y_{1}}} .

Метод m̂, определенный равенством

m̂(z_{1}(·), z_{2}(·))(·) = (K_{1} ∗ z_{1})(·) + (K_{2} ∗ z_{2})(·),

где K_{1}(·) и K_{2}(·) — функции из L_{2}(ℝ), преобразования Фурье которых имеют вид

F K_{1}(ξ) = \frac{(y_{2} − y)δ_{2}^{2}e^{−|ξ|(y−y_{1})}}{(y_{2} − y)δ_{2}^{2} + (y − y_{1})δ_{1}^{2}e^{−2|ξ|(y_{2}−y_{1})}} ,

F K_{2}(ξ) = \frac{(y − y_{1})δ_{1}^{2}e^{−|ξ|(y+y_{2}−2y_{1})}}{(y_{2} − y)δ_{2}^{2} + (y − y_{1})δ_{1}^{2}e^{−2|ξ|(y_{2}−y_{1})}} ,

является оптимальным.

Отметим, что оптимальный метод оказывается линейным, �сглаживает� наблюдаемые функции z_{1}(·) и z_{2}(·), сворачивая их с быстроубывающими функциями K_{1}(·) и K_{2}(·).

Доказательство этой теоремы опирается на общие методы теории оптимального восстановления линейных операторов, разработанных в работах [1, 2]. Укажем здесь некоторые этапы доказательства. Нетрудно проверить, что величина погрешности оптимального восстановления не меньше значения следующей задачи

∥u(·, y)∥_{L_{2}(ℝ)} → max, ∥u(·, y_{i})∥_{L_{2}(ℝ)} ⩽ δ_{i}, i = 1, 2, f(·) ∈ L_{2}(ℝ).  (1)

Переходя к образам Фурье, получим по теореме Планшереля (учитывая, что для каждого y > 0 функция ξ ↦ e^{−y|ξ|} есть преобразование Фурье функции x ↦ P (x, y)), что квадрат значения задачи (1) равен значению такой задачи

\frac{1}{2π} ∫_{ℝ} e^{−2y|ξ|}|F f(ξ)|^{2} dξ → max, \frac{1}{2π} ∫_{ℝ} e^{−2y_{i}|ξ|}|F f(ξ)|^{2} dξ ⩽ δ_{i}^{2}, f(·) ∈ L_{2}(ℝ).  (2)

Относительно переменной |F f(·)|^{2} данная задача является задачей выпуклого программирования (см. [3]). Однако решение этой задачи не существует, и поэтому рассматривается более общая задача (также выпуклого программирования), которая имеет то же значение, но решение которой уже существует. Это позволяет, с одной стороны, найти значение задачи (2) (и тем самым получить оценку снизу для погрешности оптимального восстановления), а с другой – найти множители Лагранжа, которые участвуют в построении оптимального метода восстановления. Если такие множители Лагранжа λ_{1} > 0 и λ_{2} > 0 найдены, то оптимальный метод строится следующим образом. Для любых z_{i}(·) ∈ L_{2}(ℝ), i = 1, 2, рассмотрим экстремальную задачу

λ_{1}∥u(·, y_{1}) − z_{1}(·)∥_{L_{2}(ℝ)} + λ_{2}∥u(·, y_{2}) − z_{2}(·)∥_{L_{2}(ℝ)} → min, f(·) ∈ L_{2}(ℝ).

Пусть f̂(·, z_{1}(·), z_{2}(·)) — ее решение. Тогда оптимальный метод находится по формуле

m̂(z_{1}(·), z_{2}(·))(·) = ∫_{ℝ} P (x − t, y)f̂(t, z_{1}(·), z_{2}(·)) dt.

ЛИТЕРАТУРА

1. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.

2. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью // Математический сборник. М., 2002. Т. 193. � 3. С. 79-100.

3. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функциональный анализ и его приложения. М., 2003. Т. 37. Вып. 3. С. 51-64.

4. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2003. 2-е изд.

Abstract: Dirichlet problem for half-plane is considered; the main result is determination of the optimal recovery error and the optimal recovery method of function u(·, y) in L_{2}(ℝ)-metric from inaccurate measurements of functions u(·, y_{1}) and u(·, y_{2}) where 0 < y_{1} < y < y_{2}.

Key words: optimal recovery; Dirichlet problem; Fourier transform.

Абрамова Елена Владимировна старший преподаватель Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет) Россия, Москва e-mail: abramova_elena@ inbox.ru Elena Abramova senior teacher Moscow State Institute of Radiotechnics, Electronics and Automatics (Technical University) Russia, Moscow e-mail: abramova_elena@ inbox.ru

УДК 517.98

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА НА СФЕРЕ

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} А. А. Артемов

Ключевые слова: канонические представления; псевдо-ортогональная группа; преобразование Березина. Аннотация: Обобщенная группа Лоренца G = SO_{0}(1, n − 1) действует на единичной сфере в ℝ^{n} с

надгруппой SL(n,ℝ). Это действие имеет 3 открытых орбиты. Мы разлагаем на неприводимые компоненты канонические представления R_{λ,ν}, λ∈ℂ, ν = 0, 1, группы G и разлагаем сопутствующую форму Березина.

Возьмем в пространстве ℝ^{n}, n ⩾ 4, билинейную форму

[x, y] = −x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + ... + x_{n}y_{n}.

Группа G = SO_{0}(1, n − 1) сохраняет эту форму. В качестве надгруппы для G мы возьмем группу G̃ = SL(n, ℝ). Обозначим через |x| евклидову норму в ℝ^{n}. Пусть Ω – сфера |x| = 1, пусть S – сечение конуса [x, x] = 0 плоскостью x_{1} = 1, оно есть сфера в ℝ^{n−1}. Обозначим через ⟨f, h⟩_{Ω} и ⟨ψ, φ⟩_{S} скалярные произведения по евклидовым мерам du и ds на Ω и S, соответственно.

Канонические представления R_{λ,ν}, λ∈ℂ, ν = 0, 1, группы G мы определяем как ограничения представлений максимальной вырожденной серии надгруппы G̃ на группу G. Они действуют в пространстве D_{ν}(Ω) функций на Ω класса C^{∞} и четности ν:

(R_{λ,ν}(g)f)(u) = f(\frac{ug}{|ug|}) |ug|^{−λ−n}, g ∈ G.

Преобразованием Березина назовем оператор Q_{λ,ν} в D_{ν}(Ω), задаваемый формулой

(Q_{λ,ν}f)(u) = c(λ, ν) ∫_{Ω} [u, v]^{λ,ν} f(v) dv,

где c(λ, ν) – некоторый множитель, мы используем обозначение t^{λ,ν} = |t|^{λ}sgn^{ν}t. Он сплетает R_{λ,ν} с R_{−λ−n,ν}. Композиция Q_{−λ−n,ν} Q_{λ,ν} есть тождественный оператор. Представление R_{λ,ν} и оператор Q_{λ,ν} могут быть продолжены на пространство D′_{ν}(Ω) обобщенных функций на Ω четности ν. Назовем формой Березина полуторалинейную форму (f, h)_{λ,ν} = ⟨Q_{λ,ν}f, h⟩_{Ω}.

Представления T_{σ}, σ ∈ ℂ, группы G, участвующие в разложении канонических представлений, действуют в пространстве D(S) = C^{∞}(S):

(T_{σ}(g)φ)(s) = φ(\frac{sg}{(sg)_{1}} )(sg)_{1}^{σ}.

Обозначим Ω_{±} = {±[u, u] > 0}. Действие u ↦ ug/|ug| группы G на Ω не транзитивно. Оно имеет 3 открытые орбиты: Ω_{+} и Ω_{−} ∩ {±u_{1} > 0}.

Определим преобразования Пуассона и Фурье:

(P_{λ,ν,σ}^{±}φ)(u) = [u, u]_{±}^{(−λ−n−σ)/2} ∫_{S}[u, s]^{σ,ν}φ(s) ds,
(F_{λ,ν,σ}^{±}f)(s) = ∫_{Ω}[u, u]_{±}^{(λ−σ)/2} [u, s]^{σ,ν} f(u) du.

Эти преобразования сплетают T_{2−n−σ} с R_{λ,ν} и R_{λ,ν} с T_{σ}, соответственно. Имеет место следующая формула:

Q_{λ,ν} P_{λ,ν,σ}^{α} = ∑_{β} Λ^{αβ}(λ, ν, σ) P_{−λ−n,ν,σ}^{β},

где α, β ∈ {−, +}. Матрица Λ = (Λ^{α,β}) есть своего рода "собственное число" преобразования Березина.

Каноническое представление R_{λ,ν} порождает два представления L_{λ} и M_{λ}, связанных с границей Ω_{0} = {[u, u] = 0} открытых орбит. Первое из них действует в пространстве Σ(Ω) обобщенных функций четности ν, сосредоточенных на Ω_{0}. Обозначим через Σ_{k}(Ω), k ∈ ℕ, его подпространство, натянутое на δ^{(m)}(a), a = [u, u], m = 0, 1, …, k. Второе – в многочленах Тейлора (струях) от a функций f ∈ D_{ν}(Ω). Обозначим через c_{m} и c_{m}^{∗} коэффициенты Тейлора функций f(u) и (1 + + a)^{(n−3)/2} (1 − a)^{−1/2} f(u). Это – функции из D(S).

Преобразования Пуассона и Фурье мероморфно зависят от σ, их полюсы располагаются соответственно в точках λ − 2k, 2 − n − λ + 2l и −λ − n − 2k, λ + 2 + 2l, где k, l ∈ ℕ. Полюсы простые, если пары последовательностей не пересекаются.

Пусть λ – общего положения. Вычеты P̂_{λ,ν,μ}^{±} преобразования Пуассона в полюсах μ являются операторами, действующими из D_{ν}(S) в Σ(Ω). Например, P̂_{λ,ν,λ−2k}^{±}(φ) с точностью до множителя есть

ξ_{λ,k}(φ) = ∑_{r=0}^{k} (−1)^{r} \frac{k!}{(k − r)!} W_{λ−2k,r}(φ) δ^{(k−r)}(a),

где W_{σ,m} – некоторые дифференциальные операторы (многочлены от оператора Лапласа-Бель-трами Δ_{S} на S степени m); в частности, ξ_{λ,0}(φ) = φδ(a). Он сплетает представление T_{2−n−λ+2k} с представлением L_{λ}.

Вычеты F̂_{λ,ν,μ}^{±} преобразования Фурье являются граничными операторами. Например, F̂_{λ,ν,−λ−n−2k}^{±}(φ) есть с точностью до множителя оператор

b_{λ,k}(f) = ∑_{r=0}^{k} W_{−λ−n−2k,r}(c_{k−r}^{∗}).

Для λ общего положения граничные представления L_{λ} и M_{λ} диагонализуемы с помощью операторов ξ_{λ,k} и b_{λ,k}, соответственно.

Разложение канонических представлений проведем для общего случая: λ лежит в полосах I_{k} : (−n − 2)/2 < Re λ − 2k < (2 − n)/2, k ∈ ℤ.

При λ ∈ I_{0} формула обращения и формула Планшереля для формы Березина получаются складыванием соответствующих формул для гиперболоидов [x, x] = 1 и [x, x] = −1 (с мерами Планшереля ω), а именно,

f = ∫ ω(σ) {P^{−}_{λ,ν,2−n−σ} F^{−}_{λ,ν,σ}f + P^{+}_{λ,ν,2−n−σ} F^{+}_{λ,ν,σ}f} dρ +
+ ∑ ω_{r}^{(d)} P̃^{+}_{λ,ν,2−n−r} F̃^{+}_{λ,ν,r}f,  (1)
(f, h)_{λ,ν} = ∫ ω(σ) ∑_{α,β} Λ^{α,β}(λ, ν, 2 − n − σ) ⟨F_{λ,ν,σ}^{α}f, F_{\overline{λ},ν,2−n−\overline{σ}}^{β}h⟩_{S} dρ +
+ ∑ ω_{r}^{(d)} Λ^{++}(λ, ν, 2 − n − r) ⟨F̃^{+}_{λ,ν,r}f, F̃^{+}_{\overline{λ},ν,2−n−r}h⟩_{S},  (2)

где интегралы берутся по ρ∈ℝ с σ = (2 − n)/2 + iρ, суммирование ведется по целым r > (2 − n)/2 таким, что r≡ν + 1 (mod 2), волна означает некоторую нормализацию, α, β ∈ {−, +}.

Для λ из полосы I_{k+1}, k ∈ ℕ, мы продолжаем разложения (1) и (2) аналитически по λ в эту полосу. При этом полюсы σ = λ − 2m и σ = 2 − n − λ + 2m, m = 0, 1, ..., k, подинтегрального выражения пересекают линию интегрирования – прямую Re σ = (2 − n)/2 – и дают k + 1 дополнительных слагаемых в правых частях. Мы получим:

f = ∫ + ∑ + ∑_{m=0}^{k} π_{λ,ν,m}(f),  (3)

где интеграл и ряд означают то же, что и в (1), и

π_{λ,ν,m}(f) = −4π ω(λ−2m) ∑_{α} {P̂_{λ,ν,2−n−λ+2m}^{α}F_{λ,ν,λ−2m}^{α}f},

операторы π_{λ,ν,m} проектируют на пространства Σ_{m}(Ω) и ортогональны относительно формы Березина. Продолжение формулы (2) есть "теорема Пифагора" для разложения (3).

Итак, для λ из полосы I_{k+1}, k ∈ ℕ, к пространству D_{ν}(Ω) нужно добавить пространство Σ_{k}^{(ν)}(Ω). На этом пространстве представление R_{λ,ν} раскладывается в сумму двух слагаемых: первое разлагается как R_{λ,ν} для полосы I_{0}, второе разлагается в сумму k + 1 неприводимых представлений T_{2−n−λ+2m}, m = 0, 1, ..., k. Имеет место формула обращения (3) и формула Планшереля для формы Березина.

Для λ из полосы I_{−k−1}, k ∈ ℕ, мы продолжаем разложения (1) и (2) аналитически по λ в эту полосу. Здесь полюсы σ = λ+2+2m и σ = −λ−n−2m, m = 0, 1, ..., k, подинтегральной функции (это – полюсы преобразований Фурье F_{λ,ν,σ}^{±}) дают добавочные слагаемые в правой части:

f = ∫ + ∑ + ∑_{m=0}^{k} Π_{λ,ν,m}(f),  (4)

где интеграл и ряд означают то же, что и в (1), и

Π_{λ,ν,m}(f) = −4π ω(λ + 2 + 2m) ∑_{α} P_{λ,ν,−λ−n−2m}^{α}F̂_{λ,ν,λ+2+2m}^{α}f,

операторы Π_{λ,ν,m}, m ⩽ k, – проекционные, ортогональные относительно формы Березина. Их можно распространить на пространство T_{ν}^{k}(Ω), состоящее из функций f класса C^{∞} на каждой G-орбите и четности ν и имеющих разложение Тейлора порядка k: f(u) = c_{0} + c_{1}a + ⋯ + c_{k}a^{k} + + o(a^{k}).

При продолжении разложения (2) указанные выше полюсы подинтегральной функции оказываются полюсами обоих преобразований Фурье, так что каждое из четырех слагаемых (α, β ∈ {+, − −}) имеет полюс второго порядка. К счастью, вся сумма этих четырех слагаемых имеет полюс только первого порядка (старшие лорановские коэффициенты взаимно уничтожаются) и вычет получается в обозримом виде. Продолжение формулы (2) есть "теорема Пифагора" для разложения (4).

Таким образом, для λ из полосы I_{−k−1}, k ∈ ℕ, представление R_{λ,ν}, рассматриваемое на пространстве T_{k}^{ν}(Ω), распадается на сумму двух слагаемых. Первое действует на подпространстве функций, для которых их коэффициенты Тейлора c_{m} равны нулю для m ⩽ k, и разлагается как представление R_{λ,ν} для полосы I_{0}, второе разлагается в прямую сумму неприводимых представлений T_{−λ−n−2m}, m ⩽ k. Имеет место формула обращения (4) и "формула Планшереля" для формы Березина.

Abstract: The generalized Lorentz group G = SO_{0}(1, n−1) acts on the unit sphere in ℝ^{n} with an overgroup SL(n,ℝ). This action has 3 open orbits. We decompose the canonical representations R_{λ,ν}, λ∈ℂ, ν = 0, 1, of the group G into irreducible constituents and decompose the accompanying Berezin form.

Key words: canonical representations; pseudo-orthogonal group; Berezin transform.

Артемов Анатолий Анатольевич к. ф.-м. н., доцент, начальник управления методологического обеспечения основной деятельности университета Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: molchano@molchano.tstu.ru Anatoliy Artyomov candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: molchano@molchano.tstu.ru

УДК 519.85

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАТРИЦЫ НА МНОГОПРОЦЕССОРНОМ КЛАСТЕРЕ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} А. А. Бетин

Ключевые слова: параллельный рекурсивный алгоритм; присоединенная матрица; детерминантные тождества.

Аннотация: Предлагается параллельный рекурсивный алгоритм вычисления присоединенной матрицы. Приводятся результаты экспериментов на кластере МСЦ при различных размерах, плотности матриц для различного числа процессоров.

Задача обращения плотных и разреженных матриц – одна из самых распространенных задач параллельного программирования. Однако с ростом размеров матриц накопление ошибок тоже растет, и для некоторых задач эта проблема становится катастрофической.

Мощности параллельных вычислительных систем позволяют сегодня подойти к проблеме накопления ошибок с другой стороны. Можно строить параллельный алгоритм с точными вычислениями. Также как в числовых параллельных алгоритмах, преимущество будет у блочных, рекурсивных алгоритмов, в которых не требуется выборка ведущего элемента на каждом шаге.

Алгоритм вычисления присоединенной матрицы основан на разложении на множители обратной

матрицы. Если A = ( \begin{matrix}A & C \\ B & D \end{matrix} ) – обратимая матрица и A ее обратимый блок, то можно разложить

на множители ее обратную матрицу A^{−1} [1]:

[ \begin{matrix}(I & −A^{−1}C \\ 0 & I \end{matrix} ] [ \begin{matrix}I & 0 \\ 0 & (D − BA^{−1}C)^{−1} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}I & 0 \\ −B & I \end{matrix} ] [ \begin{matrix}A^{−1} & 0 \\ 0 & I \end{matrix} ] .

Применение детерминантных тождеств позволяет вычислять присоединенную матрицу с помощью аналогичного разложения присоединенной матрицы [2].

1Работа выполнена при поддержке программы "Развитие потенциала высшей школы"(проект 2.1.1/1853) и Темплана 1.12.09.

Алгоритм является рекурсивным. Графом алгоритма является дерево.

Граф алгоритма состоит из вершин пяти типов: 1 - главная вершина - корневая вершина дерева алгоритма (A, S, E_{s}, d) = A_{ext}(M, d_{0}); 2 - вершина типа A ∗ B; 3 - вершина типа \frac{A∗B}{d_{1}} d_{0}; 4 - вершина типа AB + CD; 5 - вершина типа \frac{A∗B}{d_{1}} d_{0} + \frac{C∗D}{d_{1}} d_{0}, где A, B,C,D матрицы, d_{0}, d_{1} числа.

Все деревья, исходящие из вершины, разбиты на пучки. Деревья в одном пучке вычисляются параллельно, пучки пронумерованы и вычисляются в соответствии со своими номерами. Пучок из одного дерева - это вычислительный блок в вершине.

В докладе приводятся результаты экспериментов, проведенных на кластере МСЦ, в которых вычислялась присоединенная матрица. В экспериментах изменялась плотность матриц, размеры и числовые множества, из которых брались коэффициенты матриц. Кроме того, эксперименты проводились при различном числе процессоров, которое выделялось для решения задачи.

ЛИТЕРАТУРА 1. Strassen V. Gaussian Elimination is not optimal // Numerische Mathematik. 1969. V. 13. P. 354-356.

2. Малашонок Г.И. Матричные методы вычислений в коммутативных кольцах. Тамбов: Издательство ТГУ им. Г.Р. Державина, 2002.

Abstract: A parallel recursive algorithm for calculating an adjoint matrix is constructed; the results of experiments on a multiprocessor computer for various matrix sizes and density, for various amount of processors are demonstrated.

Key words: parallel recursive algorithm; adjoint matrix; determinant identities.

Бетин Андрей Андреевич аспирант Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: andrey_betin@mail.ru Andrey Betin post-graduate student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: andrey_betin@mail.ru УДК 517.977

О РЕКОНСТРУКЦИИ НЕИЗВЕСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК В СИСТЕМАХ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} М. С. Близорукова

Ключевые слова: реконструкция; вспомогательная управляемая система-модель.

Аннотация: Рассматривается задача устойчивой динамической реконструкции неизвестных характеристик в системах второго порядка. Указывается ориентированный на работу в реальном времени алгоритм, обладающий свойствами динамичности и устойчивости: первое из них означает, что текущие значения приближения входа вырабатываются в �в реальном времени�, а второе – что приближение сколь угодно точно при достаточной точности наблюдения.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений второго порядка

ẋ_{1} = x_{2},  (1)
ẋ_{2} = −2lp_{1}x_{2} − ω^{2}p_{2}x_{1} + u(t)

с начальным условием x(t_{0}) = x_{0}, ẋ(t_{0}) = x_{10}. Предполагается, что постоянные l и ω известны. На систему действует управление — измеримая по Лебегу функция, удовлетворяющая условию u(t) ∈ ∈ P = [−f, f], t ∈ T. Здесь f = const ∈ (0, +∞). Это управление, также как и соответствующее ему решение системы (1), неизвестно. В дискретные, достаточно частые моменты времени Δ_{h} = = {τ_{i,h}}_{h=0}^{m_{h}}, τ_{i+1,h} = τ_{i,h} + δ(h), τ_{0,h} = t_{0}, τ_{m_{h},h} = ϑ измеряются с ошибкой величины x(τ_{i}). Результаты измерений – числа ξ_{i}^{h} – удовлетворяют неравенствам

|x(τ_{i}^{h}) − ξ_{i}^{h}| ⩽ h,

где h ∈ (0, 1) – уровень информационного шума, символ |a| означает модуль числа a. Требуется указать алгоритм, позволяющий восстанавливать (синхронно с развитием процесса) неизвестную скорость изменения координаты x(t) (то есть ẋ(t)) и неизвестное входное возмущение u(t).

Один из подходов к решению рассматриваемой задачи был развит в работах [1, 2]. В соответствии с этим подходом системе (1) сопоставляется некоторая искусственно смоделированная с помощью компьютера управляемая система M (модель) с фазовой траекторией w^{h}(t) и управлением u^{h}(t). Затем указывается правило формирования управления в модели по принципу обратной связи. Это правило выбирается таким образом, что выход w^{h}(t) или управление u^{h}(t) модели �приближает� неизвестные величины ẋ(t), u(t). Семейство разбиений Δ_{h} интервала [t_{0}, ϑ] предполагаем фиксированным. Итак, задача состоит в следующем.

З а д а ч а. Требуется указать дифференциальные уравнения модели M

ẇ^{h}(t) = {u_{i1}^{h}, −p_{1}u_{i1}^{h} − p_{2}ξ_{i}^{h} + u_{i2}^{h}} , при t ∈ δ_{i,h} = [τ_{i,h}, τ_{i+1,h}), τ_{i} = τ_{i,h},  (2)
w^{h}(t_{0}) = w_{0}^{h}, w^{h}(t) ∈ R^{2}, w^{h} = {w_{1}^{h}, w_{2}^{h}} ∈ R^{2}

и правило выбора управлений u_{i}^{h} в моменты τ_{i}

U : {τ_{i}, ξ_{i}^{h}, w^{h}(τ_{i})} → u_{i}^{h} = {u_{i1}^{h}, u_{i2}^{h}} ∈ R^{2}  (3)

1Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант � 09–01–00378 ), Программы Президиума РАН �Математическая теория управления� и Урало-Сибирского интеграционного проекта.

такие, что имеют место сходимости

∫_{t_{0}}^{ϑ} |u_{1}^{h}(t) − ẋ(t)|^{2} dt → 0, ∫_{t_{0}}^{ϑ} |u_{2}^{h}(t) − u(t)|^{2} dt → 0 при h → 0.  (4)

Здесь u^{h}(t) = {u_{1}^{h}(t), u_{2}^{h}(t)}, u_{1}^{h}(t) = u_{i1}^{h}, u_{2}^{h}(t) = u_{i2}^{h} при t ∈ δ_{i,h}.

Пусть известно число K ∈ (0, +∞) такое, что каждое решение (x_{u}(t), ẋ_{u}(t)) (u ∈ P (·) = = {u(·) ∈ L_{2}(T; R) : u(t) ∈ P для п.в. t ∈ T }) уравнения (1) удовлетворяет следующим условиям

max_{t_{0}⩽t⩽ϑ} |x_{u}(t)| ⩽ K, sup_{t_{0}⩽t⩽ϑ} |ẋ_{u}(t)| ⩽ K.  (5)

Введем некоторую функцию α(h) : (0, 1) → R^{+} = {r ∈ R : r > 0} со свойствами

α(h) → 0, δ(h) ⩽ h, h^{1/6}/α(h) → 0 при h → 0.

Пусть начальное состояние модели w_{0}^{h} = (x_{0}, x_{10}), а управления в модели находятся по формулам

u_{i1}^{h} = \{ \begin{matrix}−β_{i}h^{2/3}, если |β_{i}| ⩽ Kh^{2/3}, \\ −Ksignβ_{i}, если |β_{i}| > Kh^{2/3}, \end{matrix}  (6)

u_{i2}^{h} = \{ \begin{matrix}−β_{i}^{(1)}α^{−1}(h), если |β_{i}^{(1)}| ⩽ α(h)f, \\ −fsignβ_{i}^{(1)}, если |β_{i}^{(1)}| > α(h)f. \end{matrix}  (7)

Здесь число K определено в (5), τ_{i} = τ_{i,h}, β_{i} = w_{1}^{h}(τ_{i}) − ξ_{i}^{h}, β_{i}^{(1)} = w_{2}^{h}(τ_{i}) − u_{i1}^{h}.

Опишем процесс решения рассматриваемой задачи. Работа алгоритма начинается в момент t_{0} и разбивается на m_{h} −1 идентичных шагов. До момента t_{0} фиксируются — величина h ∈ (0, 1), функция α = α(h), разбиение Δ = Δ_{h} и модель (2). Затем организуется процесс управления по принципу обратной связи моделью M синхронно с развитием процесса функционирования системы (1). Во время i-го шага на промежутке времени δ_{i,h} = [τ_{i,h}, τ_{i+1,h}) происходит следующее. Сначала вычисляется управление в модели u^{h}(τ_{i,h}) по формулам (6), (7). После этого пересчитывается фазовое состояние модели: к ранее известному отрезку траектории w^{h}(t), t ∈ [t_{0}, τ_{i}] добавляется отрезок, полученный на временном интервале (τ_{i}, τ_{i+1}]. На следующем шаге все операции повторяются. Алгоритм заканчивает работу в момент ϑ.

Сходимость алгоритма устанавливается в следующей теореме.

Т е о р е м а. Если уравнения модели выбраны в виде (2), закон управления — в виде (3), (6), (7), то имеют место сходимости (4).

Описанный выше алгоритм легко модифицируется для некоторых классов систем обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка.

ЛИТЕРАТУРА

1.Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse Problems for Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. Basel, Gordon and Breach, 1995.

2. Maksimov V.I. Dynamical inverse problems of distributed systems. VSP, Boston, 2002.

Abstract: The problem of stability of unknown characteristics dynamic reconstruction in systems of second order; the focused at real-time work algorithm, possessing dynamic and stability properties: the first means, that present input values produce "in real-time", the second – that approximation is such precise as precise the supervision.

Key words: reconstruction; an auxiliary dynamical system-model.

Близорукова Марина Сергеевна к. ф.-м. н., доцент Институт математики и механики УрО РАН Россия, Екатеринбург e-mail: msb@imm.uran.ru Marina Blizorukova candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Institute of Mathematics and Mechanics of UrD RAS Russia, Ekaterinburg e-mail: msb@imm.uran.ru

УДК 517.977

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ОБОБЩЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА ВИРТИНГЕРА ВАРИАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Г. П. Бочкарёв

Ключевые слова: интегральное неравенство; оператор; W-подстановка; квадратично суммируемая функция; сопряжённый оператор; собственное значение; спектральный радиус.

Аннотация: На примере неравенства Виртингера рассматривается применение методов, разработанных Пермским семинаром по ФДУ, к доказательству интегральных неравенств.

При исследовании неравенства Виртингера [2, с. 245]

∫_{0}^{π} x^{2}(t)dt ⩽ ∫_{0}^{π} ẋ^{2}(t)dt, ∫_{0}^{π} x(t)dt = 0  (1)

удобно рассмотреть вариационную задачу в H^{1} = H^{1}[a, b], пространстве функций, чья вторая производная принадлежит пространству L_{2} = L_{2}[a, b], квадратично суммируемых функций:

Φx = ∫_{a}^{b}(ẋ^{2}(t) − p(t)x^{2}(t))dt → min, ∫_{a}^{b} x(t)dt = 0.  (2)

Если эта задача имеет решение, то значение минимума функционала равно 0.

Обозначим через D = D[a, b] = {x ∈ H^{1}[a, b] | ∫_{a}^{b} x(t)dt = 0}, AC = AC[a, b] - пространство абсолютно непрерывных функций. Следуя подходу, разработанному Пермским семинаром [1], сведём рассматриваемую проблему к задаче в L_{2}[a, b] с помощью подстановки, определяющей взаимно однозначное соответствие между пространствами D и L_{2} (x ∈ D, z ∈ L_{2}):

ẋ(t) = z(t), ∫_{a}^{b} x(t)dt = 0,  (3)

1Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ � 07-01-96060.

x(t) = ∫_{a}^{b} G(t, s)z(s)ds = (Gz)(t),

где G(t, s) - функция Грина задачи (3).

Таким образом для z ∈ L_{2} имеем следующую задачу на безусловный экстремум:

Φ_{1}z = ∫_{a}^{b} z(t)(z(t) − (G^{∗}P̂Gz)(t))dt → min .  (4)

Здесь

(G^{∗}y)(t) = \frac{t − a}{b − a} ∫_{a}^{b} y(s)ds − ∫_{a}^{t} y(s)ds  (5)

— сопряжённый к оператору G оператор, а P̂ — оператор умножения на p : (P̂y)(t) = p(t)y(t). В [1] указаны необходимые и достаточные условия существования минимума для задач типа

(4). Для нахождения условий существования минимума задачи (2) необходимо следующее утверждение.

У т в е р ж д е н и е . Пусть w(t) ∈ AC. Тогда из G^{∗}y = w следует w(a) = w(b) = 0, y(t) = = −w′(t) + C .

Из этого утверждения следует, что

G^{∗}P̂Gz = z ⇔ p(t)(Gz)(t) = −λz′(t) + C(6), z(a) = z(b) = 0.

Для доказательства неравенства (1) имеет смысл сузить задачу: положим p(t) = p = const ≠ ≠ 0. При исследовании выражения (6) выяснилось, что C = 0 и:

z(t) = −\frac{λz′′(t)}{p}.  (7)

Из формулы (7) получаем задачу на собственные значения для дифференциального уравнения второго порядка:

z′′(t) = −\frac{p}{λ}z(t), z(a) = z(b) = 0.

Её решение:

λ = \frac{(b − a)^{2}}{π^{2}n^{2}} p(n ∈ Z) ⇒ λ_{max} = \frac{(b − a)^{2}}{π^{2}} p.

Так как операторы G и G^{∗} компактные, а для вполне непрерывного оператора справедливо утверждение о том, что его спектральный радиус не больше максимального по модулю собственного значения, то нижеследующее выражение гарантирует единственность решения задачи (2)

λ_{max} ⩽ 1 ⇔ p ⩽ \frac{π^{2}}{(b − a)^{2}} .  (8)

Если в (8) подставить a = 0, b = π, p = 1, то можно убедиться в справедливости неравенства Виртингера.

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-диффе-ренциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 384 с.

2. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1985. 280 с.

Abstract: On Virtinger’s inequality as an example it is considerated using techniques, developed by Perm FDE seminar, to proof of integral inequalities at this article.

Key words: integran inequality; operator; W-substitution; quadratic summable function; conjugate operator; eigenvalue; spectral radius.

Бочкарёв Григорий Павлович м.н.с. Пермский государственный технический университет Россия, Пермь e-mail: grpb@list.ru Grigoriy Botschkaryov younger scientific employee Perm State Technical university Russia, Perm e-mail: grpb@list.ru

УДК 517.929

ON THE SOLVABILITY OF RESONANCE BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH MONOTONE OPERATORS ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} E. Bravyi

Key words: periodic boudary value problem; resonance boudary value problem; functional differential equations; Favard constants, Green function.

Abstract: For a wide class of resonance boundary value problems for scalar functional differential equations with positive operators necessary and sufficient conditions of the unique solvability are obtained.

Periodic boundary value problems for different functional differential equations have attracted great attention during recent years (see [1–3] and lists of references). On the basic of the results of [2] some conditions of solvability for periodic problems were obtained in terms of maxima and minima of some polynomials. The optimality of solvability conditions and a recurrence relation for these maxima and minima were proved for all orders n only for some additional suppositions.

Here necessary and sufficient conditions of uniquely solvability for some classes of resonance boundary value problems (including periodic ones) are obtained.

Consider the boundary value problem for a linear scalar equation:

x^{(n)}(t) = (T^{+}x)(t) − (T^{−}x)(t) + f(t), t ∈ [0, 1],  (1)
ℓ_{i}x = c_{i}, i = 1, …, n − 1, ℓ_{n}x ≡ x^{(n−1)}(0) − x^{(n−1)}(1) = c_{n},  (2)

where n ⩾ 2; c_{i} ∈ R, i = 1, …, n; f ∈ L[0, 1]; the linear operators T^{+/−} : C[0, 1] → L[0, 1] are positive; the functionals

ℓ_{i}x ≡ ∑_{j=0}^{n−1} (A_{ij}x^{(j)}(0) + B_{ij}x^{(j)}(1)) , i = 1, …, n − 1,  (3)

are such that {x(t) = c, c ∈ R} is the set of all solutions of the problem x^{(n)} = 0, ℓ_{i}x = 0, i = 1, …, n. We will say that the prob;em is resonance since for T^{+/−} = 0, f = 0, c_{i} = 0, i = 1, …, n, the problem has nontrivial solutions.

1Supported by Grant 07-01-96060 of The Russian Foundation for Basic Research.

Denote by G(t, s) the Green function of the problem x^{(n)} = f, ℓ_{i}x = 0, i = 1, …, n − 1, x(0) = 0. Let the constants M_{n}, n ⩾ 2, be defined by the equalities

M_{n} = max_{t_{1},t_{2}∈[0,1]} ( max_{s_{1}∈[0,1]}(G(t_{1}, s_{1}) − G(t_{2}, s_{1})) − min_{s_{2}∈[0,1]}(G(t_{1}, s_{2}) − G(t_{2}, s_{2}))) .

T h e o r e m 1. Let nonnegative numbers T^{+} ≠ T^{−} be given. Boundary value problem (1)–(2) is uniquely solvable for all positive operators T^{+/−} : C[0, 1] → L[0, 1] such that

∫_{0}^{1}(T^{+/−}1)(s) ds = T^{+/−},

if and only if

\frac{Y}{1 − Y} ⩽ X ⩽ 2(1 + \sqrt{1 − Y}), Y ⩽ \frac{3}{4},

where X = M_{n} max(T^{+}, T^{−}), Y = M_{n} min(T^{+}, T^{−}).

R e m a r k 1. The results of Theorem 1 are valid for much more general boundary conditions than (3) for some additional suppositions.

For the periodic problem for the n-th order equation we have: M_{n} = |G(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})| if n is even, M_{n} = = 2|G(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})| if n is odd, where G(t, s) is the Green function of the problem

x^{(n)} = f, x(0) = 0, x(1) = 0, x^{(i)}(0) = x^{(i)}(1), i = 1, …, n − 2.

Moreover, the constants M_{n} coincide with the constants computed in [2] and possess the following properties:

M_{n} = \frac{F_{n−1}}{(2π)^{n−1}} = \{ \begin{matrix}(−1)^{m} \frac{E_{n−1}}{4^{n−1} (n − 1)!}, n = 2m + 1, \\ (−1)^{m+1}4(1 − \frac{1}{2^{n}})B_{n}, n = 2m, \end{matrix}

where F_{n} = \frac{4}{π} ∑_{k=0}^{∞} (\frac{(−1)^{k}}{2k + 1})^{n+1} are the Favard constants [4, D. 27, P. 385], B_{n} are the Bernoulli

numbers, E_{n} are the Euler numbers; for even numbers n

M_{n} = \frac{4C_{n,∞}}{(2π)^{n−1}} ,

where C_{n,∞} are the �Stechkin constants� [4, D. 30, P. 385]; the sequence {M_{n}} satisfies the following recurrent equalities

8 n M_{n+1} = ∑_{k=1}^{n} M_{k}M_{n+1−k}, M_{1} = 1,

therefore, the sequence {M_{n}} has a simple generating function

∑_{n=0}^{∞} M_{n+1}t^{n} = \frac{1}{cos(t/4)} + tg(t/4), |t| < 2π;

M_{n+2} = \frac{A_{n}}{4^{n+1}(n + 1)!},

where A_{n} are the numbers of up-down permutations of the numbers {0, 1, …, n} (see, for example, [5]).

REFERENCES

1. Lomtatidze A.G., Půža B., Hakl R. On periodic boundary value problems for first order functional differential equations // Differential equations. 2003. Т. 39. � 3. P. 320–327. [In Russian]

2. Hakl R., Mukhigulashvili S. On one estimate for periodic functions// Georgian Math. J. 2005. V. 12. � 1. P. 97–114.

3. Mukhigulashvili S. On a periodic boundary value problem for third order linear functional differential equations // Nonlinear Anal. Theory, Methods, Appl., 2007. V. 66. � 2(A). P. 527–535.

4. Hardy G.H., Littlewood J.E., Polya G. Inequalities. Moscow: Inostrannaya Literatura, 1946. [Russian translation]

5. Arnol’d V.I. The calculus of snakes and the combinatorics of Bernoulli, Euler and Springer numbers of Coxeter groups // Russian Mathematical Surveys. 1992. V. 47. � 1(283). P. 3–45.

Аннотация: Для широкого класса резонансных краевых задач для скалярных функционально-диффе-ренциальных уравнений с положительными операторами получены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости.

Ключевые слова: периодическая краевая задача; резонансная краевая задача; функционально-диф-ференциальные уравнения; константы Фавара; функция Грина.

Бравый Евгений Ильич к. ф.-м. н., доцент Пермский государственный технический университет Россия, Пермь e-mail: bravyi@perm.ru Bravyi Evgeniy candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Perm State Technical University, Russia, Perm e-mail: bravyi@perm.ru

УДК 517.911, 517.968

О РЕАЛИЗАЦИИ РАССТОЯНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С МНОГОЗНАЧНЫМИ ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} А. И. Булгаков, Е. В. Корчагина

Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; многозначные импульсные воздействия. Аннотация: На множестве решений функционально-дифференциального включения с многозначными

импульсными воздействиями рассмотрен вопрос о реализации расстояния в пространстве суммируемых функций от произвольной суммируемой функции до своих значений. Получены эффективные оценки решений задачи Коши.

В монографиях [1-3] исследованы дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. Здесь рассматривается функционально-дифференциальное включение с вольтерровым по А.Н. Тихонову оператором (см. [4]) и многозначными импульсными воздействиями.

1Работа поддержана грантами РФФИ (� 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы"(РНП � 2.1.1/1131) и включена в Темплан � 1.6.07.

Пусть U ∈ [a, b] – измеримое по Лебегу множество. Обозначим L_{1}^{n}(U) пространство суммируемых по Лебегу функций x : U → ℝ^{n} с нормой ∥x∥_{L^{n}(U)} = ∫_{U} |x(s)|ds, comp [ℝ^{n}]– множество непустых

компактов пространства ℝ^{n}.

Пусть S(L_{1}^{n}[a, b]) – множество всех ограниченных замкнутых выпуклых по переключению (разложимых) (см. [5]) подмножеств пространства L_{1}^{n}[a, b]; Ω[S(L_{1}^{n}[a, b])] – множество всех выпуклых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению (разложимых) подмножеств пространства L_{1}^{n}[a, b].

Пусть t_{k} ∈ [a, b] (a < t_{1} < … < t_{m} < b) – конечный набор точек. Обозначим через C̃^{n}[a, b] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [a, t_{1}], (t_{1}, t_{2}], …, (t_{m}, b] ограниченных функций x : [a, b] → ℝ^{n}, имеющих пределы справа в точках t_{k}, k = 1, 2, …, m, с нормой ∥x∥_{C̃^{n}[a,b]} = sup{|x(t)| : t ∈ [a, b]}, C̃_{+}^{1}[a, b] – множество неотрицательных функций пространства

C̃^{1}[a, b]. Если τ ∈ (a, b], то C̃^{n}[a, τ] – это пространство функций x : [a, τ] → ℝ^{n}, являющихся сужениями на отрезок [a, τ] элементов из C̃^{n}[a, b] с нормой∥x∥_{C̃^{n}[a,τ]} = sup{|x(t)| : t ∈ [a, τ]}. Пусть X – произвольное пространство и U_{1}, U ⊂ X, тогда h_{X}[U_{1}; U]– расстояние по Хаусдорфу между множествами U_{1} и U в пространстве X, если X = ℝ^{n}, то индекс пространства в расстоянии по Хаусдорфу между множествами опускаем.

Рассмотрим задачу

ẋ ∈ Φ(x),  (1)
Δ(x(t_{k})) ∈ I_{k}(x(t_{k})), k = 1, …, m,  (2)
x(a) = x_{0},  (3)

где отображение Φ : C̃^{n}[a, b] → S(L_{1}^{n}[a, b]) непрерывно по Хаусдорфу и удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества U ⊂ C̃^{n}[a, b] образ Φ(U) ограничен суммируемой функцией. Отображения I_{k} : ℝ^{n} → comp [ℝ^{n}], k = 1, 2, ...m непрерывны по Хаусдорфу, Δ(x(t_{k})) = x(t_{k} + + 0) − x(t_{k}), k = 1, 2, ...m.

О п р е д е л е н и е 1. Под решением задачи (1)-(3) будем понимать функцию x ∈ C̃^{n}[a, b], для которой существует такое q ∈ Φ(x), что при всех t ∈ [a, b] имеет место представление

x(t) = x_{0} + ∫_{a}^{t} q(s)ds + ∑_{k=1}^{m} χ_{(t_{k},b]}(t)Δ(x(t_{k})),  (4)

где Δ(x(t_{k})) ∈ I_{k}(x(t_{k})), k = 1, …, m.

Предположим, что оператор Φ : C̃^{n}[a, b] → S(L_{1}^{n}[a, b]) вольтерров по А.Н. Тихонову.

О п р е д е л е н и е 2. Будем говорить, что множество решений задачи (1)-(3) почти реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений, если для любого v ∈ L_{1}^{n}[a, b] и любого ε > 0 существует такое решение x ∈ C̃^{n}[a, b] задачи (1)-(3), что для любого измеримого множества U ⊂ [a, b] выполняется неравенство

∥q − v∥_{L_{1}^{n}(U)} ⩽ ρ_{L_{1}^{n}(U)}[v, Φ(x)] + εμ(U),  (5)

где функция q ∈ Φ(x) удовлетворяет равенству (4). Если при ε = 0 в (5) выполняется равенство, то будем говорить, что множество решений задачи (1)-(3) реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений.

О п р е д е л е н и е 3. Будем говорить, что множество всех локальных решений задачи (1)-(3) априорно ограничено, если найдется такое число r > 0, что для всякого τ ∈ (a, b] не существует решения y задачи (1)-(3) на [a, τ], для которого выполняется неравенство ||y||_{C̃^{n}[a,τ]} > r.

Т е о р е м а 1. Пусть множество всех локальных решений задачи (1)-(3) априорно ограничено. И пусть отображение Φ : C̃^{n}[a, b] → S(L_{1}^{n}[a, b]) непрерывно по Хаусдорфу. Тогда множество решений задачи (1)-(3) почти реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений. Если Φ : C̃^{n}[a, b] → Ω[S(L_{1}^{n}[a, b])], то множество решений задачи (1)-(3) реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений.

О п р е д е л е н и е 4. Будем говорить, что импульсные воздействия I_{k} : ℝ^{n} → comp [ℝ^{n}], k = 1, 2, ..., m, обладают свойством A, если для каждого k = 1, 2, ..., m найдется непрерывная неубывающая функция Ĩ_{k} : ℝ_{+}^{1} → ℝ_{+}^{1}, удовлетворяющая равенству Ĩ_{k}(0) = 0, что для любых x, y ∈ ℝ^{n} выполняется оценка

h[I_{k}(x), I_{k}(y)] ⩽ Ĩ_{k}(|x − y|).  (6)

О п р е д е л е н и е 5. Будем говорить, что импульсные воздействия I_{k} : ℝ^{n} → comp [ℝ^{n}], k = = 1, 2, ..., m, и отображение Φ : C̃^{n}[a, b] → S(L_{1}^{n}[a, b]) обладают свойством (Γ^{u,ε,p}, k = 1, 2, ..., m), если импульсные воздействия I_{k} : ℝ^{n} → comp [ℝ^{n}], k = 1, 2, ..., m, обладают свойством A, и если найдется изотонный непрерывный вольтерров оператор Γ : C̃_{+}^{1}[a, b] → L_{+}^{1}[a, b], удовлетворяющий условиям Γ(0) = 0, для любых функций x, y ∈ C̃^{n}[a, b] и любого измеримого множества U ⊂ [a, b] выполняется неравенство

h_{L_{1}^{n}(U)}[Φ(x); Φ(y)] ⩽ ∥Γ(Z(x − y))∥_{L_{1}^{1}(U)};  (7)

множество всех локальных решений задачи

ẏ = u + ε + Γ(y), Δ(y(t_{k})) = Ĩ_{k}(y(t_{k})), k = 1, ...m, y(a) = p  (8)

априорно ограничено. Здесь непрерывное отображение Z : C̃^{n}[a, b] → C̃_{+}^{1}[a, b] определено равенством

(Zx)(t) = |x(t)|,  (9)

отображения I_{k} : ℝ^{n} → comp [ℝ^{n}], k = 1, 2, ..., m, удовлетворяют неравенству (6), u ∈ L_{+}^{1}[a, b], числа ε, p ⩾ 0.

Пусть для функции y ∈ C̃^{n}[a, b] существует функция q̃ ∈ L^{n}[a, b], что для любого t ∈ [a, b] имеет место представление

y(t) = y(a) + ∫_{a}^{t} q̃(s)ds + ∑_{k=1}^{m} χ_{[t_{k},b]}(t)Δ(y(t_{k})),  (10)

где Δ(y(t_{k})) ∈ I_{k}(y(t_{k})), k = 1, 2, ..., m. Пусть для функции κ ∈ L_{+}^{1}[a, b] для каждого измеримого множества U справедливо соотношение

ρ_{L_{1}^{n}(U)}[q̃; Φ(y)] ⩽ ∫_{U} κ(s)ds,  (11)

где функции q̃ ∈ L_{1}^{n}[a, b] и y ∈ C̃^{n}[a, b] удовлетворяют равенству (10).

Т е о р е м а 2. Пусть для функции y ∈ C̃^{n}[a, b] имеет место представление (10), а функция κ ∈ L_{+}^{1}[a, b] для каждого измеримого множества U ⊂ [a, b] удовлетворяет неравенству (11). Далее, пусть импульсные воздействия I_{k} : ℝ^{n} → comp [ℝ^{n}], k = 1, 2, ..., m, и отображение Φ : C̃^{n}[a, b] → S(L_{1}^{n}[a, b]) обладают свойством (Γ^{κ,ε,p}, k = 1, 2, ..., m), где ε ⩾ 0, p = |x_{0} − y(a)|, x_{0}− начальное условие задачи (1)-(3). Тогда для любого решения x ∈ C̃^{n}[a, b] задачи (1)-(3), удовлетворяющего для любого измеримого множества U ⊂ [a, b] неравенству (5), в котором функция q ∈ L_{1}^{n}[a, b] из представления (4), а функция v = q̃ из соотношения (10), при любом t ∈ [a, b] имеет место оценка

|x(t) − y(t)| ⩽ ξ(κ, ε, p)(t),  (12)

и при почти всех t ∈ [a, b] справедливо соотношение

|q(t) − q̃(t)| ⩽ κ(t) + ε + (Γ(ξ(κ, ε, p)))(t),  (13)

где ξ(κ, ε, p)− верхнее решение задачи (8) при u = κ и p = |x_{0} − y(a)|.

Т е о р е м а 3. Пусть для функции y ∈ C̃^{n}[a, b] имеет место представление (10), и функция κ ∈ L_{+}^{1}[a, b] для каждого измеримого множества U ⊂ [a, b] удовлетворяет неравенству (11). Далее, пусть импульсные воздействия I_{k} : ℝ^{n} → comp [ℝ^{n}], k = 1, 2, ..., m, и отображение Φ : C̃^{n}[a, b] → S(L_{1}^{n}[a, b]) обладают свойством (Γ^{κ,ε,p}, k = 1, 2, ..., m), где ε ⩾ 0, p = |x_{0}−y(a)|, x_{0}− начальное условие задачи (1)-(3), и множество всех локальных решений задачи (1)-(3) априорно ограниченно. Тогда при ε > 0 существует решение x ∈ C̃^{n}[a, b] задачи (1)-(3), для которого при всех t ∈ [a, b] справедлива оценка (12), и при почти всех t ∈ [a, b] выполняется соотношение (13).

Если Φ : C̃^{n}[a, b] → Ω(S[L_{1}^{n}[a, b]], то утверждение справедливо и при ε = 0.

ЛИТЕРАТУРА

1.Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы теории функционально-дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1987.

2. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища шк., 1987.

3. Завалищин C.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.

4. Тихонов А.Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюллетень Московского университета. Секция А. 1938. Т. 68. � 4. С. 1-25.

5. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Известия ВУЗов. 1999. � 3. С. 3–16.

Abstract: The work is concerned with functional-differential inclusions with multivalued impulses. There is considered the question of realization of the distance (in the space of summable functions) from an arbitrary summable function to the values of a multivalued map acting on the solutions set. The effective estimates of solutions to the Cauchy problem are derived.

Key words: functional-differential inclusion; multivalued impulses.

Булгаков Александр Иванович д. ф.-м. н., профессор Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: aib@tsu.tmb.ru Alexandr Bulgakov doctor of phys.-math. sciences, professor Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: aib@tsu.tmb.ru

Корчагина Елена Валерьевна аспирант Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: aib@tsu.tmb.ru Elena Korchagina post-graduate student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: aib@tsu.tmb.ru УДК 517.911, 517.968

ПОЛУНЕПРЕРЫВНАЯ СНИЗУ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРОВ МНОЖЕСТВ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

ВКЛЮЧЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} А. И. Булгаков, Е. В. Корчагина, О. В. Филиппова

Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; импульсные воздействия.

Аннотация: Сформулирована теорема о полунепрерывной снизу зависимости множеств решений задачи Коши от правой части функционально-дифференциальных включений, импульсных воздействий и начальных условий.

Пусть U ∈ [a, b] – измеримое по Лебегу множество. Обозначим L_{1}^{n}(U) пространство суммируемых по Лебегу функций x : U → ℝ^{n} с нормой ∥x∥_{L^{n}(U)} = ∫_{U} |x(s)|ds, h_{L^{n}(U)}[·, ·] – расстояние по

Хаусдорфу между множествами пространства L^{n}(U).

Множество всех ограниченных замкнутых выпуклых по переключению (разложимых) подмножеств пространства L^{n}[a, b] обозначим через S(L^{n}[a, b]).

Пусть t_{k} ∈ [a, b] (a < t_{1} < … < t_{m} < b) – конечный набор точек. Обозначим через C̃^{n}[a, b] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [a, t_{1}], (t_{1}, t_{2}], …, (t_{m}, b] ограниченных функций x : [a, b] → ℝ^{n}, имеющих пределы справа в точках t_{k}, k = 1, 2, …, m, с нормой ∥x∥_{C̃^{n}[a,b]} = sup{|x(t)| : t ∈ [a, b]}; R_{+}^{1} = [0, ∞); L_{+}^{1}[a, b], C̃_{+}^{1}[a, b] – конусы неотрицательных

функций пространств L^{1}[a, b] и C̃^{1}[a, b] соответственно; χ(a, b) – характеристическая функция интервала (a, b).

Рассмотрим задачу

ẋ ∈ Φ_{0}(x),  (1_{0})
Δ(x(t_{k})) = I_{0k}(x(t_{k})), k = 1, 2, …, m,  (2_{0})
x(a) = x_{0},  (3_{0})

а также для любого i = 1, 2, ... рассмотрим задачи

ẋ ∈ Φ_{i}(x),  (1_{i})
Δ(x(t_{k})) = I_{ik}(x(t_{k})), k = 1, 2, …, m,  (2_{i})
x(a) = x_{i},  (3_{i})

где для каждого i = 0, 1, ... вольтерров по А.Н. Тихонову оператор Φ_{i} : C̃^{n}[a, b] → S(L_{1}^{n}[a, b]) удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества U ⊂ C̃^{n}[a, b] образ Φ_{i}(U) ограничен суммируемой функцией. Для каждого i = 0, 1, ..., k = 1, 2, ...m отображения I_{ik} : ℝ^{n} → ℝ^{n} непрерывны.

Пусть H(x_{i}, τ) (i = 0, 1, ...) – множество решений задачи (1_{i})−(3_{i}) на отрезке [a, τ] (τ ∈ (a, τ]). Будем говорить, что задачи (1_{i}) − (3_{i}) (i = 0, 1, 2, ...) априорно ограничены в совокупности,

если найдется такое число l > 0, что для любых фиксированных i = 0, 1, ..., τ ∈ (a, b], и любого y ∈ H(x_{i}, τ) выполняется оценка ||y||_{C̃^{n}[a,τ]} ⩽ l.

1Работа поддержана грантами РФФИ (� 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы"(РНП � 2.1.1/1131) и включена в Темплан � 1.6.07.

О п р е д е л е н и е 1. Будем говорить, что импульсные воздействия I_{ik} : ℝ^{n} → ℝ^{n}, i = 1, 2, ..., k = 1, 2, ..., m, обладают свойством A, если для каждого i = 1, 2, ..., k = 1, 2, ..., m найдется непрерывная неубывающая функция Ĩ_{ik} : ℝ_{+}^{1} → ℝ_{+}^{1}, удовлетворяющая равенству Ĩ_{ik}(0) = 0, что для любых x, y ∈ ℝ^{n} выполняется оценка

|I_{0k}(x) − I_{ik}(y)| ⩽ Ĩ_{ik}(|x − y|),  (4)

причем для любого k = 1, 2, ..., m и любого z ∈ ℝ_{+}^{1} имеем Ĩ_{ik}(z) → 0 при i → ∞.

О п р е д е л е н и е 2. Будем говорить, что импульсные воздействия I_{ik} : ℝ^{n} → ℝ^{n}, i = 1, 2, ..., k = 1, 2, ..., m, и отображения Φ_{i} : C̃^{n}[a, b] → S(L_{1}^{n}[a, b]), i = 1, 2, ..., обладают свойством B, если импульсные воздействия I_{ik} : ℝ^{n} → ℝ^{n}, i = 1, 2, ..., k = 1, 2, ..., m, обладают свойством A, и если для каждого i = 1, 2, ... найдется изотонный непрерывный вольтерров оператор Γ_{i} : C̃_{+}^{1}[a, b] → L_{+}^{1}[a, b], удовлетворяющий условиям: Γ_{i}(0) = 0, для любых функций x, y ∈ C̃^{n}[a, b] и любого измеримого множества U ∈ [a, b] выполняется неравенство

h_{L^{n}(U)}[Φ_{0}(x); Φ_{i}(y)] ⩽ ∥Γ_{i}(Z(x − y))∥_{L^{1}(U)},

причем для любого z ∈ C̃_{+}^{1}[a, b] Γ_{i}(z) → 0 при i → ∞, и задачи

ẏ = Γ_{i}(y), Δy(t_{k}) = Ĩ_{ik}(y(t_{k})), k = 1, 2, ..., m, y(a) = |x_{0} − x_{i}|, i = 1, 2, …

априорно ограничены в совокупности, где отображение Z : C̃^{n}[a, b] → C̃_{+}^{1}[a, b] определено равенством (Zx)(t) = |x(t)|.

Т е о р е м а. Пусть последовательность x_{i} → x_{0} в ℝ^{n}, при i → ∞. И пусть задачи (1_{i}) − (3_{i}), i = 0, 1, … априорно ограничены в совокупности. Далее пусть импульсные воздействия I_{ik} : ℝ^{n} → ℝ^{n}, i = 1, 2, …, k = 1, 2, …, m, и отображения Φ_{i} : C̃^{n}[a, b] → S(L^{n}[a, b]), i = 1, 2, …, обладают свойством B. Тогда для каждого решения y ∈ H(x_{0}, b), для любого t ∈ [a, b] представимого в виде

y(t) = x_{0} + ∫_{a}^{t} q(s)ds + ∑_{k=1}^{m} χ_{(t_{k},b]}Δ(y(t_{k})),

где q ∈ Φ_{0}(y) и Δ(y(t_{k})) (k = 1, 2, ..., m) удовлетворяют равенствам (2_{0}), найдется такая последовательность y_{i} ∈ H(x_{i}, b), i = 1, 2, …, что для любого t ∈ [a, b] выполняется равенство

y_{i}(t) = x_{0} + ∫_{a}^{t} q_{i}(s)ds + ∑_{k=1}^{m} χ_{(t_{k},b]}Δ(y_{i}(t_{k})),

где q_{i} ∈ Φ_{i}(y_{i}) и Δ(y_{i}(t_{k})) (k = 1, 2, ..., m) удовлетворяют условиям (2_{i}), и y_{i} → y в пространстве C̃^{n}[a, b] при i → ∞, при этом q_{i} → q в пространстве L^{n}[a, b] при i → ∞.

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы теории функционально-дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1987.

2. Завалищин C. Т., Сесекин А. Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.

3. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища шк., 1987.

4. Мышкис А.Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // УМН. 1949. Т. 4. Вып. 5. С. 99–141.

5. Филиппов А.Ф. Диференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

Abstract: There is derived the theorem on lover semicontinuous dependence of solution-set to the cauchy problem on the right-hand side of functional-differential inclusion, on the impulses and on the initial conditions.

Keywords: functional-differential inclusion; impulses.

Булгаков Александр Иванович д. ф.-м. н., профессор Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: aib@tsu.tmb.ru Alexandr Bulgakov doctor of phys.-math. sciences, professor Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: aib@tsu.tmb.ru

Корчагина Елена Валерьевна аспирант Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: aib@tsu.tmb.ru Elena Korchagina post-graduate student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: aib@tsu.tmb.ru

Филиппова Ольга Викторовна аспирант Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: philippova.olga@rambler.ru Olga Filippova post-graduate student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: philippova.olga@rambler.ru

УДК 517.911.5

СВЯЗНОСТЬ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С

ВОЛЬТЕРРОВЫМ ОПЕРАТОРОМ И ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} А. И. Булгаков, J. P. Munembe

Ключевые слова: связность множества решений; функционально-дифференциальные уравнения с вольтерровым оператором и импульсными воздействиями.

Аннотация: Здесь приводится теорема о структуре множества решений уравнения в метрическом пространстве, с помощью которой формулируется теорема о связности множества решений задачи Коши функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями.

1Работа поддержана грантами РФФИ (� 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы"(РНП � 2.1.1/1131), "Программой Всемирного исследовательского сотрудничества в математике, статистике и информатике"при поддержке SIDA и включена в Темплан � 1.6.07.

Вопрос о связности множеств решений задач эволюционного типа имеет богатую историю и восходит к классическим работам А. Кнезера, М. Хукухаре, где он был решен для обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот результат переносился затем многими авторами на объекты более общего вида, в том числе на дифференциальные и интегральные уравнения и включения (Р.В. Ахмеров, Е.Е. Викторовский, Б.Д. Гельман, И.Т. Кигурадзе, А.Я. Лепин, Л.Н. Ляпин, В.П. Максимов, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский, А.Е. Родкина, Б.Н. Садовский, А.А. Толстоногов, А.Ф. Филиппов, И.А. Финогенко, J. Davy, W. Kelley, N. Kikuchi, S. Nakagiri, H. Marakami, S. Szufla и др. (библиографию можно найти в монографиях [1-5])). Плодотворную роль при исследовании вопроса о связности для задач с однозначными операторами сыграла топологическая схема доказательства, разработанная М.А. Красносельским и А.И. Перовым. Здесь приводится теорема, которая обобщает принцип связности М.А. Красносельского и А.И. Перова.

Пусть Y, Y_{1}— полные метрические пространства. Рассмотрим отображение P : M → Y_{1}, где M ⊂ Y — замкнутое ограниченное множество, а также уравнение

q = P (x),  (1)

где q ∈ Ỹ_{1}. Под решением уравнения (1) понимается всякий элемент x ∈ M, удовлетворяющий (1). Через H(M) обозначим множество всех решений уравнения (1).

Будем говорить, что оператор P q-замкнут, если из условия q ∈ \overline{P (E)} вытекает, что q ∈ P (E) для любого замкнутого множества E ⊂ M.

Т е о р е м а 1. Пусть оператор P q-замкнут. Тогда множество H(M) связно тогда и только тогда, когда по любому τ > 0 можно найти связное множество X(τ) ⊂ M, удовлетворяющее условиям: H(M) ⊂ X(τ); для любого x ∈ X(τ) выполняется неравенство ρ_{Y_{1}}[q, P (x)] ⩽ τ, где ρ_{Y_{1}}[·, ·] – расстояние в метрическом пространстве Y_{1}.

Теорему 1 можно использовать для исследования структуры множества решений задачи Коши для функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями. Для этого введем обозначения.

Пусть t_{k} ∈ [a, b](a < t_{1} < … < t_{m} < b)— конечный набор точек. Обозначим через C̃^{n}[a, b] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [a, t_{1}], (t_{1}, t_{2}], …, (t_{m}, b] ограниченных функций x : [a, b] → ℝ^{n}, имеющих пределы справа в точках t_{k}, k = 1, 2, …, m, с нормой ∥x∥_{C̃^{n}[a,b]} = sup{|x(t)|, t ∈ [a, b]}, L^{n}[a, b]— пространство суммируемых функций.

Рассмотрим задачу

\begin{matrix}ẋ = Φ(x), x(a) = x_{0}(∈ ℝ^{n}) \\ Δx(t_{i}) = I_{i}(x(t_{i})), i = 1, 2, …, m, \end{matrix}  (2)

где непрерывный вольтерров по А.Н. Тихонову оператор Φ : C̃^{n}[a, b] → L^{n}[a, b] обладает свойством: для каждого ограниченного множества U ⊂ C̃^{n}[a, b] образ Φ(U) ограничен суммируемой функцией. Отображения I_{i} : ℝ^{n} → ℝ^{n}, i = 1, 2, …, m непрерывны, Δx(t_{i}) = x(t_{i} + 0) − x(t_{i}), i = 1, 2, …, m.

Под решением задачи (2) будем понимать такую функцию x ∈ C̃^{n}[a, b], что для всех t ∈ [a, b] имеет место равенство

x(t) = x_{0} + ∫_{a}^{t} Φ(x)(s)ds + ∑_{i=1}^{m} χ_{(t_{i},b]}(t)Δx(t_{i}),

где χ_{(c,b]}— характеристическая функция отрезка (c, b].

Пусть H(x_{0})— множество решений задачи (2).

В силу того, что оператор Φ : C̃^{n}[a, b] → L^{n}[a, b] вольтерров, естественным образом можно ввести определение решения (локального) на любом отрезке [a, τ] ⊂ [a, b] задачи (2). Пусть H(x_{0}, τ)— множество всех решений задачи (2) на отрезке [a, τ].

Будем говорить, что множество решений задачи (2) (H(x_{0})) априорно ограничено, если существует такое r > 0, что для любого τ ∈ (a, b] не существует y ∈ H(x_{0}, τ), что ∥y∥_{C̃^{n}[a,b]} > r.

Используя теорему 1 и результат работы [6], можно доказать следующее утверждение.

Т е о р е м а 2. Пусть множество решений задачи (2) априорно ограничено. Тогда множество H(x_{0})— непустой связный компакт пространства C̃^{n}[a, b].

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматулина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

2. Ахмеров Р.Р., Каменский М.Н., Потапов А.С., Родкина А.Е., Садовский Б.Н. Теория уравнений нейтрального типа // Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 19. С. 55–126.

3. Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси: ТбГУ, 1975.

4. Мышкис А.Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // УМН. 1949. Т. 4. Вып. 5. С. 99–141.

5. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

6. Булгаков А.И., Ляпин Л.Н. О связности множеств решений функциональных включений // Матем. сб. 1982. Т. 119, � 2. С. 295-300.

Abstract: The theorem about the structure of the solutions set of an equation in a metric space is given. Based on this result, there is also formulated the theorem on connectedness of the solutions set of the Cauchy problem for a functional-differential inclusion with impulses.

Key words: the solutions set connectedness; functional-differential equations with Volterra operator and impulses.

Булгаков Александр Иванович д. ф.-м. н., профессор Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: aib@tsu.tmb.ru Alexandr Bulgakov doctor of phys.-math. sciences, professor Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: aib@tsu.tmb.ru

Мунембе Джоао Пауло д. ф.-м. н., профессор Университет Эдуардо Мондлане Мозамбик, Мапуту e-mail: munembe@member.ams.org Joao Paulo Munembe doctor of phys.-math. sciences, professor Eduardo Mondlane University Mozambique, Maputo e-mail: munembe@member.ams.org УДК 517.911, 517.968

О ПРОДОЛЖАЕМОСТИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С

ВОЛЬТЕРРОВЫМ ОПЕРАТОРОМ И ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} А. И. Булгаков, О. В. Филиппова

Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; импульсные воздействия; обобщенное решение.

Аннотация: В работе сформулировано понятие обобщенного решения задачи Коши для функционально-дифференциального включения с вольтерровым по Тихонову многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению (разложимости) значений. Получены условия существования и продолжаемости локального обобщенного решения задачи Коши.

Одним из основных свойств для обобщенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, как сформулировано в монографии [1], должно быть свойство продолжаемости локальных решений. Максимально продолженные решения должны �дойти� до границы области определения правой части дифференциального уравнения, если область определения является ограниченной областью в [a, b]×ℝ^{n}. Если же областью определения правой части уравнения является все произведение [a, b] × ℝ^{n}, то максимально продолженные решения либо должны быть определены на всем отрезке [a, b], либо �уйти в бесконечность�. Здесь рассматривается функционально-дифференциальное включение с вольтеровым по А.Н. Тихонову оператором, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений (разложимостью) и импульсными воздействиями. Для него введено понятие обобщенного решения, которое обладает тем свойством, что локальное решение �не обрывается�, а продолжается до максимально продолженного, которое может быть определено на всем отрезке [a, b], если же оно не определено на всем [a, b], то оно �уходит в бесконечность�. Отметим, что дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями были исследованы в монографиях [2 – 4].

Пусть U ∈ [a, b] – измеримое по Лебегу множество. Обозначим L_{1}^{n}(U) пространство суммируемых по Лебегу функций x : U → ℝ^{n} с нормой ∥x∥_{L^{n}(U)} = ∫_{U} |x(s)|ds.

Пусть Φ ⊂ L_{1}^{n}[a, b]. Будем говорить, что множество Φ выпукло по переключению (разложимо), если для любых x, y ∈ Φ и любого измеримого множества e ⊂ [a, b] выполняется включение χ_{(e)}x+ + χ_{([a,b]\e)}y ∈ Φ, где χ_{(·)} – характеристическая функция соответствующих множеств.

Обозначим через Π(L_{1}^{n}[a, b]) (Q(L_{1}^{n}[a, b])) множество всех непустых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению (непустых замкнутых ограниченных суммируемыми функциями) подмножеств пространства L_{1}^{n}[a, b].

Пусть X – нормированное пространство с нормой ∥ ∥_{X}. Обозначим ρ_{X}[x; U] – расстояние от точки x ∈ X до множества U в пространстве X; h_{X}^{+}[U_{1}; U] ≡ sup_{x∈U_{1}} ρ_{X}[x, U] – полуотклонение по

Хаусдорфу множества U_{1} ⊂ X от множества U в пространстве X; h_{X}[U_{1}; U] = max{h^{+}[U_{1}; U]; h^{+}[U; U_{1}]} – расстояние по Хаусдорфу между множествами U_{1} и U в пространстве X.

Пусть t_{k} ∈ [a, b] (a < t_{1} < … < t_{m} < b) – конечный набор точек. Обозначим через C̃^{n}[a, b] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [a, t_{1}], (t_{1}, t_{2}], …, (t_{m}, b] ограниченных функций x : [a, b] → ℝ^{n}, имеющих пределы справа в точках t_{k}, k = 1, 2, …, m, с нормой ∥x∥_{C̃^{n}[a,b]} = sup{|x(t)| : t ∈ [a, b]}, C̃_{+}^{1}[a, b] – множество неотрицательных функций пространства

1Работа поддержана грантами РФФИ (� 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы"(РНП � 2.1.1/1131) и включена в Темплан � 1.6.07.

C̃^{1}[a, b]. Если τ ∈ (a, b], то C̃^{n}[a, τ] – это пространство функций x : [a, τ] → ℝ^{n}, являющихся сужениями на отрезок [a, τ] элементов из C̃^{n}[a, b] с нормой∥x∥_{C̃^{n}[a,τ]} = sup{|x(t)| : t ∈ [a, τ]}.

О п р е д е л е н и е 1. Пусть Φ – непустое подмножество пространства L_{1}^{n}[a, b]. Обозначим через swΦ совокупность всевозможных конечных комбинаций

y = χ(U_{1})x_{1} + χ(U_{2})x_{2} + … + χ(U_{m})x_{m},

элементов x_{i} ∈ Φ, i = 1, 2, …, m, где непересекающиеся измеримые подмножества U_{i}, i =

= 1, 2, …, m отрезка [a, b], удовлетворяют условию ⋃_{i=1}^{m} U_{i} = [a, b]. Пусть далее, \overline{sw}Φ замыкание

множества swΦ в пространстве L_{1}^{n}[a, b].

Рассмотрим задачу

ẋ ∈ Φ(x),  (1)
Δx(t_{k}) = I_{k}(x(t_{k})), k = 1, …, m,  (2)
x(a) = x_{0},  (3)

где отображение Φ : C̃^{n}[a, b] → Q(L_{1}^{n}[a, b]) удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества U ⊂ C̃^{n}[a, b] образ Φ(U) ограничен суммируемой функцией и найдется такое отображение P : C̃^{n}[a, b] × C̃^{n}[a, b] → L_{+}^{1}[a, b], принимающее нулевое значение на диагонали C̃^{n}[a, b] × C̃^{n}[a, b], и непрерывное по второму аргументу на ней, что для любых x, y ∈ C̃^{n}[a, b] и любого измеримого множества U ⊂ [a, b] выполняется оценка

h^{+}_{L_{1}^{n}(U)}[Φ(x), Φ(y)] ⩽ ∥P (x, y)∥_{L_{1}^{1}(U)}.  (4)

Отметим, что правая часть включения (1) может не обладать свойством выпуклости по переключению значений. Отображения I_{k} : ℝ^{n} → ℝ^{n}, k = 1, 2, ..., m, непрерывны, Δx(t_{k}) = x(t_{k} + 0) − x(t_{k}), k = = 1, 2, ..., m.

О п р е д е л е н и е 2 . Под обобщенным решением задачи (1)-(3) будем понимать функцию x ∈ C̃^{n}[a, b], для которой существует такое q ∈ \overline{sw}Φ(x), что при всех t ∈ [a, b] имеет место представление

x(t) = x_{0} + ∫_{a}^{t} q(s)ds + ∑_{k=1}^{m} χ_{(t_{k},b]}(t)Δ(x(t_{k})),  (5)

где Δ(x(t_{k})), k = 1, 2, ..., m, удовлетворяют равенствам (2).

Отметим, что согласно [5], если множество Φ(x) в (1) выпукло по переключению, то обобщенное решение задачи (1)-(3) совпадает с классическим решением (см. также [6]).

Нужно отметить, что к задаче (1)-(3) сводятся, например, математические модели сложных многокомпонентных систем автоматического управления с импульсными воздействиями, в которых в связи с отказом того или иного устройства объект регулирования переходит с одного закона управления на другой (регулируется разными правыми частями). Так как отказы (переключения) могут происходить в любые моменты времени, и при этом должно быть гарантировано управление объектом, то модель должна учитывать все возможные траектории (состояния), соответствующие любым переключениям. Обобщенные решения задачи (1)-(3) и составляют множество всех таких траекторий.

По заданному отображению Φ : C̃^{n}[a, b] → Q(L_{1}^{n}[a, b]) определим многозначный оператор Φ̃ : C̃^{n}[a, b] → Π(L_{1}^{n}[a, b]) равенством

Φ̃(x) = \overline{sw}Φ(x).  (6)

Отображение Φ̃ : C̃^{n}[a, b] → Π(L_{1}^{n}[a, b]) будем называть �овыпукленным� по переключению отображением.

О п р е д е л е н и е 3 . Будем говорить (см. [7]), что оператор Φ вольтерров по А.Н. Тихонову (или вольтерров), если из условия x|_{τ} = y|_{τ} , τ ∈ (a, b), следует равенство (Φ(x))|_{τ} = (Φ(y))|_{τ} , где z|_{τ} − сужение функции z ∈ C̃^{n}[a, b] на отрезок [a, τ], (Φ(z))|_{τ} − множество сужений функций из множества Φ(z) на отрезок [a, τ].

Далее предположим, что оператор Φ : C̃^{n}[a, b] → Q(L_{1}^{n}[a, b]) (правая часть включения (1)) вольтерров, тогда оператор Φ̃ : C̃^{n}[a, b] → Π(L_{1}^{n}[a, b]), определенный равенством (6), также вольтерров. Кроме того, в силу оценки (4), оператор Φ̃ : C̃^{n}[a, b] → Π(L_{1}^{n}[a, b]) полунепрерывен снизу (см. [6]).

Пусть τ ∈ (a, b]. Определим непрерывное отображение V_{τ} : C̃^{n}[a, τ] → C̃^{n}[a, b] равенством

(V_{τ} (x))(t) = \{ \begin{matrix}x(t), & если & t ∈ [a, τ]; \\ x(τ), & если & t ∈ (τ, b]. \end{matrix}  (7)

О п р е д е л е н и е 4 . Будем говорить, что функция x ∈ C̃^{n}[a, τ] является обобщенным решением задачи (1)-(3) на отрезке [a, τ], τ ∈ (a, b], если существует такое q ∈ (Φ̃(V_{τ} (x)))|_{τ} , что функция x : [a, τ] → ℝ^{n} представима в виде

x(t) = x_{0} + ∫_{a}^{t} q(s)ds + ∑_{k:t_{k}∈[a,τ]} χ_{(t_{k},b]}(t)Δ(x(t_{k})),  (8)

где отображение V_{τ} : C̃^{n}[a, τ] → C̃^{n}[a, b] определено равенством (7), Δ(x(t_{k})) (k : t_{k} ∈ [a, τ]) удовлетворяют равенствам (2).

Далее, будем говорить, что функция x : [a, c) → ℝ^{n} является обобщенным решением задачи (1)-(3) на [a, c), если для любого τ ∈ (a, c) сужение x|_{τ} ∈ C̃^{n}[a, τ], и найдется такая функция q : [a, c) → ℝ^{n}, что для любого τ ∈ [a, c) q|_{τ} ∈ (Φ̃(V_{τ} (x)))|_{τ} , и для любого t ∈ [a, c) имеет место равенство (8), где t_{k} ∈ [a, c).

Обобщенное решение x : [a, c) → ℝ^{n} задачи (1)-(3) будем называть непродолжаемым (максимально продолженным), если не существует такого обобщенного решения y задачи (1)-(3) на [a, τ], (здесь τ ∈ (c, b], если c < b и τ = b, если c = b), что для любого t ∈ [a, c) выполнено равенство x(t) = y(t).

Обобщенное решение задачи (1)-(3) считается непродолжаемым.

Т е о р е м а 1. Найдется такое τ ∈ (a, b], что обобщенное решение задачи (1)-(3) существует на отрезке [a, τ].

Т е о р е м а 2. Для того чтобы обобщенное решение x : [a, c) → ℝ^{n} задачи (1)-(3) было продолжаемым на [a, τ], (τ ∈ [c, b]), необходимо и достаточно, чтобы \overline{lim}_{t→c−0} |x(t)| < ∞.

Т е о р е м а 3. Если y – обобщенное решение задачи (1)-(3) на [a, τ], τ ∈ (a, b], то существует непродолжаемое решение x задачи (1)-(3), определенное либо на [a, c) (c ∈ (τ, b]), либо на [a, b] такое, что при всех t ∈ [a, τ] выполнено равенство x(t) = y(t).

Пусть H(x_{0}, τ) – множество всех обобщенных решений задачи (1)-(3) на отрезке [a, τ] (τ ∈ ∈ (a, b]).

Будем говорить, что множество всех локальных обобщенных решений задачи (1)-(3) априорно ограничено, если найдется такое число r > 0, что для всякого τ ∈ (a, b] не существует обобщенного решения y ∈ H(x_{0}, τ), для которого выполняется неравенство ∥y∥_{C̃^{n}[a,τ]} > r.

Из теорем 1-3 вытекает:

Т е о р е м а 4. Пусть множество всех локальных обобщенных решений задачи (1)-(3) априорно ограничено. Тогда для любого τ ∈ (a, b] множество H(x_{0}, τ) ≠ ∅, и существует такое r > 0, что для каждых τ ∈ (a, b], y ∈ H(x_{0}, τ) выполняется неравенство ∥y∥_{C^{n}[a,τ]} ⩽ r.

О п р е д е л е н и е 5. Будем говорить, что отображения Φ : C̃^{n}[a, b] → Q(L^{n}[a, b]) и I_{k} : ℝ^{n} → ℝ^{n}, k = 1, 2, …, m, обладают свойством A, если найдется изотонный непрерывный вольтерров оператор Γ : C̃_{+}^{1}[a, b] → L_{+}^{1}[a, b] и неубывающие непрерывные функции Ĩ_{k} : ℝ_{+}^{1} → ℝ_{+}^{1}, k = 1, 2, …, m, для которых справедливы условия: для любой функции x ∈ ∈ C̃^{n}[a, b] и произвольного измеримого множества U ⊂ [a, b] выполняется неравенство

∥Φ(x)∥_{L^{n}(U)} ⩽ ∥Γ(Zx)∥_{L^{1}(U)};

для любого k = 1, 2, …, m и произвольного x ∈ ℝ^{n} имеет место оценка |I_{k}(x)| ⩽ Ĩ_{k}(|x|); множество всех локальных решений задачи

ẏ = Γ(y), Δy(t_{k}) = Ĩ_{k}(y(t_{k})), y(a) = |x_{0}|

априорно ограничено.

Здесь непрерывное отображение Z : C̃^{n}[a, b] → C̃_{+}^{1}[a, b] определено равенством (Zx)(t) = = |x(t)|.

Т е о р е м а 5. Пусть отображения Φ : C̃^{n}[a, b] → Q(L^{n}[a, b]) и I_{k} : ℝ^{n} → ℝ^{n}, k = 1, 2, …, m обладают свойством A. Тогда для любого τ ∈ (a, b] множество H(x_{0}, τ) ≠ ∅, и существует такое r > 0, что для любых τ ∈ (a, b] и y ∈ H(x_{0}, τ) выполняется неравенство ∥y∥_{C̃^{n}[a,τ]} ⩽ r.

ЛИТЕРАТУРА

1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

2. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища шк., 1987.

3. Завалищин C. Т., Сесекин А. Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.

4. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы теории функционально-дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1987.

5. Булгаков А.И., Беляева О.П., Мачина А.Н. Функционально-дифференциальные включения с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений // Вестн. Удм. ун-та. Матем., механика. 2005. � 1. С. 3-20.

6. Пучков Н.П., Булгаков А.И., Григоренко А.А., Коробко А.И., Корчагина Е.В., Мачина А.Н., Филиппова О.В., Шлыкова И.В. О некоторых задачах функционально-дифференциальных включений // Вестник ТГТУ. 2008. Т.

14. �4. С. 947-974.

7. Тихонов А. Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюллетень Московского университета. Секция А. 1938. Т. 68. � 4. С. 1-25.

Abstract: In the work the concept of generalized solution of the Cauchy problem for a functional-differential inclusion with Volterra (in the sense of Tikhonov) multivalued map not necessarily convex-valued with respect to switching (dicomposable) is formulated. The conditions of existence and prolongability of a local generalized solution to the Cauchy problem are derived.

Key words: functional-differential inclusion; impulses; generalized solution.

Булгаков Александр Иванович д. ф.-м. н., профессор Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: aib@tsu.tmb.ru Alexandr Bulgakov doctor of phys.-math. sciences, professor Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: aib@tsu.tmb.ru

Филиппова Ольга Викторовна аспирант Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: philippova.olga@rambler.ru Olga Filippova post-graduate student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: philippova.olga@rambler.ru УДК 517.927.4, 517.929, 517.977.1

О КОРРЕКТНОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Е. О. Бурлаков

Ключевые слова: краевые задачи; управляемые системы; дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом.

Аннотация: Получены утверждения о непрерывной зависимости от параметров решений общей краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения, исследована корректность конкретных краевых задач для управляемых систем с отклоняющимся аргументом.

В работах [1, 2] найдены условия непрерывной зависимости периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений от управления. Широкое применение уравнений с отклоняющимся аргументом для описания управляемых систем потребовало исследования корректности таких систем и, в частности, нахождения условий непрерывной зависимости периодических решений функционально-дифференциальных уравнений от значений управления и других параметров. Как известно, задача о периодических решениях уравнений эквивалентна краевой задаче.

В данной работе получены утверждения о непрерывной зависимости от параметров решений общей краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения. Результаты применены к исследованию конкретных краевых задач для управляемых систем с отклоняющимся аргументом. Доказаны утверждения, аналогичные результатам работ [1, 2].

Обозначения: R^{n} – пространство векторов, имеющих n действительных компонент, с нормой | · |; μ – мера Лебега на [a, b]; L([a, b], μ, R^{n}) – пространство измеримых суммируемых функций

y : [a, b] → R^{n} с нормой ∥y∥_{L}=∫_{a}^{b} |y(s)|ds; L_{∞}([a, b], μ, R^{n}) – пространство измеримых существенно

ограниченных функций y : [a, b] → R^{n} с нормой ∥y∥_{L_{∞}}= vrai sup_{t∈[a,b]} |y(t)|; C([a, b], R^{n}) – пространство

непрерывных функций x : [a, b] → R^{n} с нормой ∥x∥_{C} = max_{t∈[a,b]} |x(t)|; AC([a, b], μ, R^{n}) – пространство

таких абсолютно непрерывных функций x : [a, b] → R^{n}, что ẋ ∈ L([a, b], μ, R^{n}), с нормой ∥x∥_{AC} = = |x(a)| + ∥ẋ∥_{L}; для произвольных банахова пространства E, e_{0} ∈ E, A ⊂ E, r > 0 обозначим B_{E}(e_{0}, r) = \{e ∈ E, ∥e − e_{0}∥_{E} < r\} – открытый шар в пространстве E с центром в e_{0} радиуса r, \overline{A} – замыкание множества A в пространстве E.

Пусть Λ – некоторое банахово пространство. Рассмотрим краевую задачу:

\{ \begin{matrix}ẋ = F (x, λ); \\ φ(x, λ) = 0; \end{matrix}  (1)

где F : AC([a, b], μ, R^{n}) × Λ → L([a, b], μ, R^{n}), φ : AC([a, b], μ, R^{n}) × Λ → R^{m}.

Пусть при λ = λ_{0} ∈ Λ задача (1) имеет решение x = x_{0} ∈ AC([a, b], μ, R^{n}). Применительно к краевой задаче (1) теорема о неявной функции (см. [3], c. 332) имеет вид:

Т е о р е м а 1. Пусть

1) существуют такие δ_{0} > 0, σ_{0} > 0, что операторы F, φ непрерывны и имеют непрерывные производные Фреше F′_{x}, φ′_{x} при всех (x, λ) ∈ B_{AC}(x_{0}, σ_{0}) × B_{Λ}(λ_{0}, δ_{0}); 2) определяемый равенством Lz = ż − F′_{x}(x_{0}, λ_{0})z оператор L : AC([a, b], μ, R^{n}) → L([a, b], μ, R^{n}) сюръективен и dimKerL = m;

1Работа поддержана грантами РФФИ (� 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы"(РНП � 2.1.1/1131) и включена в Темплан � 1.6.07.

3) задача \{ \begin{matrix}Lz = 0; \\ lz = 0; \end{matrix} где l = φ′_{x}(x_{0}, λ_{0}), l : AC([a, b], μ, R^{n}) → R^{m}, имеет только тривиальное

решение z ≡ 0.

Тогда найдутся такие δ > 0, σ > 0, что для любого λ ∈ B_{Λ}(λ_{0}, δ) в шаре B_{AC}(x_{0}, σ) существует единственное решение x = x(λ) задачи (1), причем отображение x(·) : B_{Λ}(λ_{0}, δ) → → AC([a, b], μ, R^{n}) непрерывно.

З а м е ч а н и е 1. В случае m = n, выполнение условия 2) теоремы 1 следует, например,

из фредгольмовости оператора Q : L([a, b], μ, R^{n}) → L([a, b], μ, R^{n}), Qz = z − F′_{x}(x_{0}, λ_{0}) ∫_{a}^{(·)}z(s)ds –

�главной части оператора L� (см. [4]).

Пусть теперь при λ = λ_{0} в некотором открытом множестве M ⊂ C([a, b], R^{n}) существует решение x_{0} = x(λ_{0}) задачи (1) и это решение единственно в \overline{M}. Обозначим X_{λ} – множество решений задачи (1), отвечающих значению параметра λ и принадлежащих множеству \overline{M}. Рассмотрим свойства множеств X_{λ} при значениях λ, близких к λ_{0}.

Т е о р е м а 2. Пусть 1)выполнены условия теоремы 1;

2) существует такое δ̃ > 0, что при всех λ ∈ B_{Λ}(λ_{0}, δ̃) оператор F (·, λ) допускает расширение до оператора F̃(·, λ) : C([a, b], R^{n}) → L([a, b], μ, R^{n});

3) для любого числа r > 0 существует такая функция g_{r} ∈ L([a, b], μ, R), что для всяких (x, λ) ∈ ∈ (B_{C}(x_{0}, r) ⋂ \overline{M}) × B_{Λ}(λ_{0}, δ̃) выполнено |(F̃(x, λ))(t)| ⩽ g_{r}(t) при почти всех t ∈ [a, b];

4) оператор F̃(·, ·) непрерывен на \overline{M} × \{λ_{0}\};

5) для некоторой последовательности {λ_{i}} ⊂ B_{Λ}(λ_{0}, δ̃), ∥λ_{i}−λ_{0}∥_{Λ} → 0, множества X_{λ_{i}} содержат по крайней мере два элемента.

Тогда множество M неограничено, и при каждом i можно так выбрать x̄_{i} ∈ X_{λ_{i}}, что ∥x̄_{i} − x_{0}∥_{AC} → 0, а при выборе любых x_{i} ∈ X_{λ_{i}}, x_{i} ≠ x̄_{i}, имеет место ∥x_{i}∥_{C} → ∞.

З а м е ч а н и е 2. Если m = n и оператор F′_{x}(x_{0}, λ_{0}) : AC([a, b], μ, R^{n}) → L([a, b], μ, R^{n}) допускает продолжение до U-ограниченного оператора (см. [3], c. 157), действующего из пространства C([a, b], R^{n}) в пространство L([a, b], μ, R^{n}), то в теореме 1 требование сюръективности оператора L : AC([a, b], μ, R^{n}) → L([a, b], μ, R^{n}) излишне (см. замечание 1), так как его �главная часть� Q : L([a, b], μ, R^{n}) → L([a, b], μ, R^{n}) в данном случае будет фредгольмовой.

Далее рассмотрим задачи

\{ \begin{matrix}ẋ(t)=f(t, x(h_{1}(t)), …, x(h_{m}(t)), u_{0}(t)), t ∈ [0, ω], \\ x(0) ± x(ω) = 0; \end{matrix}  (2)

\{ \begin{matrix}ẋ(t)=f(t, x(h_{1i}(t)), …, x(h_{mi}(t)), u_{i}(t)), t ∈ [0, ω], \\ x(0) ± x(ω) = 0; \end{matrix}  (2i)

Здесь функции h_{j}, h_{ji} : [0, ω] → [0, ω] измеримы и ω-периодичны, j = 1, 2, ... , m; i = 1, 2, ... ; управления u_{0}, u_{i} : [0, ω] → R^{k} измеримы, существенно ограничены и ω-периодичны, i = 1, 2, ... ; функция f : [0, ω] × R^{mn+k} → R^{n} удовлетворяет условиям Каратеодори:

k_{1}) при любых y ∈ R^{mn}, u ∈ R^{k} функция f(·, x, u) измерима;

k_{2}) при почти всех t ∈ [0, ω] функция f(t, ·, ·) непрерывна по совокупности 2-го и 3-го аргументов; k_{3}) для любого числа r > 0, существует такая функция g_{r} ∈ L([0, ω], μ, R), что для всех y ∈

∈ R^{mn}, u ∈ R^{k}, удовлетворяющих условиям |y| ⩽ r, |u| ⩽ r, выполнено |f(t, y, u)| ⩽ g_{r}(t) при почти всех t ∈ [0, ω].

Пусть задача (2) имеет решение x_{0} ∈ AC([0, ω], μ, R^{n}).

Обозначим y_{0} = (x_{0}(h_{1}(·)), …, x_{0}(h_{m}(·))) ∈ L_{∞}([0, ω], μ, R^{mn}).

Т е о р е м а 3. Пусть

1) найдутся такие σ_{0} > 0, δ_{0} > 0, G ∈ L([0, ω], μ, R), что при почти всех t ∈ [0, ω], произвольных y ∈ B_{R^{mn}}(y_{0}(t), σ_{0}), u ∈ B_{R^{k}}(u_{0}(t), δ_{0}) существуют частные производные \frac{∂f_{l}}{∂y_{jp}} (t, y, u), измеримые

по t, непрерывные по (y, u) и удовлетворяющие неравенству |\frac{∂f_{l}}{∂y_{jp}} (t, y, u)| ⩽ G(t), l, p = 1, 2, ... , n, j = 1, 2, ... , m;

2) задача \{ \begin{matrix}ż(t) = A(t)(z(h_{1}(t)), …, z(h_{m}(t)), t ∈ [0, ω], \\ z(0) ± z(ω) = 0; \end{matrix} где A(t)=(\frac{∂f_{l}}{∂y_{jp}} (t, y_{0}(t), u_{0}(t)))_{n×nm}, имеет

единственное решение z ≡ 0. Далее, предположим, что при i → ∞:

4) h_{ji}(·) → h_{j}(·) по мере на [0, ω], (j = 1, 2, ... , m);

5) u_{i}(·) → u_{0}(·) по мере на [0, ω].

Тогда найдутся такие номер I и положительное число σ, что при всех i > I в шаре B_{AC}(x_{0}, σ) существует единственное решение x_{i} ∈ AC([0, ω], μ, R^{n}) задачи (2i) и имеет место ∥x_{i} − x∥_{AC} → 0.

Пусть решение x_{0} задачи (2) принадлежит некоторому открытому множеству M ⊂ C([0, ω], R^{n}) и единственно в \overline{M}. Обозначим X_{i} – множество решений задачи (2i), отвечающих значению параметра λ и принадлежащих множеству \overline{M}.

Т е о р е м а 4. Пусть

1) выполнены условия теоремы 3;

2) для некоторой подпоследовательности {i_{q}} множества X_{i_{q}} содержат по крайней мере два элемента.

Тогда множество M неограничено, и для каждого q найдется такое x̄_{i_{q}} ∈ X_{i_{q}}, что ∥x̄_{i_{q}} − − x_{0}∥_{AC} → 0, если же x_{i_{q}} ∈ X_{i_{q}}, x_{i_{q}} ≠ x̄_{i_{q}}, то ∥x_{i_{q}}∥_{C} → ∞.

ЛИТЕРАТУРА

1.Тонков Е.Л. Оптимальные периодические движения управляемой системы // Мат. физика. 1977. Вып. 21. С. 45–59.

2. Тонков Е.Л. Оптимальное управление периодическими движениями // Мат. физика. 1977. Вып. 22. С. 54–64.

3. Крейн С. Г. Функциональный анализ. М.: Наука, 1987. 544 с.

4. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы теории функционально-дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1987.

БЛАГОДАРНОСТИ: Благодарю Евгения Леонидовича Тонкова за постановку задачи и полезное обсуждение результатов работы.

Abstract: Statements on continuous dependence on parameters of solutions of general boundary value problem for functional-differential equation are obtained, correctness of concrete boundary value problems for controllable systems with argument divergence is investigated.

Key words: boundary value problems; controllable systems; differential equations with argument divergence.

Бурлаков Евгений Олегович аспирант Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: eb_@bk.ru Evgeniy Burlakov post-graduate student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: eb_@bk.ru УДК 519.1

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА НА ПЛОСКОСТИ НАД КОНЕЧНЫМ КОЛЬЦОМ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Е. В. Водолажская

Ключевые слова: преобразование Радона; конечные поля; кольца классов вычетов.

Аннотация: Преобразование Радона R на плоскости над конечным кольцом K сопоставляет функции f на K суммы ее значений по прямым. Мы предлагаем новую формулу обращения для поля и кольца классов вычетов по модулю p^{2}.

Пусть K – конечное кольцо с q элементами, K^{2} = K × K – плоскость над K. Прямой на плоскости K^{2} назовем множество ℓ всех точек z = (x, y) ∈ K^{2}, удовлетворяющих уравнению ax + by = c, где a, b, c ∈ K, причём a и b не являются делителями нуля одновременно. Пусть H – множество всех прямых.

Для конечного множества X обозначим через L(X) линейное пространство функций на X со значениями в ℂ. Размерность его равна количеству элементов в X.

Преобразование Радона R есть линейный оператор L(K^{2}) → L(H), который сопоставляет всякой функции f ∈ L(K^{2}) функцию Rf ∈ L(H) – "интегралы" функции f по прямым ℓ, то есть

(Rf)(ℓ) = ∑_{z∈ℓ} f(z).

Мы хотим найти формулу обращения для преобразования Радона, это все равно, что найти левый обратный оператор L для оператора R, то есть LR = E. Для этого рассмотрим сопряженный оператор R^{∗} : L(H) → L(K^{2}):

(R^{∗}F)(z) = ∑_{z∈ℓ} F (ℓ),

и рассмотрим произведение T = R^{∗}R, оно есть оператор L(K^{2}) → L(K^{2}). Предположим, что оператор T обратим, тогда

L = T^{−1}R.

Оператор T имеет простой смысл: его матричный элемент T (z, w) указывает количество прямых, проходящих через точки z, w ∈ K^{2} (для w = z это – количество прямых, проходящих черех точку z).

Матрицы R(ℓ, z) и R^{∗}(z, ℓ) операторов R и R^{∗} получаются друг из друга транспонированием:

R(ℓ, z) = R^{∗}(z, ℓ) = \{ \begin{matrix}1, z ∈ ℓ, \\ 0, z ∉ ℓ. \end{matrix}

Пусть K – поле с q элементами. В этом случае

T (z, w) = \{ \begin{matrix}q + 1, w = z, \\ 1, w ≠ z. \end{matrix}

1Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.

Следовательно, матрица T может быть записана в виде T = qE +I, где E – единичная матрица, I обозначает матрицу , у которой все элементы равны 1. Используя I^{2} = q^{2}I, вычисляем обратную матрицу:

T^{−1} = \frac{1}{q^{2}(q + 1)} \{q(q + 1)E − I\} .

Отсюда получаем, что матрица оператора L есть

L(z, ℓ) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{q + 1} , z ∈ ℓ, \\ −\frac{1}{q(q + 1)} , z ∉ ℓ. \end{matrix}

Аналогичным (но более сложным) образом мы вычисляем оператор L, когда K – кольцо классов вычетов по модулю p^{2}, p – простое.

Abstract: The Radon transform R on the plane over a finite ring K assigns to a function f on K sums of its values on lines. We write a new inversion formula for a field and the ring of cosets modulo p^{2}.

Key words: Radon transform; finite fields; ring of cosets.

Водолажская Елена Валерьевна старший лаборант Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: molchano@molchano.tstu.ru Elena Vodolazhskaya senior laboratory assistant Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: molchano@molchano.tstu.ru УДК 517.98

ИНДИКАТОРНЫЕ СИСТЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПАРА-ЭРМИТОВЫМИ ПРОСТРАНСТВАМИ РАНГА ОДИН^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Н. Б. Волотова

Ключевые слова: симметрические пространства; конечномерные представления; производящие функции. Аннотация: Предъявляются системы дифференциальных уравнений, выделяющие пространства конечномерных

представлений группы SL(n,ℝ), реализующихся в многочленах на группе Гейзенберга размерности 2n−3.

Индикаторные системы были введены Желобенко, см. [2], гл. X. Это – системы уравнений, выделяющие конечномерные представления группы SL(n, ℂ), содержащиеся в основной невырожденной серии представлений этой группы. Мы рассматриваем аналогичные представления, содержащиеся в вырожденной серии представлений группы SL(n, ℝ), отвечающей разбиению n = 1 + (n − 2) + + 1 числа n. Они реализуются в многочленах на подгруппе Z нижних унипотентных блочных матриц. Группа Z есть группа Гейзенберга размерности 2n − 3.

Будем записывать матрицы из G в блочном виде соответственно указанному разбиению. Пусть Z, B и H – подгруппы, состоящие соответственно из матриц

z = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ t & E & 0 \\ c & s & 1 \end{matrix} ) , b = ( \begin{matrix}p & ∗ & ∗ \\ 0 & q & ∗ \\ 0 & 0 & r \end{matrix} ) , h = ( \begin{matrix}∗ & ∗ & 0 \\ ∗ & ∗ & 0 \\ 0 & 0 & ∗ \end{matrix} ) ,

где s – вектор-строка из ℝ^{n−2}, t – вектор-столбец из ℝ^{n−2}, c – число из ℝ, p, r – числа из ℝ^{∗}, q – матрица из GL(n − 2, ℝ). Матрица, обратная матрице z, есть

z^{−1} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −t & E & 0 \\ ĉ & −s & 1 \end{matrix} ) ,

где ĉ = st − c. Пусть dz = dc ds_{2} … ds_{n−1} dt_{2} … dt_{n−1} – инвариантная мера на Z.

Почти всякую матрицу g ∈ G можно записать в виде произведения: g = bz (разложение Гаусса).

Представление T_{l,m}, где l, m ∈ {0, 1, 2, …}, группы G действует в некотором подпространстве V_{l,m} пространства V многочленов на Z по формуле

(T_{m}(g)f) (z) = f(z̃) r^{l}/p^{m},

где z̃, r̃, p̃ находятся из разложения Гаусса матрицы zg: zg = b̃z̃. Пространство V_{l,m} содержит тождественную единицу 1 в качестве циклического вектора. Представление T_{l,m} неприводимо, его младший вектор есть 1, старший вектор есть c^{l} c ^{m}, старший вес есть (l, 0, …, 0, −m).

Пусть E_{ij} обозначает "матричную единицу", это матрица, в которой на месте (i, j) стоит 1, а на остальных местах стоят нули. В алгебре Ли группы Z матрицы E_{i1}, E_{ni}, i = 2, …, n − 1, являются образующими. Инфинитезимальные операторы левых сдвигов на группе Z, отвечающих этим матрицам, – это дифференциальные операторы

L_{i} = \frac{∂}{∂t_{i}} , D_{i} = t_{i} \frac{∂}{∂c} + \frac{∂}{∂s_{i}} , i = 2, …, n − 1.

1Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.

Назовем индикаторной системой следующую систему уравнений:

L_{i}^{m+1}f = 0, D_{i}^{l+1}f = 0, i = 2, …, n − 1.

Т е о р е м а. Пространство V_{l,m} есть в точности пространство решений в V индикаторной системы.

Одним из основных шагов в доказательстве теоремы служит интегральное представление многочленов из V_{l,m}:

f(z) = ∫_{Z} K_{l,m}(z, ζ)F (ζ) dζ,

здесь F – обобщенная функция на группе Z, сосредоточенная в единице группы, в этой точке c = 0, s = 0, t = 0. Ядро K_{l,m}(z, ζ) есть

K_{l,m}(z, ζ) = (1 − sJv + âc)^{l}(1 − uJt + ĉa)^{m},

где z и ζ имеют параметры, см. (1), c, s, t и a, u, v, соответственно, J обозначает диагональную матрицу порядка n − 2 с диагональю {−1, 1, …, 1}. Таким образом, ядро K_{l,m}(z, ζ) служит производящей функцией для многочленов из V_{l,m}. В частности, дельта-функция δ(z), сосредоточенная в точке E, переходит в единицу.

Этот результат обобщает работу [1], где рассматривались представления T_{l,m} с l = m, такие представления используются при изучении полиномиального квантования на пара-эрмитовом пространстве G/H.

ЛИТЕРАТУРА 1. Волотова Н.Б. Индикаторные системы для представлений вырожденных серий линейной группы // Вестн.

Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2007. Т. 12. Вып. 4. С. 430–432.

2. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. М.: Наука, 1970.

Abstract: We present systems of differential equations to describe spaces of finite dimensional representations of the group SL(n,ℝ) acting on polynomials on the Heisenberg group of dimension 2n − 3.

Keywords: symmetric spaces; finite dimensional representations; generating functions.

Волотова Надежда Борисовна к. ф.-м. н., доцент Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: molchano@molchano.tstu.ru Nadezhda Volotova candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: molchano@molchano.tstu.ru

УДК 517.938

БИФУРКАЦИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} А. А. Вышинский

Ключевые слова: задачи с параметрами; бифуркации; периодические решения.

Аннотация: Статья посвящена вопросам исследования задач о локальных бифуркациях периодических решений систем управления. Дается описание возможных сценариев бифуркаций. Предлагается новый операторный метод исследования особых точек нелинейных систем управления, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Метод использует переход к эквивалентным операторным уравнениям, для анализа которых предлагается новая схема исследования, основанная на конструировании специальных функционалов и разработке итерационных схем построения решений.

Рассмотрим систему управления, динамика которой описывается дифференциальным уравнением

x′ = f(x, λ), x ∈ R^{n}, λ ∈ R^{k}.  (1)

Пусть при некотором значении параметра λ = λ_{0} система (1) имеет нестационарное T -периоди-ческое решение x = φ_{0}(t). При изменении параметра λ может измениться характер устойчивости решения φ_{0}(t), что, в свою очередь, может привести к различным бифуркациям: возникновению новых периодических колебаний, бифуркации удвоения периода и другим сценариям [1, 2].

Полагая h = x − φ_{0}(t) перейдем от (1) к уравнению

h′ = A(t, λ)h + g(t, h, λ), h ∈ R^{n},  (2)

где A(t, λ) = f′_{x}(φ_{0}(t), λ), g(t, h, λ) = f(φ_{0}(t) + h, λ) − f(φ_{0}(t), λ) − A(t, λ)h, A(t + T, λ) ≡ A(t, λ), g(t + T, h, λ) ≡ g(t, h, λ). Функция g(t, h, λ) удовлетворяет условию

g(t, h, λ_{0}) = o(∥h∥), ∥h∥ → 0.

Нулевое решение системы (2) соответствует периодическому решению x = φ_{0}(t) системы (1). Наряду с уравнением (2) будем рассматривать линейное уравнение

h′ = A(t, λ)h.  (3)

Пусть H(t, λ) — фундаментальная матрица решений системы (3), то есть H(t, λ) является решением задачи Коши

\frac{dH}{dt} = A(t, λ)H, H(0) = I.

Матрицу C(λ) = H(T, λ) можно рассматривать как оператор сдвига [3] по траекториям линейной системы (3) за время от 0 до T. Её собственные значения ρ_{j} называют мультипликаторами системы (3). При λ = λ_{0} система (3) имеет мультипликатор ρ_{0} = 1. Если система (3) при λ = λ_{0} не имеет других мультипликаторов, равных по модулю 1, то цикл φ_{0}(t) называется гиперболическим. Известно, что в окрестности гиперболического цикла система (1) структурно устойчива. Следовательно, значение λ_{0} будет бифуркационным, если только система (3) при λ = = λ_{0}, наряду с мультипликатором ρ_{0} = 1, будет иметь мультипликатор ρ_{1}, равный по модулю 1.

Пусть цикл x = φ_{0}(t) системы (1) является негиперболическим. В зависимости от значений ρ_{1} возможны следующие варианты:

1) ρ_{1} = 1, 2) ρ_{1} = −1, 3) ρ_{1} = e^{iβT}, β > 0 и sin T β ≠ 0.

В случае 1) возможна бифуркация рождения пары циклов или бифуркация обмена устойчивостью между циклами. В случае 2) возможна бифуркация удвоения периода цикла. В случае 3) возможна бифуркация рождения двумерного тора.

В работе предлагается операторный метод исследования указанных сценариев бифуркации. Метод основан на переходе от (2) к эквивалентному операторному уравнению вида

u = F (u, λ)  (4)

с вполне непрерывным оператором F, действующим в пространстве R^{n} или в пространстве функций, определенных на отрезке [0, T] (например, L_{2}[0, T] или C[0, T]). В качестве оператора F может быть, например, использован оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений; к уравнению вида (4) можно перейти и на основе эквивалентных интегральных уравнений в задаче о периодических решениях для дифференциального уравнения (2).

Для изучения операторного уравнения (4) предлагается схема, основанная на идеях метода функционализации параметра и метода Ньютона–Канторовича, что позволяет получить новые достаточные признаки бифуркаций и провести их численный анализ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. 2-е изд., испр. и доп. Ижевск: НИЦ �Регулярная и хаотическая динамика�, 2000.

2. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004.

3. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.

Abstract: The article is concerned with the problems of local bifurcations of periodic solutions to control systems. The description of possible bifurcation scenario is given. There is derived a new operator method for studying singular points of nonlinear control systems given by ordinary differential equations. The method is based on the passage to equivalent operator equations which are then studied with the use of special functionals and iterative schemes for building solutions.

Key words: tasks with parameters; bifurcations; periodic decisions.

Вышинский Александр Алексеевич ассистент Сибайский институт БГУ Россия, Башкортостан, Сибай e-mail: aleksandr_wyshin@mail.ru Aleksandr Vyshinskiy junior member of teaching staff Sibay Institute of BashSU Russia, Sibay e-mail: aleksandr_wyshin@mail.ru УДК 517.988.6

ОБ h-ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫХ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} А. Б. Гельман

Ключевые слова: квазиметрика Хаусдорфа; многозначное отображение; неподвижные точки.

Аннотация: Изучается новый класс многозначных отображений, имеющих выпуклые замкнутые, но некомпактные образы: для отображений из этого класса удается доказать новые теоремы о неподвижных точках, которые применяются к изучению разрешимости операторных уравнений и неравенств.

Пусть X – метрическое пространство, E – банахово пространство. Обозначим Cv(E) – множество замкнутых выпуклых подмножеств в E. Пусть h – квазиметрика Хаусдорфа в Cv(E). Эта квазиметрика порождает топологию в Cv(E), базой которой являются множества V (A, r) = { B ∈ C(Y) | h(B, A) < r}. Обозначим ℭv(E) пространство Cv(E), снабженное этой топологией. Очевидно, что любое многозначное отображение F : X → Cv(E) порождает однозначное отображение 𝔉 : X → ℭv(E).

Будем говорить, что многозначное отображение F является h-непрерывным, если отображение 𝔉, порожденное отображением F, является непрерывным.

Если отображение F является h-непрерывным, и для любого ограниченного множества D ⊂ ⊂ X множество \overline{𝔉(D)} является компактным в ℭv(E), то будем говорить, что многозначное отображение F является h-вполне непрерывным.

Пусть T – ограниченное выпуклое замкнутое подмножество E, F : T → Cv(E) – многозначное h-вполне непрерывное отображение. Имеет место теорема о существовании �почти� неподвижной точки.

Т е о р е м а 1. Если для любой точки x ∈ T пересечение F (x) ⋂ T ≠ Ø, то для любого ε > 0 существует точка x_{ε} ∈ T такая, что ρ(x_{ε}, F (x_{ε})) < ε.

Пусть Y – метрическое пространство, U – ограниченное открытое выпуклое подмножество E, f : \overline{U} → Y – вполне непрерывное отображение, Φ : Y → Cv(E) – h-непрерывное многозначное отображение. Тогда F = Φ ∘ f : \overline{U} → Cv(E) является h-вполне непрерывным отображением.

Справедлива следующая теорема о неподвижной точке.

Т е о р е м а 2. Пусть образы многозначного отображения Φ компактны в слабой топологии. Если существует такое открытое выпуклое множество V ⊂ \overline{V} ⊂ U, что для любого x ∈ ∂U пересечение F (x) ⋂ V ≠ Ø, то многозначное отображение F имеет неподвижную точку.

В докладе будут рассмотрены другие теоремы о неподвижных точках h-вполне непрерывных многозначных отображений и некоторые приложения этих теорем к разрешимости операторных уравнений и неравенств.

Abstract: A new class of multivalued mappings with convex closed but non-compact images is studied; some new theorems about fixed points were proved for mappings of this particular class; these are used for studying solvability of operator equations and inequalities.

Key words: hausdorff quasimetric; multivalued mapping; fixed points.

Гельман Алексей Борисович аспирант Воронежский государственный университет Россия, Воронеж e-mail: gelman@math.vsu.ru Alexei Gelman post-graduate student Voronezh State University Russia, Voronezh e-mail: gelman@math.vsu.ru УДК 517.988.6

ОБ АЦИКЛИЧНОСТИ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Б. Д. Гельман

Ключевые слова: когомологии Александера-Спеньера; неподвижные точки; вполне непрерывные отображения. Аннотация: Изучается вопрос об ацикличности множества неподвижных точек вполне непрерывного

отображения, зависящего от параметра, если при близких значениях параметра отображение имеет единственную неподвижную точку.

Пусть X - метрическое пространство, H^{n}(X) - когомологии Александера-Спеньера пространства X с коэффициентами в группе Z целых чисел. Пространство X является ацикличным, если приведенные когомологии \overline{H}^{n}(X) = 0 для любого n ⩾ 0.

Пусть E – банахово пространство, T – выпуклое замкнутое ограниченное подмножество в E, g : T × [0, a] → E – вполне непрерывное отображение. Рассмотрим семейство отображений g_{τ} = g(·, τ) : T → E, F ix(g_{0}) – множество неподвижных точек отображения g_{0}.

Т е о р е м а 1. Пусть g : T × [0, a] → T – вполне непрерывное отображение. Если для любой точки y ∈ F ix(g_{0}), любого τ ∈ (0, a] и λ ∈ [0, 1] уравнение x = g_{τ} (x) + (1 − λ)(y − g_{τ} (y)) имеет единственное решение, то множество F ix(g_{0}) является ацикличным.

Расмотрим некоторые следствия из этой теоремы.

Т е о р е м а 2. Пусть g : T → T – вполне непрерывное отображение. Если для любых точек x, y ∈ T справедливо неравенство ||g(x) − g(y)|| ⩽ ||x − y||, то множество F ix(g) ≠ Ø и ациклично.

Изучим топологическую структуру множества F ix(g), если g – абстрактный оператор Вольтерра. Пусть C_{[a,b]} - пространство непрерывных функций со значениями в R^{n}, X ⊂ C_{[a,b]}, g : X →

→ C_{[a,b]} - вполне непрерывное отображение Вольтерра, т.е. для любого ε ∈ [0, b − a] и любых функций x, y ∈ X из того, что x(t) = y(t) для t ∈ [a, a + ε] вытекает, что g(x)(t) = g(y)(t) для t ∈ [a, a + ε].

Обозначим X_{0} = {x(a) ∈ R^{n} | x ∈ X}. Пусть i : X_{0} → X – некоторое вложение (не обязательно непрерывное). Рассмотрим отображение g^{0} : X_{0} → R^{n}, определенное условием: g^{0}(h) = g(i(h))(a). В силу вольтерровости g отображение g^{0} определено корректно.

Пусть U – ограниченное выпуклое открытое множество в пространстве C_{[a,b]} такое, что множество \overline{U} является регулярным; g : \overline{U} → U - вполне непрерывное вольтеррово отображение.

Т е о р е м а 3. Если \overline{g(U)} ⊂ U, то отображение p : F ix(g) → F ix(g^{0}), p(x) = x(a), порождает изоморфизм групп когомологий.

Abstract: a question of acyclicity of a fixed-points set of a completely continuous mapping depending from a parameter, is studied; the feature of this parameter is that if its values are close, than our mapping has only one fixed points.

Keywords: cogomologies of Alexander-Spanier; fixed points; completely continues mappings.

Гельман Борис Данилович д. ф.-м. н., доцент Воронежский государственный университет Россия, Воронеж e-mail: gelman@math.vsu.ru Boris Gelman doctor of phys.-math. sciences, senior lecturer Voronezh State University Russia, Voronezh e-mail: gelman@math.vsu.ru УДК 517.5, 513.88

1Это исследование поддержено РФФИ: грант �08-01-00192а.

ОЦЕНКИ СНИЗУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ В ПРОСТРАНСТВАХ МАРЦИНКЕВИЧА

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Д. С. Гладких

Ключевые слова: жадные алгоритмы; пространство Марцинкевича; оценки операторов.

Аннотация: В работах А. Кордоба и П. Фернандез о расходимости жадных алгоритмов в пространствах Лебега ключевую роль играл некоторый максимальный оператор P_{n}^{∗}(x). В настоящем докладе рассмотрены оценки P_{n}^{∗}(x) в пространствах Марцинкевича.

В пионерской работе [1] о расходимости жадных алгоритмов в пространствах Лебега L^{p} при 1 ⩽ p < 2 ключевую роль играл следующий максимальный оператор

P_{n}^{∗}(x) = max_{1⩽j⩽} |  ∑_{p простое:  n<p⩽n+j} e^{2πipx}| .

В настоящем докладе будут рассмотрены оценки оператора P_{n}^{∗}(x) в пространствах Марцинкевича. Приведем необходимые определения.

Пусть I есть единичный отрезок в R с обычной мерой Лебега. Для f : I → R через λ(f, γ) обозначим функцию распределения функции f: λ(f, γ) = μ({τ : |f(τ)| > γ}), а через f^{∗} ее перестановку в невозрастающем порядке: f^{∗}(τ) = inf{s > 0 : λ(f, s) < τ}. Банахово пространство X, состоящее из измеримых функций, называется идеальным, если из g ∈ X, измеримости f, и выполнения п.в. неравенства |f(τ)| ⩽ |g(τ)|, следует, что f ∈ X и ∥f|X∥ ⩽ ∥g|X∥. Идеальное пространство называется симметричным, если для f, g ∈ X из выполнения при всех γ ∈ R_{+} неравенства λ(f, γ) ⩽ λ(g, γ) следует, что ∥f|X∥ ⩽ ∥g|X∥.

Опишем теперь пpостpанство Маpцинкевича M(φ). Обозначим через W множество вогнутых функций φ : [0, 1] → R_{+}, каждая из которых непрерывна, строго возрастает и обладает свойствами

φ(0) = 0 и  lim_{τ→0} τ^{−1}φ(τ) = ∞.

С каждой функцией φ ∈ W связана функция φ̃(τ) = \frac{τ}{φ(τ)}. Операция φ̃ является инволюцией на классе W.

Пространство Марцинкевича M(φ) состоит из тех f, для которых конечна норма

∥f|M(φ)∥ = sup_{0<t<1} \frac{φ(t)}{t} ∫_{0}^{t} f^{∗}(τ)dτ = sup_{D⊂I} \{\frac{φ(μ(D))}{μ(D)} ∫_{D} |f(τ)|dτ\} .

Обозначим через P (a, b) число простых чисел p, удовлетворяющих условию a ⩽ p ⩽ b.

Т е о р е м а 1. Пусть задано пространство Марцинкевича M(φ). Зафиксируем натуральное число n. Тогда существует константа c_{0}, не зависящая от n и такая, что справедливо неравенство

∥P_{n}^{∗}(·)|M(φ)∥ ⩾ c_{0}φ(K(\sqrt{n}, \sqrt{2n})n^{−3/4}))\frac{n^{1/2}}{logn}.

Доказательство теоремы базируется на законах распределения простых чисел в прогрессиях [2] и следующих вспомогательных утверждениях.

Л е м м а 1. Зафиксируем простое число p : \sqrt{n} ⩽ p ⩽ \sqrt{2n}. Для каждого a ∈ \overline{1, p − 1} взаимно простого с p образуем интервал Фарея I_{a,p} = (\frac{a}{p} − \frac{1}{8p^{2}} , \frac{a}{p} + \frac{1}{8p^{2}} ), причем мы будем считать, что I_{a,p} = ∅ для всех a, у которых НОД (a, p) > 1.

Пусть X - симметричное пространство. Тогда найдется не зависящая от X константа c_{1} такая, что справедливо неравенство

∥P_{N}^{∗}|X∥ ⩾ c_{1}∥ ⋃_{p простое : \sqrt{N}⩽p<\sqrt{2N}} ∪_{a=1}^{p−1}χ(I_{a,p})P_{N}^{∗}(\frac{a}{p})|X∥.

Л е м м а 2. Пусть X - симметричное пространство. Пусть заданы два набора дизъюнктных множеств {I_{j}} и {D_{j}} (j ∈ J_{0}), причем для некоторого c_{2} ∈ N для любого j ∈ J_{0} выполнены неравенства

μ(I_{j}) ⩽ μ(D_{j}) ⩽ c_{2}μ(I_{j}).

Тогда для любой числовой последовательности {a_{j}} (j ∈ J_{0}) справедливо неравенство

∥ ∑_{j∈J_{0}} a_{j}χ(I_{j})|X∥ ⩽ ∥ ∑_{j∈J_{0}} a_{j}χ(I_{j})|X∥ ⩽ c_{2}∥ ∑_{j∈J_{0}} a_{j}χ(I_{j})|X∥.

Л е м м а 3. Пусть задано пространство Марцинкевича M(φ). Пусть задан набор дизъюнктных множеств \{I_{j}\} одинаковой конечной меры, (j ∈ \overline{1, j_{0}}). Тогда найдется константа c_{3} такая, что для любой невозрастающей положительной числовой последовательности \{a_{j}\} (j ∈ \overline{1, j_{0}}) справедливы неравенства

\frac{1}{c_{3}} ∥ ∑_{i=1}^{j_{0}} a_{j}χ(I_{j})|M(φ)∥ ⩽ sup_{j∈\overline{1,j_{0}}} \frac{φ(jμ(I_{1}))}{j} ∑_{i=1}^{j} a_{j} ⩽ c_{3}∥ ∑_{i=1}^{j_{0}} a_{j}χ(I_{j})|M(φ)∥.

Л е м м а 4. Пусть задано пространство Марцинкевича M(φ). Пусть задан набор дизъюнктных множеств \{I_{i}\} одинаковой конечной меры, (i ∈ \overline{1, j}). Тогда для любой невозрастающей положительной числовой последовательности \{a_{i}\} (i ∈ \overline{1, j}) справедливы неравенства

inf\{∥ ∑_{i=1}^{j} a_{i}χ(I_{i})|M(φ)∥ : ∑_{i=1}^{j} a_{i}^{2} ⩾ b\} ⩾ \frac{φ(jμ(I_{1}))}{\sqrt{j}}\sqrt{b}.

ЛИТЕРАТУРА

1. Cordoba А. and Fernandez P. Convergence and divergence of decreasing rearranged Fourier series // SIAM J.Math. Anal. 1998. Vol. 29. No. 5. P. 1129-1139.

2. Монтгомери Г. Мультипликативная теория чисел. М.: Мир, 1974.

Abstract: In A. Cordoba and P. Fernandez research of the divergence of greedy algorithms in Lebesgue spaces some maximum operator P_{n}^{∗}(x) played the key role. This article reviews the assessment P_{n}^{∗}(x) in Marcinkiewicz spaces.

Keywords: greedy algorithms; space Marcinkiewicz; evaluation operators.

Гладких Денис Сергеевич аспирант Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Россия, Ярославль e-mail: dgladkikh@uniyar.ac.ru Denis Gladkikh post-graduate student Yaroslavl Demidov State University named after P.G. Demidov Russia, Yaroslavl e-mail: dgladkikh@uniyar.ac.ru УДК 517.98

ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ КВАНТОВАНИЕ ДЛЯ КОМПЛЕКСНОГО ПАРА-ЭРМИТОВА ПРОСТРАНСТВА ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} О. В. Гришина

Ключевые слова: пара-эрмитовы пространства; представления; операторы Лапласа; преобразование Березина.

Аннотация: Построены полиномиальные квантования на комплексном пара-эрмитовом пространстве G/H, где G = SL(n,ℂ), H = GL(n − 1,ℂ).

Мы рассматриваем полиномиальное квантование на симметрическом пространстве G/H, где G = SL(n, ℂ), H = GL(n−1, ℂ). Это пространство получается комплексификацией вещественного пара-эрмитова симметрического пространства SL(n, ℝ)/GL(n − 1, ℝ) ранга один. Ранг нашего пространства G/H равен двум. Мы строим полиномиальное квантование по схеме [1], см. также [2]: определяем ковариантные и контравариантные символы дифференциальных операторов, отвечающих элементам универсальной обертываюшей алгебры (эти символы являются многочленами), находим преобразование Березина B, переводящее контравариантные символы в ковариантные, выражаем преобразование Березина через операторы Лапласа Δ и \overline{Δ} (их два – соответственно рангу).

Пространство G/H можно реализовать как многообразие X комплексных n × n матриц x = = (x_{ij}) ранга 1 и со следом 1. Будем записывать матрицы из X в блочном виде соответственно разбиению n = (n − 1) + 1. Введем на X орисферические координаты ξ, η, где ξ – вектор-строка из ℂ^{n−1}, а η – вектор-столбец из ℂ^{n−1}:

x = \frac{1}{N(ξ, η)} ( \begin{matrix}−ηξ & −η \\ ξ & 1 \end{matrix} ) ,

где N(ξ, η) = 1 − ξη. В качестве переполненной системы Φ(ξ, η) мы берем ядро сплетающего оператора для представлений максимально вырожденной серии, а именно,

Φ(ξ, η) = N(ξ, η)^{2σ,2m},

где σ ∈ ℂ, m ∈ ℤ и мы используем обозначение z^{λ,r} = |z|^{λ} (z/|z|)^{r}.

Напишем выражение преобразование Березина через операторы Лапласа. Введем функцию Λ(λ, τ) от двух переменных λ, τ:

Λ(λ, τ) = \frac{Γ(−λ + τ)Γ(−λ − τ − n + 1)}{Γ(−λ)Γ(−λ − n + 1)}.

Эта функция инвариантна относительно замены τ на 1 − n − τ, поэтому она фактически есть функция от λ и от τ(τ + n − 1). Мы имеем

B = Λ(σ + m, k)Λ(σ − m, l),

1Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.

где надо считать k(k + n − 1) = Δ, l(l + n − 1) = \overline{Δ}. Следовательно, при σ → −∞ преобразование Березина имеет асимптотику:

B ∼ 1 − \frac{1}{σ} (Δ + \overline{Δ}).

Отсюда следует выполнение принципа соответствия.

Таким образом, в отличие от вещественного случая, для нашего пространства G/H мы имеем счетное число полиномиальных квантований, они нумеруются целым числом m.

ЛИТЕРАТУРА

1. Molchanov V.F., Volotova N.B. Polynomial quantization on para-Hermitian symmetric spaces // Вестн. Тамб. ун-та Сер. Естеств. и техн. науки. 2005. Т. 10. Вып. 4. С. 412–424.

2. Molchanov V.F., Volotova N.B. Polynomial quantization on rank one para-Hermitian symmetric spaces // Acta Appl. Math., 2004. V. 81 �1–3. P. 215–232.

Abstract: polynomial quantizations on a complex para-Hermitian space G/H where G = SL(n,ℂ), H = = GL(n − 1,ℂ) are constructed.

Keywords: para-Hermitian spaces; representations; Laplace operators; Berezin transform.

Гришина Ольга Владимировна ассистент Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: molchano@molchano.tstu.ru Olga Grishina junior member of teaching staff Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: molchano@molchano.tstu.ru УДК 517.98

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА КОМПЛЕКСНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Л. И. Грошева

Ключевые слова: канонические представления; граничные представления; комплексные гиперболические пространства.

Аннотация: Дано разложение канонических и порожденных ими граничных представлений на комплексных гиперболических пространствах.

Комплексное гиперболическое пространство G/K, где G = SU(n − 1, 1), K = U(n − 1), мы реализуем как единичный шар D : z\overline{z}′ < 1 в ℂ^{n−1}, где z – вектор-строка (z_{1}, …, z_{n−1}), штрих означает транспонирование. Граница S шара D есть сфера z\overline{z}′ = 1 размерности 2n − 3. Группа G действует на D и S дробно-линейно:

z ↦ z · g = \frac{zα + γ}{zβ + δ} , g = ( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ) ,

где матрица g ∈ G записана в блочном виде cоответственно разбиению n = (n−1)+1. Подгруппа K состоит из блочно диагональных матриц. Обозначим через ⟨f, h⟩_{D} и ⟨ψ, φ⟩_{S} скалярные произведения по евклидовым мерам dz и ds на D и S, соответственно.

Канонические представления группы G мы определяем как ограничения на G представлений максимально вырожденных серий "надгруппы" G̃ = SL(n, ℂ). А именно, это представления R_{λ}, λ ∈ ℂ, группы G, действующие в D(\overline{D}) по формуле

(R_{λ}(g)f) (z) = f(z · g)(zβ + δ)^{−2λ−2n}.

Скаляpное пpоизведение ⟨f, h⟩_{D} инвариантно относительно пары (R_{λ}, R_{−\overline{λ}−n}). Это позволяет распространить R_{λ} на пространство D′(\overline{D}) обобщенных функций на \overline{D}. Преобразованием Березина назовем оператор Q_{λ}:

(Q_{λ} f)(z) = c(λ) ∫_{D} | 1 − z\overline{w}′|^{2λ} f(w) dw,

где c(λ) – некоторый множитель. Этот опеpатоp сплетает R_{λ} и R_{−λ−n}. Форма Березина (f, h)_{λ} = = ⟨Q_{λ} f, h⟩_{D} инваpиантна относительно паpы (R_{λ}, R\overline{λ}).

Каноническое представление R_{λ} порождает два граничных представления L_{λ} и M_{λ}. Первое из них действует в пространстве Σ(\overline{D}) обобщенных функций, сосредоточенных на S. Второе – в многочленах Тейлора от p = 1 − z\overline{z}′ функций f ∈ D(\overline{D}). Обозначим через c_{m} и c_{m}^{∗} коэффициенты Тейлора функций f(z) и (1 − p)^{n−2}f(z). Это – функции из D(S). Обозначим через Σ_{k}(\overline{D}), k ∈ ℕ, подпространство в Σ(\overline{D}), натянутое на δ^{(m)}(p), m = 0, 1, …, k.

В разложении R_{λ} участвуют представления T_{σ}, σ ∈ ℂ:

(T_{σ}(g)φ)(s) = φ(s · g)|sβ + δ|^{2σ}, φ ∈ D(S).

1Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.

Они неприводимы для всех σ, кроме σ ∈ ℕ = {0, 1, 2, …} и σ ∈ 1 − n − ℕ.

Определим преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими представлениями:

(P_{λ,σ}φ)(z) = p^{−λ−σ−n} ∫_{S} | 1 − z\overline{s}′|^{2σ} φ(s) ds,
(F_{λ,σ}f)(s) = ∫_{D} |1 − z\overline{s}′|^{2σ} p^{λ−σ} f(z) dz.

Эти преобразования сплетают T_{1−n−σ} с R_{λ} и R_{λ} с T_{σ}, соответственно. Они сопряжены друг другу. Имеет место следующая формула:

Q_{λ} P_{λ,σ} = Λ(λ, σ) P_{−λ−n,σ},

где

Λ(λ, σ) = \frac{Γ(−λ + σ) Γ(−λ − σ − n + 1)}{Γ(−λ) Γ(−λ − n + 1)}.

Преобразования Пуассона и Фурье мероморфно зависят от σ с полюсами соответственно в точках λ−k, −n−λ+l и −λ−n−k, λ+1+l, где k, l ∈ ℕ. Полюсы простые, если пары последовательностей не пересекаются. Вычеты P̂_{λ,μ} преобразования Пуассона в простых полюсах μ являются операторами, действующими из D(S) в Σ(\overline{D}). Например, P̂_{λ,λ−k} есть с точностью до множителя оператор

ξ_{λ,k}(φ) = ∑_{r=0}^{k}(−1)^{r} \frac{k!}{(k − r)!} W_{λ−k,r}φ · δ^{(k−r)}(p),

где W_{σ,m} – некоторые дифференциальные операторы на S, инвариантные относительно K. Вычеты F̂_{λ,μ} преобразования Фурье являются граничными операторами. Например, F̂_{λ,−λ−n−k} есть с точностью до множителя оператор

b_{λ,k}(f) = ∑_{m=0}^{k} W_{−λ−n−k,m} c_{m}^{∗}.

Для λ общего положения граничные представления L_{λ} и M_{λ} диагонализуемы с помощью операторов ξ_{λ,k} и b_{λ,k}, соответственно.

Разложение канонических представлений проведем для общего случая: λ лежит в полосах I_{k} : (−n − 1)/2 + k < Re λ < (1 − n)/2 + k, k ∈ ℤ.

Для λ ∈ I_{0} имеем формулу обращения и формулу Планшереля:

f = ∫ ω(σ) P_{λ,1−n−σ} F_{λ,σ} f dρ,  (1)
(f, h)_{λ} = ∫ ω(σ) Λ(λ, σ) ⟨F_{λ,σ} f, F_{\overline{λ},1−n−\overline{σ}} h⟩_{S} dρ,  (2)

где интегралы берутся с σ = (1 − n)/2 + iρ по ρ ∈ ℝ. Они получаются из формулы Планшереля с мерой ω для квазирегулярного представления.

Продолжим разложения (1) и (2) аналитически по λ в полосу I_{k+1}, k ∈ ℕ. При этом полюсы σ = λ − m и σ = 1 − n − λ + m, m = 0, 1, …, k, подинтегрального выражения пересекают линию интегрирования – прямую Re σ = (1 − n)/2 – и дают k + 1 дополнительных слагаемых в правых частях. Мы получим:

f = ∫ + ∑_{m=0}^{k} π_{λ,m} (f),  (3)

где π_{λ,m} = 4π ω(1 − n − λ + m) P̂_{λ,λ−m} ∘ F_{λ,1−n−λ+m}, интеграл означает то же, что и в (1). Операторы π_{λ,m} проектируют на пространства Σ_{m}(\overline{D}) и ортогональны относительно формы Березина. Продолжение формулы (2) есть "теорема Пифагора" для разложения (3).

Итак, для λ из полосы I_{k+1}, k ∈ ℕ, к пространству D(\overline{D}) нужно добавить пространство Σ_{k}(\overline{D}). На полученном пространстве представление R_{λ} раскладывается в сумму двух слагаемых: первое разлагается как R_{λ} для полосы I_{0}, второе разлагается в сумму k+1 неприводимых представлений T_{1−n−λ+m}, m = 0, 1, …, k. Имеет место формула обращения (3) и формула Планшереля для формы Березина.

Для λ из полосы I_{−k−1}, k ∈ ℕ, дополнительные слагаемые получаются из-за полюсов σ = −λ− −n−m и σ = λ+1+m, m = 0, 1, …, k, подинтегpальной функции, это – полюсы пpеобpазования Фуpье. Мы получаем

f = ∫ + ∑_{m=0}^{k} Π_{λ,m} (f),

где Π_{λ,m} = j(λ + 1 + m)^{−1} P_{λ,λ+1+m} ∘ b_{λ,m}. Операторы Π_{λ,m}, m ⩽ k, можно распространить на пространство T_{k}(\overline{D}), состоящее из функций f с разложением Тейлора порядка k: f(z) = c_{0} +c_{1}p+ + ⋯ + c_{k}p^{k} + o(p^{k}).

Итак, для λ из полосы I_{−k−1}, k ∈ ℕ, представление R_{λ}, рассматриваемое на пространстве T_{k+1}(\overline{D}), pаспадается в сумму двух слагаемых. Пеpвое из них действует в подпpостpанстве функций f таких, что c_{m} = 0, m = 0, 1, …, k, и pазлагается как R_{λ} для полосы I_{0}. Втоpое pазлагается в пpямую сумму k + 1 непpиводимых пpедставлений T_{−λ−n−m}, m = 0, 1, …, k. Что касается пpодолжения в полосу I_{−k−1} pазложения (2), то полюсы подинтегpальной функции, пеpесекающие путь интегpиpования, оказываются полюсами втоpого поpядка, так что добавочные слагаемые даются гpомоздкими фоpмулами.

Abstract: decompositions of canonical and generated by them boundary representations on complex hyperbolic spaces are given.

Keywords: canonical representations; boundary representations; complex hyperbolic spaces.

Грошева Лариса Игоревна к. ф.-м. н., доцент Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: molchano@molchano.tstu.ru Larisa Grosheva candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: molchano@molchano.tstu.ru УДК 517.988

GLUING OF FUNCTIONS AND LOCAL OPERATORS ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} D. C. Djinja, Y. Nepomnyashchikh, A. Ponossov, A. Shindiapin

Keywords: local operator, gluing of funcions, gluing-invariant set.

Abstract: In 1976, I.V.Shragin introduced local operators as a natural generalization of the Nemytskii operators. The property of locality means that the values of the images (which are functions) restricted to some subset only depend on the values of the preimages restricted to the same subset. We study the property of locality of the nonlinear operators in spaces of measurable functions without assuming the continuity conditions, i. e. focussing on the property of gluing of functions.

In his work [6] I.V.Shragin introduced local operators as a natural generalization of the Nemytskiĭ operators (also known as the superposition operators). The property of locality means that the values of the images (which are functions) restricted to some subset only depend on the values of the preimages restricted to the same subset. The importance of the local operators is stipulated by the fact that the property of locality is characteristic for ordinary differential equations [1]. Basic properties of the local operators in functional spaces (representations via Nemytskiĭ operators, boundedness, continuity, etc.) have been studied by many authors (see [2]–[8]).

Here we study the property of locality of the nonlinear operators in spaces of measurable functions without assuming the continuity conditions, i. e. focussing on the property of gluing. As far as we know the role of gluing in understanding the property of locality was first discussed in [3]. In this paper we systematize and extend some results from [5] and [8].

Let X, Y, Z be nonempty sets, (T, Σ, μ) be a space with complete σ-finite measure; F (X) be the set of all classes of the μ-equivalent functions from T to X. Let us fix some x_{0} ∈ X and consider the projection operator P_{E,X} : F (X) → F (X), associating x ∈ F (X) with P_{E,X}x ∈ F (X) and being defined as follows: for each function x(·), representing the class of equivalence x and any function v(·), representing the class of equivalence P_{E,X}x, we put v(t) = x(t) almost everywhere on E and v(t) = x_{0} almost everywhere on T \E. Similarly we define F (Y) and the projections P_{E,Y}. Let us fix an arbitrary nonempty set M ⊂ F (X).

D e f i n i t i o n 1. [4, 5]. An operator A : M → F (Y) is called local, if for any E ∈ Σ and u, v ∈ M the equality P_{E,X}u = P_{E,X}v implies P_{E,Y} Au = P_{E,Y} Av.

P r o p o s i t i o n 1. Operator A : M → F (Y) is local iff P_{E,Y} F P_{E,X} = P_{E,Y} F (∀ E ∈ Σ).

P r o p o s i t i o n 2. If A_{1} : M → F (Y) and A_{2} : A_{1}(M) → F (Z) are local operators then their product A = A_{2}A_{1} : M → F (Z) is also a local operator.

P r o p o s i t i o n 3. If a local operator A : M → F (Y) is injective, then the inverse operator A^{−1} : A(M) → M is local.

P r o p o s i t i o n 4. If Y is a linear space over a field ℙ, operators A_{1} : M → F (Y) and A_{2} : M → F (Y) are local and c_{1}, c_{2} ∈ ℙ, then the operator A = c_{1}A_{1} + c_{2}A_{2} is also local.

1Работа поддержана Управлением науки университета Эдуардо Мондлане (Мозамбик), SIDA/SAREC (Швеция).

P r o p o s i t i o n 5. If Y = ℝ and the operators A_{1} : M → F (ℝ), A_{2} : M → F (ℝ) are local, then the operators max{A_{1}, A_{2}}, min{A_{1}, A_{2}}, |A_{1}| and A_{1} ·A_{2} (defined by ((A_{1} ·A_{2})x)(t) = (A_{1}x)(t)·(A_{2}x)(t) almost everywhere) are also local.

We will index the countable partitions of T by natural numbers and consider the finite partitions as special cases of the countable ones formally adding the empty sets as elements of the partition. By R(T) we denote the set of all nonempty countable measurable partitions of the set T and by S(M) we denote the set of all x ∈ F (X) such that for some countable measurable partition {E_{n}}_{n=1}^{∞} ∈ R(T) and some x_{n} ∈ M (n ∈ ℕ) we have P_{E_{n},X}x = P_{E_{n},X}x_{n} (n ∈ ℕ).

D e f i n i t i o n 2 [2]. The set M ⊂ F (X) is called gluing-invariant (g.i.) if ∀{E_{n}}_{n=1}^{∞} ∈ R(T) and ∀x_{n} ∈ M (n ∈ ℕ) the element x ∈ F (X) defined (uniquely) by P_{E_{n},X}x = P_{E_{n},X}x_{n} (n ∈ ℕ) belongs to M.

Assume that S(M) = {M_{1} ⊂ F (X) | M_{1} ⊃ M, M_{1} g.i.}. It is evident that the set S(M) is closed with respect to all intersections and, being ordered by inclusions, has the minimal element minS(M). i. e. the least g.i. set containing M.

L e m m a 1. minS(M) = S(M), [M g.i.] ⇔ [M = S(M)].

T h e o r e m 1. Let A : M → F (Y) be a local operator.

1) There exists a unique local operator A^{∗} : S(M) → F (Y) such that A^{∗}|_{M} = A;

2) A^{∗}(S(M)) = S(A(M));

3) There exists a local operator A^{∗∗} : F (X) → F (Y) such that A^{∗∗}|_{S(M)} = A^{∗};

4) If Y consists of more than one element, then there exist local operators A_{i}^{∗∗} : F (X) → F (Y), i = 1, 2 such that A_{i}^{∗∗}|_{S(M)} = A^{∗}, i = 1, 2 and A_{1}x ≠ A_{2}x (∀x ∈ F (X) \ S(M)).

Let now X, Y be linear spaces over the field ℝ, and M be a linear subset of X. Let x_{0} and y_{0} be the zero elements of the spaces X and Y, respectively: x_{0} = 0_{X}, y_{0} = 0_{Y}. By R(T) we denote the collection of all the countable measurable partitions of the set T.

P r o p o s i t i o n 6. The operator A : M → F (Y) is local iff F P_{E,X} = P_{E,Y} F + P_{S\E,Y} F 0_{X} (∀ E ∈ Σ).

C o r o l l a r y 1. Let an operator A : M → F (Y) satisfy the condition F 0_{X} = 0_{Y} (for example, A is linear). Then A is local iff F P_{E,X} = P_{E,Y} F (∀ E ∈ Σ).

L e m m a 2. S(M) = {∑_{n=1}^{∞} P_{E_{n},X}x_{n} : {E_{n}}_{n=1}^{∞} ∈ R(T), x_{n} ∈ M (n ∈ ℕ)}.

T h e o r e m 2. Let A : M → F (Y) be a local operator. Then the one-to-one local extension A^{∗} : S(M) → F (Y) of the operator A is given by

A^{∗}x = ∑_{n=1}^{∞} P_{E_{n},Y} Ax_{n}, x ∈ S(M),

where {E_{n}}_{n=1}^{∞} ∈ R(T) and x_{n} ∈ M (n ∈ ℕ) satisfy x = ∑_{n=1}^{∞} P_{E_{n},X}x_{n}.

C o r o l l a r y 1. If the set M g.i. and A : M → F (Y) is a local operator, then for any {E_{n}}_{n=1}^{∞} ∈ R(T) and x_{n} ∈ M (n ∈ ℕ) we have

A (∑_{n=1}^{∞} P_{E_{n},X}x_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} P_{E_{n},Y} Ax_{n}

References

1. Azbelev N.V., Maksimov V.P. and Rakhmatullina L.F. Introduction to the theory of functional differential equations // World Federation Publishers, Atlanta. 1996. 172 p.

2. Appell J., Zabrejko P.P. Nonlinear superposition operators // Cambridge: Cambridge University Press. 1990.

3. Krasnosel’skii M.A., Pokrovskii A.V. The discontinuous superposition operators // Uspehi Matem. Nauk. 1977, V. 32, No 1, P.169–170.

4. Ponosov A.V. On the Nemytskiĭ Conjecture // Dokl. Acad. Nauk SSSR. 1986, V. 289, No 6, P. 1308–1311.

5. Nepomnyashchikh Yu.V., Ponosov A.V. Local operators in some subspaces of the space L_{0} (Russian) // Izv. Vysh. Uchebn. Zaved. Mathem., 1999, No 6, P.50–64.

6. Šragin I.V. Abstract Nemytskii Operators (Locally Defined Operators) (Russian) // Dokl. Acad. Nauk SSSR. 1976, V. 227, No 1, P. 47–49.

7. Shragin I.V. Superpositional measurability and the superposition operator. Selected themes. // Feníks, Odessa. 2006, 103 p.

8. Shragin I.V., Nepomnyashchikh Yu.V. On extension of measurable functions and local operators. // Proc. of the Sixth Conf. "Function Spaces", Wroclaw, Poland. 3-8 Sept., 2001. World Scienti�c. New-Jersey-London-Singapore-Hong Kong. 2003. P. 251-262.

Аннотация: В 1976 году И.В.Шрагин ввёл понятие локального оператора как естественное обобщение оператора Немыцкого. Свойство локальности означает, что сужение функции-образа на некотором множестве зависит только от значений функции-прообраза на том же множестве. Мы исследуем свойство локальности нелинейных операторов в пространствах измеримых функций без предположения непрерывности, с точки зрения склеек функций.

Ключевые слова: локальный оператор, склейки функций, инвариантное относительно склейки множество.

Djinja Domingos Celso doctor of phys.-math. sciences, full professor Eduardo Mondlane University Mozambique Maputo celsodjinja@yahoo.com.br Джиниа Домингос Цельсо д. ф.-м. н., профессор Университет Эдуардо Мондлане Мозамбик, Мапуту celsodjinja@yahoo.com.br

Yury Nepomnyashchikh doctor of phys.-math. sciences, full professor Eduardo Mondlane University Mozambique, Maputo e-mail: yuvn2@yandex.ru Непомнящих Юрий д. ф.-м. н., профессор Университет Эдуардо Мондлане Мозамбик, Мапуту e-mail: yuvn2@yandex.ru

Arkadi Ponossov doctor of phys.-math. sciences, professor Norwegian University of Life Sciences Norway, Aas e-mail: arkadi@umb.no Поносов Аркадий Владимирович д. ф.-м. н., профессор Норвежский университет естественных наук Норвегия, Ос e-mail: arkadi@umb.no

Andrei Shindiapin doctor of phys.-math. sciences, full professor Eduardo Mondlane University Mozambique Maputo e-mail: andrei.olga@tvcabo.co.mz Шиндяпин Андрей Игоревич д. ф.-м. н., профессор Университет Эдуардо Мондлане Мозамбик, Мапуту e-mail: andrei.olga@tvcabo.co.mz УДК 519.68

ОБ ОДНОМ ВАРИАНТЕ ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМ ПРОЦЕССОМ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} А. М. Добычин

Ключевые слова: децентрализованное управление; паралельный вычислительный процесс; темперированное дерево рекурсивного алгоритма.

Аннотация: Предлагается схема децентрализованного управления паралельным вычислительным процессом, использующего темперированное дерево рекурсивного алгоритма.

Задача управления параллельным вычислительным процессом – основная задача программирования с использованием параллельных вычислительных кластеров.

Будем использовать основные определения и понятия из работы [1].

Имеется множество процессоров и темпорированное дерево рекурсивного алгоритма. У каждой вершины дерева имеется одно входное ребро и некоторое количество выходных ребер, которым приписаны натуральные веса. Вес обозначает очередность вычислений поддеревьев, которые начинаются с этих ребер. Совпадение весов обозначает параллельность вычислений.

Задача управления вычислительным процессом состоит в �назначении� поддеревьев определенным процессорам кластера. Это должно происходить в процессе вычислений, и не должен использоваться единый координирующий центр – диспетчер.

Сформулируем основные черты предлагаемого варианта схемы децентрализованного управления. При каждой вершине дерева алгоритма создается изначально пустой список дополнительных

процессоров (ДП). Пусть ребра некоторой вершины V имеют h различных весов. При этом ребер веса i будет v(i). При вычислении поддеревьев, которые начинаются с ребер веса i, создадим регистр из v(i) флагов ребер.

Каждый флаг ребра будет принимать значения -1, 0, 1, 2, 3, которые имеют следующий смысл. Флаг 0 означает, что данные по этому поддереву еще не передавались. Флаг -1 означает, что данные по этому поддереву переданы, но состояние вычислительного процесса не определено. Флаг ребра принимает значение 1 в случае, если начаты вычисления всех листовых вершин этого поддерева. Флаг 2 означает, что вычисление данного поддерева закончено, а результат передан в вышестоящую вершину. Флаг 3 означает, что вычисление поддерева начато, но требуются дополнительные процессоры для более быстрого вычисления.

Существуют четыре счетчика Nm1, N_{0}, N_{1}, N_{2}, соответствующие количеству флагов -1, 0, 1, 2. Когда количество флагов со значением 2 становится равным количеству ребер веса i, то вычисление ребер этого веса считается законченным, переходим к вычислению ребер следующего веса. Если i=h, то вычисление вершины завершено и результаты вместе со списоком ДП вершины передаются в вышестоящую вершину.

Развитие вычислительного процесса происходит следующим образом.

Главный процессор получает корневую вершину дерева, входные данные и список дополнительных процессоров ДП, содержащий все процессоры кластера: 1,2,..,n.

Пусть поддерево, полученное процессором s, (s=1..n), начинается с вершины V со списком ДП, содержащим g процессоров, включая s. Пусть 1..h - веса ребер, исходящих из вершины V. Производится параллельное вычисление поддеревьев, начинающихся со всех ребер, исходящих из вершины V и имеющих вес i (i=1..h). Сначала вычисляются все поддеревья с весом 1, затем

1Работа выполнена при частичной поддержке программы "Развитие потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/1853).

– с весом 2, и так далее – до веса h. При этом каждый раз вычисляются только те поддеревья, у которых флаги равны нулю.

Если число процессоров g в списке ДП не превосходит числа ребер u(i) веса i, то каждому процессору z из списка ДП передается по одной вершине и список ДП, состоящий из одного процессора z. Если g>u(i), то список ДП делится на u(i) частей так, чтобы s был первым процессором в первой части. Первому процессору в j-той (j=1..u(i)) части списка ДП передается j-тая вершина и вся j-тая часть списка ДП, если передаваемая вершина не листовая. Если передаваемая вершина является листовой, то передается только сам первый процессор.

Установка флагов ребер и перераспределение в списке ДП происходит следующим образом.

Когда процессор s получил листовую вершину, которая связана входным ребром R с вершиной V, то флаг ребра R устанавливается равным 1. Когда он заканчивает вычисление этой вершины, тогда флаг ребра R устанавливается равным 2 и номер процессора s дописывается в список ДП вершины V. Если вершина V не корневая вершина дерева алгоритма и список ДП этой вершины не пуст, то этот список ДП дописывается в список ДП вершины, с которой она связана входным ребром.

Предполагается реализовать такую схему организации вычислительного процесса, как альтернативную для схемы LLP. Обе схемы предполагается сравнить на реальных вычислительных задачах на кластере ТГУ им.Г.Р. Державина и на кластере МСЦ РАН.

ЛИТЕРАТУРА 1. Малашонок Г.И., Валеев Ю.Д. Организация параллельных вычислений в рекурсивных символьно-численных

алгоритмах // Труды конференции ПаВТ’2008 (Санкт-Петербург). Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. С. 153-165.

Abstract: there is suggested a scheme for decentralized control of a parallel computing process, which uses a tempered tree of a recursive algorithm.

Keywords: decentralized control; parallel computing process; tempered tree of a recursive algorithm.

Добычин Александр Михайлович аспирант Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: axellandr@pochta.ru Alexandr Dobychin post-graduate student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: axellandr@pochta.ru УДК 517.51

КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА В ЗАДАЧАХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} В. И. Дождиков

Ключевые слова: компьютерная алгебра, аналитические методы, распространение тепла.

Аннотация: Рассматривается применение средств компьютерной алгебры для решения задач распространения тепла.

Процесс распространения тепла в твердом теле без источников и стоков тепла описывается дифференциальным уравнением теплопроводности вида

\frac{∂U}{∂t} = a · (\frac{∂^{2}U}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}U}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}U}{∂z^{2}} ) ,

где U–температура в точке с координатами x, y, z в момент времени t, a=k/cρ – коэффициент температуропроводности, который определяется плотностью твердого тела ρ, коэффициентом теплопроводности k и теплоемкостью c.

Для получения описания температурного поля в рассматриваемом конкретном случае теплопроводности в твердом теле необходимо задание теплофизических свойств этого тела, начальных и граничных условий с последующим интегрированием этого дифференциального уравнения.

Традиционно для решения такого рода дифференциальных уравнений в связи со значительными вычислительными трудностями применяют численные методы интегрирования. В настоящее время существует большое число прикладных пакетов программ, предназначенных для получения численного решения инженерных задач для определения теплового состояния твердых тел.

Однако современные вычислительные средства позволяют проводить более точное и глубокое исследование процесса распространения тепла с помощью средств и систем компьютерной алгебры, предназначенных для решения сложных задач математической физики в аналитическом виде [1,2]. Это такие пакеты программ, как Mathematica компанииWolfram Reseach, MAPLE, Magma, MAXYMA, AXIOM, REDUCE, CoCoA, Macaulay, SINGULAR и др. Они позволяют получить общее решение задачи распространения тепла в функциональном виде. При этом в решении могут сохраняться свободные параметры. Поэтому вместо того, чтобы для каждого нового набора значений параметров производить пересчет всей задачи, как приходится делать при использовании пакетов программ на основе численных методов, в системах компьютерной алгебры достаточно изменить значения параметров в полученном аналитическом решении.

ЛИТЕРАТУРА 1. Малашонок Г.И., Ушакова Е.В. Эффективная математика: задачи распространения тепла. Тамбов: Изд-во

ТГУ, 2001.

2. Малашонок Г.И. Об одном подходе к построению параллельной системы компьютерной алгебры // Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры. Сб. научн. статей международной конф. (Брест, 5-8 сент. 2005 г.). Ч. 1. Минск: Изд-во БГПУ, 2005. С. 306-307.

Abstract: The computer algebra methods are considered for solving of heat spreading problems.

Key words: computer algebra, analytical methods, spread of heat.

Дождиков Владимир Иванович д. т. н., профессор Липецкий государственный технический университет Россия, Липецк e-mail: vladivado@yandex.ru Vladimir Dogdikov doctor of technical sciences, professor Lipeck State Technical University Russia, Lipeck e-mail: vladivado@yandex.ru

УДК 517.51

ОПТИМИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} В. И. Дождиков, С. В. Порядин, К. В. Дождиков

Ключевые слова: оптимизация, управление, теплопроводность, компьютерная алгебра.

Аннотация: Рассматривается методика оптимизации управления процессом теплопроводности в твердом теле.

В некоторых задачах математической физики параметры теплового состояния твердого тела, например, в виде пластины, значимые для оценки качества процесса его нагрева или охлаждения, можно получить, решив задачу нестационарной теплопроводности с граничными условиями первого рода [1]. При этом часто необходимо определить в каком-то смысле наилучшую функцию изменения температуры на границе тела.

Введем в рассмотрение функционал P, характеризующий рассматриваемую функцию (в виде подынтегрального выражения) с точки зрения интенсивности теплового воздействия на тело за время τ_{k}:

P = AB − ∫_{0}^{τ} B(1 − \frac{τ}{A})^{\frac{n}{τ+m} +1}dτ,

где A, B – постоянные коэффициенты; n, m, −переменные параметры, x – координата по толщине пластины, τ – время.

С другой стороны, для оценки качества теплового процесса можно использовать функционалы, характеризующие нестационарное температурное поле тела в течение τ_{k} и построенные на основе градиентов температуры, например, в виде:

F = \frac{1}{τ_{k}} ∫_{0}^{τ_{k}} \frac{1}{l} ∫_{0}^{l} \frac{∂t}{∂x}dxdτ,

где l – толщина пластины

Таким образом, можно получить функцию связи между критерием F, характеризующим управление тепловым процессом, и критерием качества самого процесса в виде

F = f(P)

Минимизация этой целевой функции позволяет получить решение задачи оптимизации процесса охлаждения твердого тела в указанном выше смысле. Для этого использовали методы компьютерной алгебры пакета MAPLE.

ЛИТЕРАТУРА 1. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 1985.

480 с.

Abstract: The optimization method of control of heat conduction in solid state is considered.

Key words: optimization, control, heat conduction, computer algebra.

Дождиков Владимир Иванович д. т. н., профессор Липецкий государственный технический университет Россия, Липецк e-mail: vladivado@yandex.ru Vladimir Dogdikov doctor of technical sciences, professor Lipeck State Technical University Russia, Lipeck e-mail: vladivado@yandex.ru

Порядин Сергей Васильевич аспирант Липецкий государственный технический университет Россия, Липецк e-mail: vladivado@yandex.ru Sergey Poryadin post-graduate student Lipeck State Technical University Russia, Lipeck e-mail: vladivado@yandex.ru

Дождиков Кирилл Владимирович студент Липецкий государственный технический университет Россия, Липецк e-mail: vladivado@yandex.ru Kirill Dozhdikov student Lipeck State Technical University Russia, Lipeck e-mail: vladivado@yandex.ru УДК 517.98

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НА ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО–ГАЛИЛЕЯ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Ю. В. Дунин

Ключевые слова: дуальные числа; однородные пространства; индуцированные представления; формула Планшереля.

Аннотация: Пусть Λ – алгебра дуальных чисел. На плоскости Лобачевского–Галилея z\overline{z} < 1, z ∈ Λ, действует группа G псевдо-унитарных матриц над Λ. Мы разлагаем на неприводимые составляющие квазирегулярное представление группы G и представление, индуцированное характером диагональной подгруппы.

Пусть Λ – алгебра дуальных чисел: z = x + jy, x, y ∈ ℝ, j^{2} = 0. Сопряженное число для z = x + jy – это \overline{z} = x − jy. Пусть G = SU(1, 1, Λ) – группа матриц

g = ( \begin{matrix}a & b \\ \overline{b} & \overline{a} \end{matrix} ) , a, b ∈ Λ, a\overline{a} − b\overline{b} = 1.

Она состоит из двух связных частей, связная компонента единицы изоморфна группе гиперболичских движений плоскости.

Пусть L – полоса на плоскости Λ, задаваемая неравенством z\overline{z} < 1 (т. е. x^{2} < 1). Назовем ее плоскостью Лобачевского–Галилея. Группа G действует на L дробно-линейно:

z ↦ z · g = \frac{az + \overline{b}}{bz + \overline{a}} .

Это действие транзитивно, так что L = G/K, где K – стационарная подгруппа точки z = 0, она состоит из диагональных матриц:

k = ( \begin{matrix}1 + jt & 0 \\ 0 & 1 − jt \end{matrix} ) , t ∈ ℝ.

Мера dμ(z) = (1 − z\overline{z})^{−2} dx dy инвариантна относительно G.

Мы разлагаем на неприводимые составляющие представление U группы G в пространстве L^{2}(L, dμ) сдвигами: (U(g)f)(z) = f(z · g) – квазирегулярное представление, а также разлагаем на неприводимые составляющие представление U^{ω} группы G в этом же пространстве, индуцированное унитарным характером ω : k ↦ exp(iλt), λ ∈ ℝ, оно задается формулой

(U^{ω}(g)f) = f(z · g)exp \{iλ\frac{p − qx − βy}{α + βx} \} ,

где a = α + jp, b = β + jq, z = x + jy.

Abstract: Let Λ be the algebra of dual numbers. The group G of pseudo-unitary matrices over Λ acts on the Lobachevsky–Galilei plane z\overline{z} < 1, z ∈ Λ. We decompose into irreducible constituents the quasi-regular representation of G and also the representation induced by a character of the diagonal subgroup.

1Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.

Keywords: dual numbers; homogeneous spaces; induced representations; Plancherel formula.

Дунин Юрий Владимирович аспирант Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: molchano@molchano.tstu.ru Juriy Dunin post-graduate student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: molchano@molchano.tstu.ru

УДК 517.977.5

ОЦЕНКИ МНОЖЕСТВ ДОСТИЖИМОСТИ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С

РАЗРЫВНЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} В. А. Дыхта, О. Н. Самсонюк

Ключевые слова: траектории ограниченной вариации; импульсные процессы; функции Ляпунова; неравенства Гамильтона-Якоби; множество достижимости; условия оптимальности.

Аннотация: В докладе представлены результаты по оценке множеств достижимости и нелокальным условиям оптимальности для нелинейных управляемых систем с траекториями ограниченной вариации и импульсным управлением типа векторной меры со значением в выпуклом конусе. Результаты основаны на применении множеств сильно монотонных функций типа Ляпунова, удовлетворяющих квазивариационным неравенствам Гамильтона-Якоби, модифицированным для рассматриваемого класса задач.

Представлены результаты по оценке множеств достижимости и достаточным условиям оптимальности для нелинейных управляемых систем с траекториями ограниченной вариации. Результаты основаны на применении множеств сильно монотонных функций типа Ляпунова, удовлетворяющих неравенствам Гамильтона–Якоби [1].

Рассматриваются обобщенные (об.) траектории нелинейной динамической системы

ẋ(t) = f(t, x(t), V (t), u(t)) + G(t, x(t), V (t))v(t),  (1)
u(t) ∈ U,  v(t) ∈ K  п.в. на T := [t_{0}, t_{1}].  (2)

Здесь x(·), V (·) — абсолютно непрерывные, u(·), v(·) — измеримые ограниченные вектор-функции, V̇ (t) = ||v(t)||, V (0) = 0, U ⊂ ℝ^{d(u)} — компактное множество, K ⊂ ℝ^{d(v)} — выпуклый замкнутый

конус, T — фиксированный отрезок, ||v|| = ∑_{i=1}^{d(v)} |v_{i}|, d(z) — размерность вектора z. Функции f(t, x, V, u), G(t, x, V) непрерывны по совокупности переменных, локально липшицевы по x и удовлетворяют условиям роста по x, множество f(t, x, V, U) выпуклое.

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект � 07-01-00741; при финансовой поддержке СО РАН, интеграционный проект СО РАН-УрО � 85.

Об. траектории являются непрерывными справа на (t_{0}, t_{1}] функциями ограниченной вариации. Назовем импульсным процессом системы (1), (2) набор (x(·), V (·), u(·), dw), где (x(·), V (·)) — об. траектория, соответствующая паре (u(·), dw), в которой u(·) ∈ L_{∞} (T, U) — обычное управление, dw ∈ C^{∗} (T, K) — импульсное управление.

На множестве импульсных процессов системы (1), (2) рассматривается задача P

l(b) → inf, b ∈ C, b := (x_{0}, x_{1}, V_{1}).

Здесь l(b) — непрерывная функция, C — замкнутое множество, x_{0} := x(t_{0}−), x_{1} := x(t_{1}), V_{1} := = V (t_{1}).

Рассмотрим систему дифференциальных неравенств относительно локально липшицевых функций φ(t, x, V)

φ_{t} + max_{u∈U} (φ_{x}, f(t, x, V, u)) ⩽ 0,  max_{ω∈K, ||ω||=1} (φ_{x}, G(t, x, V)ω) + φ_{V} ⩽ 0.  (3)

Система неравенств (3) представляет собой обобщение неравенства Гамильтона–Якоби для импульсных процессов системы (1), (2).

Функции φ, удовлетворяющие (3), назовем функциями типа Ляпунова или L–функциями. Они обладают свойством монотонного невозрастания вдоль импульсных процессов системы (1), (2), задают внешние оценки множества достижимости и оценки снизу для функционала задачи P.

Пусть Q — некоторое связное множество в пространстве переменных (t, x, V), проекция которого на ось t совпадает с отрезком T, Q_{t_{0}} = {(x_{0}, 0) | (t_{0}, x_{0}, 0) ∈ Q}, Q_{t_{1}} = {(x_{1}, V_{1}) | (t_{1}, x_{1}, V_{1}) ∈ ∈ Q}. Обозначим через R(Q) множество пар точек (x_{0}, V_{0}) ∈ Q_{t_{0}}, (x_{1}, V_{1}) ∈ Q_{t_{1}}, соединимых проходящими по Q об. траекториями.

Т е о р е м а 1. Пусть Φ(Q) — произвольное множество решений неравенства (3) на множестве Q. Тогда имеет место включение

R(Q) ⊂ E_{Φ}(Q),

где

E_{Φ}(Q) = {(x_{0}, x_{1}, V_{1}) | (x_{0}, 0) ∈ Q_{t_{0}}, (x_{1}, V_{1}) ∈ Q_{t_{1}}, φ(t_{1}, x_{1}, V_{1}) − φ(t_{0}, x_{0}, 0) ⩽ 0 ∀φ ∈ Φ(Q)}.

Пусть P (Q) — сужение задачи P на множество Q, ē = (x̄(·), V̄ (·), ū(·), dw̄) — допустимый импульсный процесс в задаче P (Q). Тогда свойство сильной монотонности L–функций позволяет рассмотреть следующую конечномерную концевую задачу

l(b) → inf,  b ∈ C ∩ E_{Φ}(Q),  b := (x_{0}, x_{1}, V_{1}).  (4)

Т е о р е м а 2. Если найдется множество L–функций Φ(Q) такое, что вектор b̄ = (x̄(t_{0}− −), x̄(t_{1}), V̄ (t_{1})) глобально оптимален в задаче (4), то процесс ē глобально оптимален в задаче P (Q).

Более гибкие результаты можно получить, используя составные L–функции. Зафиксируем произвольное множество моментов времени t_{0} = s_{0} < s_{1} < … < s_{N} = t_{1}. Введем обозначения: Δ_{i} := [s_{i−1}, s_{i}], i = \overline{1, N}; b_{0}^{i} := (x(s_{i}−), V (s_{i}−)), b_{1}^{i} := (x(s_{i}), V (s_{i})), i = \overline{0, N}; Q_{Δ_{i}} = \{(t, x, V) | t ∈ ∈ Δ_{i}, (t, x, V) ∈ Q\}, i = \overline{1, N}, Q_{Δ_{0}} = Q_{t_{0}}, Q_{Δ_{N+1}} = Q_{t_{1}}. Каждому моменту s_{i}, i = \overline{0, N} сопоставим множество R_{s_{i}}(Q_{Δ_{i}}, Q_{Δ_{i+1}}) — множество пар точек b_{0} := (z_{0}, z_{V 0}), b_{1} := (z_{1}, z_{V 1}) таких, что (s_{i}, b_{0}) ∈ Q_{Δ_{i}}, (s_{i}, b_{1}) ∈ Q_{Δ_{i+1}} и точки соединимы траекториями предельной системы

dz(τ)/dτ = G(s_{i}, z(τ), z_{V} (τ))ω(τ), dz_{V} (τ)/dτ = 1, ω(τ) ∈ co{v ∈ K | ||v|| = 1} ˙∀τ ∈ [0, d]

(z_{0} := z(0), z_{V 0} := z_{V} (0), z_{1} := z(d), z_{V 1} := z_{V} (d), d := z_{V 1} − z_{V 0}). Внешние оценки для множества R_{s_{i}}(Q_{Δ_{i}}, Q_{Δ_{i+1}}) задают, в частности, решения второго из неравенств в (3) при t = s_{i}. Пусть Φ(Q_{Δ_{i}}) — произвольное множество решений системы дифференциальных неравенств (3) на Q_{Δ_{i}}, i = \overline{1, N}, R_{s_{i}}^{∗} — произвольная оценка сверху для множества R_{s_{i}}(Q_{Δ_{i}}, Q_{Δ_{i+1}}), i = \overline{0, N}. Теперь задаче P (Q) можно сопоставить следующую многоточечную конечномерную задачу

l(b_{0}^{0}, b_{1}^{N}) → inf,  (b_{0}^{1}, b_{1}^{N}) ∈ {((x_{0}, 0), (x_{1}, V_{1})) | (x_{0}, x_{1}, V_{1}) ∈ C},  (5)
φ^{i}(s_{i}, b_{0}^{i}) − φ^{i}(s_{i−1}, b_{1}^{i−1}) ⩽ 0 ∀ φ^{i} ∈ Φ(Q_{Δ_{i}}), i = \overline{1, N},  (6)
(b_{0}^{i}, b_{1}^{i}) ∈ R_{s_{i}}^{∗}, i = \overline{0, N}.  (7)

Т е о р е м а 3. Если найдутся Φ(Q_{Δ_{i}}), i = \overline{1, N} и R_{s_{i}}^{∗}, i = \overline{0, N} такие, что вектор b̄ глобально оптимален в задаче (5)–(6), то процесс ē глобально оптимален в задаче P (Q).

Применение достаточных условий оптимальности проиллюстрировано на ряде примеров, в том числе с управляемыми системами, не удовлетворяющими условию корректности перехода к импульсным процессам.

ЛИТЕРАТУРА 1. Дыхта В.А. Инвариантность, достижимость и оптимальность в управляемых динамических системах//

Труды XIV Байкальской международной школы–семинара �Методы оптимизации и их приложения�. 2008. Т. 2. C. 35–46.

Abstract: Reachable set estimations and non-local optimality conditions for nonlinear control dynamic systems with trajectories of bounded variation and impulsive control of type of a vector measure with a value into a convex cone will be presented; the results are based on applying of sets of strong monotone Lyapunov type functions that satisfy Hamilton-Jacobi quasivariational inequalities modified for the considering kind of problems.

Key words: trajectories of bounded variation; impulsive processes; Lyapunov type functions; Hamilton-Jacobi inequalities; reachable set; optimality conditions.

Дыхта Владимир Александрович д. ф.-м. н., профессор Институт динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН Россия, Иркутск e-mail: dykhta@gmail.com Vladimir Dykhta doctor of phys.-math. sciences, professor Institute of System Dynamics and Control Theory of Siberian Department of RAS Russia, Irkutsk e-mail: dykhta@gmail.com

Самсонюк Ольга Николаевна к. ф.-м. н., доцент Институт динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН Россия, Иркутск e-mail: samsonuk.olga@rambler.ru Olga Samsonuk candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Institute of System Dynamics and Control Theory of Siberian Department of RAS Russia, Irkutsk e-mail: samsonuk.olga@rambler.ru УДК 517.988.6

ВОЛЬТЕРРОВЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Е. С. Жуковский, M. J. Alves

Ключевые слова: уравнение Вольтерра; вольтерровы операторы; метрическое фактор-пространство. Аннотация: Изучаются действующие в метрических пространствах операторы, сохраняющие заданные

отношения эквивалентности. Исследуется разрешимость уравнений с такими операторами.

В работе [1] для отображений банаховых пространств введено понятие вольтерровости на системе отношений эквивалентности, исследована разрешимость уравнений с такими операторами. При соответствующем выборе системы отношений это понятие равносильно различным известным трактовкам свойства эволюции, причинности операторов, в том числе классическому определению вольтерровости по А.Н. Тихонову. Здесь рассматриваются вольтерровые операторы, действующие в метрических пространствах.

Будем предполагать, что в метрическом пространстве X определено отношение эквивалентности ∼. Для любых двух классов эквивалентности x̄, ū положим

d_{X}(x̄, ū) = inf_{x∈x̄, u∈ū} ρ_{X}(x, u).  (1)

Если формула (1) задает метрику в фактор-множестве X/∼, то будем называть (X/∼, d_{X}) метрическим фактор-пространством.

У т в е р ж д е н и е 1. Если формула (1) задает метрику в фактор-множестве X/∼, то отношение эквивалентности ∼ на множестве X обладает следующим свойством: для любых элементов x, u, x_{i}, u_{i} ∈ X, i = 1, 2, …, из соотношения x_{i} ∼ u_{i}, выполненного при всех i, и сходимости ρ_{X}(x_{i}, x) → 0, ρ_{X}(u_{i}, u) → 0, следует x ∼ u.

У т в е р ж д е н и е 2. Пусть метрическое пространство X является полным, и пусть для каждого элемента x ∈ X его класс эквивалентности x̄ есть замкнутое множество. Предположим, также, что выполнены условия: (d^{2}) для произвольного ε > 0, для любых трех классов x̄, ū, w̄ ∈ X/∼ существуют такие элементы

x ∈ x̄, u ∈ ū, w ∈ w̄, что имеет место неравенство ρ_{X}(x, u) + ρ_{X}(u, w) ⩽ d_{X}(x̄, ū) +

+ d_{X}(ū, w̄) + ε;

(d^{∞}) для любых классов x̄_{i} ∈ X/∼, i = 1, 2, …, если сходится ряд ∑_{i=1}^{∞} d_{X}(x̄_{i}x̄_{i+1}), то можно так выбрать представителя каждого класса x_{i} ∈ x̄_{i} , что ряд ∑_{i=1}^{∞} ρ_{X}(x_{i}, x_{i+1}) также сходится.

Тогда формула (1) определяет метрику в фактор-множестве X/∼, причем (X/∼, d_{X}) является полным метрическим пространством.

Пусть каждому γ ∈ [0, 1] поставлено в соответствие отношение эквивалентности ϑ_{X}(γ) на множестве X. Назовем элементы x, u ∈ X, удовлетворяющие этому бинарному отношению, ϑ(γ)- эквивалентными. Обозначим \overline{x}_{γ} – класс ϑ_{X}(γ)-эквивалентности элемента x ∈ X. Будем говорить, что совокупность

𝔙_{X} = { ϑ_{X}(γ) | γ ∈ [0, 1] }

1Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты 09-01-97503, 07-01-00305), Министерства образования и науки РФ (программа РНП � 2.1.1/1131), Норвежской Национальной Программы Научных Исследований FUGE (грант PRO 06/02) при Совете научных исследований Норвегии и Норвежского Комитета по развитию университетской науки и образования(NUFU), SIDA/SAREC, Scientific Directorate at Eduardo Mondlane University.

рассматриваемых отношений удовлетворяет условию (v), если: (v_{0}) значению γ = 0 соответствует отношение ϑ_{X}(0) = X^{2} (то есть любые два элемента являются

ϑ_{X}(0)-эквивалентными); (v_{1}) значению γ = 1 соответствует отношение равенства (то есть никакие два разных элемента

не вступают в отношение ϑ_{X}(1)); (v_{γ}) из γ > η, следует ϑ_{X}(γ) ⊆ ϑ_{X}(η) (любые два ϑ_{X}(γ)-эквивалентных элемента будут ϑ_{X}(η)-

эквивалентными, если γ > η). Пусть (X, ρ_{X}) – полное метрическое пространство, в котором задана удовлетворяющая требованиям

(v) система 𝔙_{X} отношений эквивалентности. Кроме того, считаем, что при любом γ ∈ [0, 1] каждый класс эквивалентности замкнут, а фактор-множество X/ϑ_{X}(γ) относительно метрики

ρ_{X/ϑ_{X}(γ)}(x̄_{γ}, ū_{γ}) = d_{X}(x̄_{γ}, ū_{γ}) = inf_{x∈x̄_{γ}, u∈ū_{γ}}(x, u)

является полным метрическим фактор-пространством. Далее, предполагается, что в метрическом пространстве (Y, ρ_{Y}) также задана некоторая система отношений эквивалентности

𝔙_{Y} = { ϑ_{Y} (γ) | γ ∈ [0, 1] },

удовлетворяющая условиям (v); при любом γ ∈ [0, 1] фактор-множество Y/ϑ_{Y} (γ) относительно метрики

ρ_{Y/ϑ_{Y} (γ)}(ȳ_{γ}, w̄_{γ}) = d_{Y} (ȳ_{γ}, w̄_{γ}) = inf_{y∈ȳ_{γ}, w∈w̄_{γ}}(y, w)

является метрическим фактор-пространством (полнота пространств Y, Y/ϑ_{Y} (γ) и замкнутость классов эквивалентности ȳ_{γ} ⊂ Y не требуется).

Определение. Оператор F : X → Y будем называть вольтерровым (на системах 𝔙_{X}, 𝔙_{Y} отношений эквивалентности), если для каждого γ ∈ [0, 1] и любых x, u ∈ X из (x, u) ∈ ϑ_{X}(γ) следует (F x, F u) ∈ ϑ_{Y} (γ). Таким образом, вольтерровый оператор сохраняет при любом γ ∈ [0, 1] отношения эквивалентности, отображая эквивалентные элементы множества X в эквивалентные элементы множества Y.

В докладе рассмотрены свойства вольтерровых на системах отношений эквивалентности операторов, исследуется разрешимость уравнений с такими операторами.

ЛИТЕРАТУРА 1. Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтера // Математический

сборник. 2006. Т.197. � 10. С. 33-56.

Abstract: The operators that act in metric spaces and preserve the given equivalence relations are studied. The solvability of equations with such operators is under discussion.

Keywords: Volterra equation; Volterra operators; metric factor-space.

Жуковский Евгений Семенович д. ф.-м. н., профессор Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: aib@tmb.tsu.ru Evgeniy Zhukovskiy doctor of phys.-math. sciences, professor Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: aib@tsu.tmb.ru

Алвеш Мануэль Джоаквим д. ф.-м. н., профессор Университет Эдуардо Мондлане Мозамбик, Мапуту e-mail: mjalves@tvcabo.co.mz Manuel Joaquim Alves doctor of phys.-math. sciences, professor Eduardo Mondlane University Mozambique, Maputo e-mail: mjalves@tvcabo.co.mz УДК 517.988

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ

ВКЛЮЧЕНИЙ С НАКРЫВАЮЩЕЙ ЛЕВОЙ ЧАСТЬЮ

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} С. Е. Жуковский

Ключевые слова: α−накрываемость; включение; задача управления.

Аннотация: Для заданного отображения G и множества V рассматривается включение G(ξ, σ, x) ∈ V с параметрами ξ, σ и неизвестным x. В предположении α−накрываемости отображения G по переменной x построена зависимость от параметров множества решений, являющаяся компактнозначным, полунепрерывным сверху по совокупности аргументов и непрерывным по σ в наперед заданной точке σ_{0} при любом ξ многозначным отображением.

Пусть даны метрические пространства Ξ, Σ, X, Y, относительно которых будем предполагать, что любое их ограниченное подмножество предкомпактно. Пусть, кроме того, даны точки ξ_{0} ∈ Ξ, σ_{0} ∈ Σ, x_{0} ∈ X, замкнутое множество V ⊂ Y и отображение G : Ξ × Σ × X → Y.

Рассмотрим включение

G(ξ, σ, x) ∈ V.

Решение данного включения при каждых ξ ∈ Ξ, σ ∈ Σ обозначим через M(ξ, σ), т.е.

M(ξ, σ) = {x ∈ X | G(ξ, σ, x) ∈ V } ∀ ξ ∈ Ξ, σ ∈ Σ.

При решении некоторых задач управления возникает необходимость в построении многозначного отображения M̃: Ξ × Σ → 2^{X}, которое удовлетворяет следующим условиям:

(C1) множество M̃(ξ, σ) не пусто, компактно и M̃(ξ, σ) ⊂ M(ξ, σ) при любых ξ ∈ Ξ, σ ∈ Σ;

(C2) многозначное отображение M̃ полунепрерывно сверху;

(C3) многозначное отображение M̃(ξ, ·) непрерывно в точке σ_{0} при любом ξ ∈ Ξ.

Введем определение накрывающего отображения, несколько расширяющее понятие накрываемости (см., например [1]). Для произвольного y ∈ Y обозначим ρ(y, V) = inf_{v∈V} ρ_{Y} (y, v).

О п р е д е л е н и е. Будем говорить, что отображение g : X → Y на множестве U ⊂ X α−накрывает множество V ⊂ Y, если

∀ u ∈ U ∃ x ∈ X : g(x) ∈ V и ρ_{X}(u, x) ⩽ \frac{1}{α} ρ(g(u), V).

Предположим, что G(ξ_{0}, σ_{0}, x_{0}) ∈ V. При каждом ξ ∈ Ξ, σ ∈ Σ обозначим

N(ξ) = \{x ∈ M(ξ, σ_{0}) | ρ_{X}(x, x_{0}) ⩽ \frac{1}{α}ρ(G(ξ, σ_{0}, x_{0}), V)\} ,

M̃(ξ, σ) = ⋃_{x′∈N(ξ)} \{x ∈ M(ξ, σ) | ρ_{X}(x, x′) ⩽ \frac{1}{α}ρ(G(ξ, σ, x′), V)\} .  (1)

Т е о р е м а. Пусть отображение G непрерывно, и при любом ξ ∈ Ξ, σ ∈ Σ отображение

G(ξ, σ, ·) на множестве B (x_{0}, \frac{1}{α}ρ(G(ξ, σ_{0}, x_{0}), V))) α−накрывает множество V (здесь B(x, r)

– замкнутый шар в метрическом пространстве X с центром в точке x, радиуса r). Тогда определенное равенством (1) многозначное отображение M̃: Ξ×Σ → 2^{X} удовлетворяет условиям (C1) – (C3).

ЛИТЕРАТУРА

1. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки. Докл. РАН, 2007. Т. 416, �2. С. 151–155.

Abstract: For a given function G and a set V the inclusion G(ξ, σ, x) ∈ V with parameters ξ, σ and an unknown variable x is considered. A compact, upper semi-continuous, continuous for any ξ with respect to σ at a given point σ_{0} dependence of a solutions set on parameters is constructed for the case when G is α−covering with respect to x function.

Keywords: α−covering; inclusion; control problem.

Жуковский Сергей Евгеньевич аспирант Российский университет дружбы народов Россия, Москва e-mail: zukovskys@mail.ru Sergey Zhukovskiy post-graduate student Russian University of Nations Friendship Russia, Moscow e-mail: zukovskys@mail.ru

УДК 517.977.1

УПРАВЛЕНИЕ СПЕКТРОМ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ БИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} В. А. Зайцев

Ключевые слова: управляемая система; согласованность; управление спектром; билинейная система. Аннотация: Получены новые необходимые и достаточные условия глобальной управляемости спектра

собственных значений стационарных билинейных управляемых систем, в частности, систем с неполной обратной связью.

Рассмотрим линейную систему управления

ẋ = A(t)x + B(t)u, y = C^{∗}(t)x, (t, x, u, y) ∈ ℝ^{1+n+m+k},  (1)

в которой управление строится в виде u = U(t)y. Замкнутая система принимает вид

ẋ = (A(t) + B(t)U(t)C^{∗}(t))x, x ∈ ℝ^{n}.  (2)

Наряду с системой с неполной обратной связью (2) рассмотрим билинейную систему

ẋ = (A(t) + u_{1}(t)A_{1}(t) + … + u_{r}(t)A_{r}(t))x, x ∈ ℝ^{n}.  (3)

Эта система имеет более общий вид по сравнению с системой (2). Все коэффициенты систем предполагаем ограниченными, кусочно непрерывными функциями. Рассмотрим задачу о стабилизации системы (3). В стационарном случае она заключается в построении (стационарного) управления, которое перемещает спектр собственных значений матрицы системы в левую полуплоскость. В нестационарном случае речь идет о задаче управления характеристическими показателями Ляпунова. В работе [1] было введено понятие согласованности для системы (1). Система (1) называется согласованной на [t_{0}, t_{0} + ϑ], если существует l > 0 такое, что для всякой G ∈ M_{n} найдется кусочно непрерывное управление U : [t_{0}, t_{0} + ϑ] → M_{m,k} такое, что решение матричной задачи Коши Ż = A(t)Z + B(t)U(t)C^{∗}(t)X(t, t_{0}), Z(t_{0}) = 0 удовлетворяет условию Z(t_{0} + ϑ) = G, при этом |U(t)| ⩽ l|G|, t ∈ [t_{0}, t_{0} + ϑ]; здесь X(t, s) — матрица Коши системы ẋ = A(t)x. Свойство согласованности системы (1) является обобщением понятия полной управляемости для системы с наблюдателем. Если C(t) ≡ I, то есть обратная связь полная: u = U(t)x, то согласованность системы (1) эквивалентна полной управляемости системы (1). На основе свойства согласованности в работах Е.Л. Тонкова, С.Н. Поповой, Е.К. Макарова был получен ряд результатов о локальной управляемости показателей Ляпунова системы (2), локальной достижимости и локальной ляпуновской приводимости системы (2) (см. обзор результатов в работе [2]). Далее, в работе [3] определение согласованности было обобщено для билинейной системы (3). Определение для системы (3) такое же, только вместо матрицы B(t)U(t)C^{∗}(t) и управления U(t) ∈ M_{m,k} записана матрица ∑_{i=1}^{r} u_{i}(t)A_{i}(t) и строится управление u(t) ∈ ℝ^{r} соответственно.

Предположим теперь, что системы (2) и (3) стационарны

ẋ = (A + BUC^{∗})x, x ∈ ℝ^{n},  (4)
ẋ = (A + u_{1}A_{1} + … + u_{r}A_{r})x, x ∈ ℝ^{n}.  (5)

Рассмотрим задачу об управлении спектром в системах (4) и (5). Будем говорить, что спектр собственных значений системы (4) (или (5)) глобально управляем, если для любого многочлена p(λ) = λ^{n} + γ_{1}λ^{n−1} + … + γ_{n}, где γ_{i} ∈ ℝ, существует вещественное постоянное управление Û ∈ M_{m,k} (соответственно û ∈ ℝ^{r}) такое, что характеристический многочлен χ(A + BÛC^{∗}; λ) (соответственно, χ(A+∑_{i=1}^{r} û_{i}A_{i}; λ)) совпадает с p(λ). Очевидно, если спектр глобально управляем, то система стабилизируема с помощью стационарного управления.

Для системы с полной обратной связью, то есть системы (4) с матрицей C = I, известен классический результат об управляемости спектра: спектр глобально управляем тогда и только тогда, когда пара (A, B) вполне управляема, что в свою очередь равносильно условию rank [B, AB, …, A^{n−1}B] = n. Отметим здесь также, что когда матрица A циклическая, то есть в ее жордановой нормальной форме различным клеткам Жордана соответствуют различные собственные значения (это имеет место, в частности, когда матрица A имеет форму Хессенберга, см. ниже), то тогда условие rank [B, AB, …, A^{n−1}B] = n равносильно тому, что матрицы B, AB, …, A^{n−1}B линейно независимы (ср. с теоремой 1).

Е.Л. Тонковым был поставлен вопрос о взаимосвязи свойства согласованности и управляемости спектра, а также вопрос о критериях управляемости спектра для системы с неполной обратной связью (4) и для билинейной системы (5). Здесь установлены новые необходимые и достаточные условия глобального управления спектром, в случае когда коэффициенты систем (4) и (5) имеют специальный вид. Эти условия равносильны условиям, указанным в работе [4], но имеют более простую формулировку. Также установлена взаимосвязь между свойством согласованности и глобальной управляемости спектра.

Предположим, что коэффициенты систем (4) и (5) имеют следующий вид: матрица A имеет форму Хессенберга, то есть элементы наддиагонали не равны нулю, а элементы, расположенные выше наддиагонали, равны нулю; первые p−1 строк матрицы B и последние n−p строк матрицы C равны нулю; первые p−1 строк и последние n−p столбцов матриц A_{l}, l = 1, …, r равны нулю; p ∈ {1, …, n}. В этих предположениях справедливы теоремы.

Т е о р е м а 1.

1. Система (4) согласованна.

2. Спектр системы (4) глобально управляем.

3. Матрицы C^{∗}B, C^{∗}AB, …, C^{∗}A^{n−1}B линейно независимы. Имеют место импликации 1 ⟹ 2 ⟺ 3.

Т е о р е м а 2.

1. Система (5) согласованна.

2. Спектр системы (5) глобально управляем.

3. Ранг (n × r)-матрицы {Sp (A_{j}A^{i−1})}_{i=1}^{n},_{j=1}^{r} равен n. Имеют место импликации 1 ⟹ 2 ⟺ 3.

Из этих теорем вытекают очевидные следствия о стабилизации систем (4) и (5).

ЛИТЕРАТУРА 1. Попова С.Н., Тонков Е.Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. I // Дифференциальные

уравнения. 1994. T. 30. � 10. С. 1687–1696.

2. Tonkov E.L. Uniform attainability and Lyapunov reducibility of bilinear control system // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl. 1. 2000. P. S228–S253.

3. Зайцев В.А., Тонков Е.Л. Достижимость, согласованность и метод поворотов В.М. Миллионщикова // Известия вузов. Математика. 1999. � 2. С. 35–44.

4. Зайцев В.А. Об управлении спектром и стабилизации билинейных систем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008. Вып. 2. С. 49–51.

Abstract: new necessary and sufficient conditions of global controllability of eigenvalue spectrum have been obtained for stationary bilinear control systems, in particular, for systems with an incomplete feedback.

Keywords: control system; consistency; control over spectrum; bilinear system.

Зайцев Василий Александрович к. ф.-м. н., доцент Удмуртский государственный университет Россия, Ижевск e-mail: verba@udm.ru Vasiliy Zaitsev candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Udmurtian Stste University Russia, Izhevsk e-mail: verba@udm.ru УДК 512

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НА ОДНОПОЛОСТНОМ ГИПЕРБОЛОИДЕ НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} М. С. Ильина

Ключевые слова: конечные поля; группы матриц; линейные пространства.

Аннотация: Дано разложение квазирегулярного представления группы SL(2,𝔽_{q}) на однополостном гиперболоиде в 𝔽_{q}^{3}.

Пусть 𝔽_{q} – конечное поле с q элементами, пусть G – группа SL(2, 𝔽_{q}). Реализуем пространство 𝔽_{q}^{3} в виде пространства матриц

x = ( \begin{matrix}−x_{3} & −x_{1} + x_{2} \\ x_{1} + x_{2} & x_{3} \end{matrix} ) .

Группа G действует линейно в этом пространстве: x ↦ g^{−1}xg.

Пусть X – гиперболоид −x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1, т.е. det x = −1. Этот гиперболоид состоит из q^{2} + q точек и является орбитой группы G. Пусть L(X) – пространство функций f на X со значениями в ℂ. Представление U группы G действует в L(X) сдвигами: (U(g)f)(x) = f(g^{−1}xg).

Мы разлагаем представление U на неприводимые (таблица характеров есть, например, в [1]). Мы рассматриваем преобразование Радона R, которое каждой функции f сопоставляет суммы ее значений на прямолинейных образующих, находим ядро и образ этого преобразования.

ЛИТЕРАТУРА

1. М. А. Наймарк Теория представлений групп. М.: Наука, 1976.

Abstract:The quasiregular representation of the group SL(2,𝔽_{q}) on the hyperboloid f one sheet in 𝔽_{q}^{3} is decomposed.

Keywords: finite fields; groups of matrices; linear spaces.

Ильина Марина Сергеевна студент Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: molchano@molchano.tstu.ru Marina Il’ina student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: molchano@molchano.tstu.ru УДК 517.98

1Работа поддержана грантами: научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.

О КОЛМОГОРОВСКИХ ПОПЕРЕЧНЫХ КРИВЫХ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Р. С. Исмагилов

Ключевые слова: гильбертовы пространства; метрические пространства; приближения; поперечники. Аннотация: Рассматривается асимптотика последовательности колмогоровских n-поперечников компакта

в комплексном гильбертовом пространстве, в частности, винеровой спирали.

Начнём с определения колмогоровского поперечника. Пусть H – гильбертово пространство (вещественное либо комплексное). Для любых множеств K ⊂ H и M ⊂ H введём величину d(K, M) = sup{d(x, M), x ∈ K}, где d(x, M) = inf d(x, y), y ∈ M. Эту величину называют отклонением множества K от M. Колмогоровский n-поперечник множества K определяется равенством d_{n}(K) = = inf d(K, L_{n}) где L_{n} пробегает совокупность всех n-мерных плоскостей (т.е. всех множеств вида x+L_{n}^{0}, где L_{n}^{0} есть n-мерное линейное подпространство). Это понятие введено А. Н. Колмогоровым в [1]. Наиболее интересен случай, когда K – компакт; в этом случае d_{n}(K) → 0, n → ∞, и асимптотика последовательности {d_{n}(K)} есть важная характеристика компакта K. Работа [1] положила начало обширной области исследований в теории приближений.

Рассмотрим следующий конкретный пример компакта. В вещественном гильбертовом пространстве L_{2}(0, 1) рассмотрим множество W = {f_{t}, 0 ⩽ t ⩽ 1}, где f_{t} есть индикатор отрезка [0, t]. Его называют винеровой спиралью. У. Рудин и С. Б. Стечкин доказали [2], что An^{−1/2} ⩽ d_{n}(W) ⩽ ⩽ Bn^{−1/2}, где 0 < A < B < ∞. В работе [3] автор получил асимптотическое соотношение d_{n}(W) ≃ π^{−1}n^{−1/2}.

Пусть K – метрическое пространство, допускающее изометрическое вложение f : K → S в евклидово (т.е. вещественное гильбертово) пространство S. Ясно, что величины d_{n}(f(K)) не зависят от вложения f. Расмотрим теперь изометрическое вложение f : K → H в комплексное гильбертово пространство H. Любопытный (хотя и простой) факт состоит в том, что величины d_{n}(f(K)) могут зависеть от f. В следующей теореме указан пример, показывающий, что эта зависимость может оказаться существенной. В этой теореме H – это комплексное гильбертово пространство, W – винерова спираль.

Т е о р е м а. Для любого числа c ∈ [\sqrt{1/2}, 1] существует такое изометрическое вложение f : W → H, что d_{n}(f(W)) ≃ cπ^{−1}n^{−1/2}.

Описанное явление заслуживает дальнейшего изучения (в частности, рассмотрения других компактов). Вот конкретная задача по этой теме. Для каких метрических компактов K, вложимых в евклидово пространство, величина d_{n}(f(K)) (здесь f : K → H есть изометрическое вложение в комплексное гильбертово пространство H) не зависит от вложения f?

ЛИТЕРАТУРА

1. Kolmogorov A.N. Über die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse // Ann. of Math., 1936. V. 37. P. 107–110.

2. Rudin W. L_{2}-approximation by partial sums of orthogonal developments // Duke Math. Journal, 1952. V. 19. �1. P. 1–4.

3. Исмагилов Р.С. Об n-мерных поперечниках компактов в гильбертовом пространстве // Функц. анализ и его прил., 1968. Т. 2. Вып. 4. С. 32–39.

Abstract: we consider asymtotic behaviour of Kolmogorov n-widths for a compact in a complex Hilbert space, in particular, for the Wiener spiral.

Keywords: hilbert spaces; metric spaces; approximations; widths.

Исмагилов Раис Сальманович д. ф.-м. н., профессор МГТУ им. Н. Э. Баумана Россия, Москва e-mail: molchano@molchano.tstu.ru Rais Ismagilov doctor of phys.-math. sciences, professor MSTU named after N. Bauman Russia, Moscow e-mail: molchano@molchano.tstu.ru

УДК 517.929.4, 519.21

УСТОЙЧИВОРСТЬ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Р. И. Кадиев

Ключевые слова: устойчивость решений; стохастические дифференциальные уравнения; метод вспомогательных уравнений.

Аннотация: Исследуются вопросы p-устойчивости тривиального решения нелинейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений; получены достаточные условия устойчивости с помощью метода вспомогательных уравнений.

Пусть (Ω, F, (F_{t})_{t⩾0}, P) — полное вероятностное пространство с фильтрацией; Z := col(z^{1}, ..., z^{m})

— m-мерный семимартингал на нем; 1 ⩽ p < ∞; E — символ математического ожидания; ||.|| — норма n × n–матрицы, согласованная с нормой |.| вектора в R^{n}.

В дальнейшем используются следующие линейные пространства случайных процессов:

— L^{n}(Z) состоит из n × m–матричных предсказуемых случайных процессов, заданных на [0, +∞), чьи строки являются локально интегрируемыми по семимартингалу Z;

— k^{n} состоит из n-мерных F_{0}–измеримых случайных величин;

— D^{n} состоит из n-мерных случайных процессов на [0, +∞), которые могут быть представлены

в виде: x(t) = x(0) + ∫_{0}^{t} H(s)dZ(s)(t ⩾ 0), где x(0) ∈ k^{n}, H ∈ L^{n}(Z).

Пусть γ : [0, +∞) → R^{1} — положительная функция. Введем следующие обозначения линейных нормированных пространств:

M_{p}^{γ} = {x : x ∈ D^{n}, ||x||_{k_{p}^{n}} =^{def} sup_{t⩾0}(E|x(t)|^{p})^{1/p} < ∞};

k_{p}^{n} = {α : α ∈ k^{n}, ||α||_{k^{n}} =^{def} E|α|^{p} < ∞}.

Главным объектом исследования является уравнение вида

dx(t) = (Nx)(t)dZ(t) (t ⩾ 0),  (1)

где N : D^{n} → L^{n}(Z) — нелинейный вольтерров (для любого момента остановки τ = τ(ω) ∈ [0, + +∞) почти наверно (п.н.) и любых x_{1}, x_{2} ∈ D^{n} из равенства x_{1}(t) = x_{2}(t), t ∈ [0, τ] п.н. следует, что (V x_{1})(t) = (V x_{2})(t), t ∈ [0, τ] п.н.) оператор.

Частным случаем уравнения (1) является функционально–дифференциальные уравнения Ито. В этом случае Z(t) = col(t, B^{1}(t), ..., B^{m−1}(t)), где B^{i}, i = 1, ..., m − 1 — независимые, стандартные винеровские процессы. В виде уравнения (1) может быть записана также система линейных �обыкновенных� стохастических дифференциальных уравнений по семимартингалу, система линейных стохастических дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием по семимартингалу, система линейных стохастических интегро–дифференциальных уравнений по семимартингалу, система линейных стохастических дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием по семимартингалу.

Для уравнения (1) рассмотрим задачу Коши

x(0) = α,  (2)

где α ∈ k^{n}. Обозначим через x(t, α) решение задачи (1), (2).

Пусть в дальнейшем для уравнения (1) имеет место (N0)(t) = 0.

О п р е д е л е н и е 1. Тривиальное решение (1) называют:

— p–устойчивым, если для любого ε > 0 существует такое δ(ε) > 0, что при E|α|^{p} < δ задача (1), (2) имеет единственное решение x(t, α) и E|x(t, α)|^{p} ⩽ ε для любого t ⩾ 0;

— асимптотически p–устойчивым, если оно p–устойчиво, и, кроме того, для любого ε > 0 найдется такое δ(ε) > 0, что при E|α|^{p} < δ задача (1), (2) имеет единственное решение x(t, α) и

будет lim_{t→+∞} E|x(t, α)|^{p} = +∞;

— экспоненциально p–устойчивым, если найдутся такие положительные числа δ, ĉ, β, что при E|α|^{p} < δ задача (1), (2) имеет единственное решение x(t, α) и выполнено неравенство E|x(t, α)|^{p} ⩽ ĉexp {−βt}.

О п р е д е л е н и е 2. Будем говорить, что тривиальное решение уравнения (1) локально M_{p}^{γ}–устойчиво, если для любого ε > 0 существует такое δ(ε) > 0, что задача (1), (2) имеет единственное решение x(., α) ∈ M_{p}^{γ} при ||α||_{k_{p}^{n}} < δ и ||x(., α)||_{M_{p}^{γ}} ⩽ ε.

Отметим, что если тривиальное решение уравнения (1) локально M_{p}^{γ}–устойчиво, то тривиальное решение уравнения этого же уравнения p–устойчиво при γ(t) = 1, асимптотически p–устойчиво при lim_{t→+∞} γ(t) = +∞ и экспоненциально p–устойчиво при γ(t) = exp{βt}, β > 0.

Пусть B — линейное нормированное подпространство L^{n}(Z), Nx = V x + F x, где V : D^{n} → L^{n}(Z) — линейный вольтерров оператор, а нелинейный вольтерров оператор F : D^{n} → L^{n}(Z) обладает свойством: (F 0)(t) = 0. Рассмотрим следующее линейное уравнение

dx(t) = [(V x)(t) + f(t)]dZ(t)(t ⩾ 0),  (3)

где f ∈ L^{n}(Z). Уравнение (3) рассматривается в предположении, что задача (3), (2) имеет единственное решение (с точностью до P –эквивалентности). Обозначим это решение через x_{f}(t, α). Тогда для этого решения имеет место представление

x_{f}(t) = X(t)α + (Kf)(t)(t ⩾ 0),

где X(t) — фундаментальная матрица, а K — оператор Коши для уравнения (3).

О п р е д е л е н и е 3. Будем говорить, что для уравнения (3) допустима пара (M_{p}^{γ}, B), если существует такое c̄ ∈ R_{+}^{1}, при котором для любых α ∈ k_{p}^{n}, f ∈ B имеем x_{f}(., α) ∈ M_{p}^{γ}, причем выполнено неравенство

||x_{f}(., α)||_{M_{p}^{γ}} ⩽ c̄(||α||_{k_{p}^{n}} + ||f||_{B}).

Пусть для уравнения (1) нелинейный оператор F дуйствует из пространства M̂_{p}^{γ} в пространство B, где M̂_{p}^{γ} пополнение пространства M_{p}^{γ}. Тогда имеет место следующая теорема.

Т е о р е м а. Пусть для уравнения (3) допустима пара (M_{p}^{γ}, B) и для любого l > 0 найдется такое δ > 0, что

||F x||_{B} ⩽ l||x||_{M_{p}^{γ}}

при всех x ∈ M_{p}^{γ}, ||x||_{M_{p}^{γ}} ⩽ δ. Тогда уравнение (1) M_{p}^{γ}-устойчиво.

На основе предыдущей теоремы исследуются вопросы p-устойчивости тривиального решения для различных классов уравнений вида (1).

Abstract: the quastions of p-stability of nonlinear stochastic functional-differential equations trivial solution; sufficient conditions of stability are obtained by the method of auxiliary equations.

Keywords: stability of solutions; stochastic differential equations; method of auxiliary equations.

Кадиев Рамазан Исмаилович д. ф.-м. н., профессор Дагестанский государственный университет Россия, Махачкала e-mail: kadiev r@mail.ru Ramazan Kadiev doctor of phys.-math. sciences, professor Dagestan State University Russia, Mahachkala e-mail: kadiev r@mail.ru

УДК 517.977.8

ПОСТРОЕНИЕ НЭШЕВСКИХ РЕШЕНИЙ В НЕАНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ ПОЗИЦИОННОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЕ ДВУХ ЛИЦ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} А. Ф. Клейменов

Ключевые слова: неантагонистическая позиционная дифференциальная игра двух лиц; решение по Нэшу; алгоритм построения.

Аннотация: В работе предлагается модификация предложенного ранее автором подхода к задаче численного построения нэшевских решений в неантагонистической позиционной дифференциальной игре двух лиц; модификация позволяет приближенно найти не только некоторые нэшевские решения, но и все нэшевские решения, оптимальные по Парето.

В работе [1] представлен один подход к построению решений нэшевского типа (N– решений) в неантагонистической позиционной дифференциальной игре двух лиц. Этот подход основан на использовании принципа неухудшения гарантированных выигрышей игроков вдоль траектории, порождаемой решением, и на использовании правила максимального сдвига в направлениях, определяемых решениями некоторых вспомогательных биматричных игр. На основе этого подхода был разработан и программно реализован алгоритм численного построения соответствующих Nрешений. В то же время построенные таким образом N-решения, вообще говоря, не являются неулучшаемыми по Парето на множестве всех N-решений.

1Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект � 09-01-00313) и Федеральной программы Президиума РАН �29 �Математическая теория управления�.

В данной работе предлагается модификация упомянутого подхода, предполагающая введение семейства вспомогательных биматричных игр, каждая из которых ориентирована на построение приближенного N-решения, являющегося неулучшаемым по Парето.

Пусть динамика игры описывается уравнением

ẋ = A(t)x + B(t)u + C(t)v, t ∈ [t_{0}, ϑ], x(t_{0}) = x_{0},  (1)

где фазовый вектор x ∈ R^{2}, управления u ∈ P ∈ comp R^{k} и v ∈ Q ∈ comp R^{l} подчинены игроку 1 и игроку 2 соответственно, а ϑ – фиксированный момент окончания игры. Игрок i стремится максимизировать терминальный показатель качества

I_{i} = σ_{i}(x(ϑ), i = 1, 2,  (2)

где функции σ_{i}(x) непрерывны и вогнуты.

Формализация чистых позиционных стратегий игроков и движений системы (1), ими порождаемых, производится как в [2, 3], за исключением технических деталей [4]. Далее, для каждого i ∈ ∈ 1, 2 вводится вспомогательная антагонистическая дифференциальная игра Γ_{i} с динамикой (1), в которой игрок i максимизирует показатель I_{i} (2), а игрок 3 − i ему противодействует. В обеих играх Γ_{1} и Γ_{2} существуют универсальные седловые точки и непрерывные функции цены γ_{1}(t, x) и γ_{2}(t, x) [2,3].

Опишем процедуру численного построения N–решений. Пусть фиксирована позиция (t_{∗}, x_{∗}) игры. На отрезке [t_{∗}, t^{∗}], t^{∗} = t_{∗}+h, h – шаг дискретной схемы, определим постоянные управления u(t) ≡ u^{∗} и v(t) ≡ v^{∗} следующим образом. Обозначим через G(t^{∗}; t_{∗}, x_{∗}) множество достижимости системы (1) в момент t^{∗} для позиции (t_{∗}, x_{∗}), взятой в качестве начальной. Введем множества W_{1}^{m_{1}}(t^{∗}; t_{∗}, x_{∗}) и W_{2}^{m_{2}}(t^{∗}; t_{∗}, x_{∗}):

W_{i}^{m_{i}}(t^{∗}; t_{∗}, x_{∗}) = {x ∈ R^{2} : γ_{i}(t_{∗}, x_{∗}) ⩽ γ_{i}(t^{∗}, x) ⩽ γ_{i}(t_{∗}, x_{∗}) + m_{i}δ_{i},
γ_{3−i}(t_{∗}, x_{∗}) ⩽ γ_{3−i}(t_{∗}, x)}, i = 1, 2

.

Здесь δ_{1} и δ_{2} – заданные положительные числа; m_{1}, m_{2} ∈ N ⋃{0}, причем

m_{i} ⩽ \frac{1}{δ_{i}} max_{x∈G(ϑ;t_{0},x_{0})}(γ_{i}(ϑ, x) − γ_{i}(t_{0}, x_{0})) = M_{i},

γ_{1}(·) и γ_{2}(·) – функции цены игр Γ_{1} и Γ_{2}.

Пусть индекс i ∈ {1, 2} и число m_{i} ∈ {0, 1, ...M_{i}} фиксированы. Введем множество H(t^{∗}; t_{∗}, x_{k}|i, m_{i}) = G(t^{∗}; t_{∗}, x_{∗}) ⋂ W_{i}^{m_{i}}(t^{∗}, t_{∗}, x_{∗}). Заметим, что множества W_{i}^{m_{i}} могут быть найдены приближенно с использованием алгоритмов

построения максимальных стабильных мостов в специальных играх сближения – уклонения. Обозначим через w^{k}(t^{∗}; t_{∗}, x_{∗}|i, m_{i}) точку максимума функции γ_{k}(t^{∗}, x) на множестве H(t^{∗}; t_{∗}, x_{k}|i, m_{i}), k = 1, 2. Рассмотрим векторы s^{k}(t^{∗}; t_{∗}, x_{∗}|i, m_{i})= = w^{k}(t^{∗}; t_{∗}, x_{∗}|i, m_{i}) − x_{∗}, k=1,2. Найдем управления u_{10}, u_{20}, v_{10}, v_{10} из условий

max_{u∈P,v∈Q} s^{kT} [B(t^{∗})u + C(t^{∗})v] = s^{kT} [B(t^{∗})u_{i0} + C(t^{∗})v_{i0}] , k = 1, 2.

Вводится вспомогательная биматричная 2 × 2 игра (A, B) [5]. В этой игре первый игрок имеет две стратегии: �выбрать u_{10}� и �выбрать u_{20}�. Аналогично, второй игрок имеет две стратегии: �выбрать v_{10}� и �выбрать v_{20}� . Элементы матриц A и B определяются так:

a_{ij} = γ_{1}(t^{∗}, x[t^{∗}; t_{∗}, x_{∗}, u_{i0}, v_{j0}]), b_{ij} = γ_{2}(t^{∗}, x[t^{∗}; t_{∗}, x_{∗}, u_{i0}, v_{j0}]), i, j = 1, 2.

Биматричная игра (A, B) имеет по крайней мере одно нэшевское равновесие в чистых стратегиях. Выбрав нэшевское равновесие, получаем вектор, в направлении которого игроки осуществляют максимальный сдвиг. Таким образом, получаем постоянные управления u(t) ≡ u^{∗} и v(t) ≡ v^{∗} на отрезке [t_{∗}, t^{∗}]. Описанная процедура позволяет целиком найти аппроксимацию движения, порожденного N-решением.

Перебирая различные i ∈ {1, 2}, m_{i} ∈ {0, 1, ...M_{i}}, получаем множество приближенных траекторий, порожденных N-решениями, причем эти решения будут неулучшаемыми по Парето.

ЛИТЕРАТУРА

1. Клейменов А.Ф. Различные типы решений в позиционной неантагонистической дифференциальной игре. // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естественные и технические науки. Тамбов, 2007. Вып.4. С. 464-466.

2. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

3. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

4. Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург: Наука, 1993.

5. Клейменов А.Ф. О решениях в неантагонистической позиционной игре //ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 5. С. 717-723.

Abstract: in this paper modification of early offered approach to the problem of numerical construction of Nash solutions in two-person nonantagonistic positional differential game is offered; the modification permits us to find approximately not only some Nash solutions, but all optimal on Paretto Nash solutions.

Keywords: two-person nonantagonistic positional differential game; Nash solution; constructing algorithm.

Клейменов Анатолий Федорович д. ф.-м. н., профессор Институт математики и механики УрО РАН Россия, Екатеринбург e-mail: kleimenov@imm.uran.ru Anatoliy Kleymenov doctor of phys.-math. sciences, professor Institute of Mathematics and Mechanics of UrD RAS Russia, Ekaterinburg e-mail: kleimenov@imm.uran.ru УДК 519.1

КОНЕЧНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} С. В. Кольцова

Ключевые слова: конечные множества; булеан; преобразование Радона; графы. Аннотация: Изучается преобразование Радона на булеане и конечных графах.

Для конечного множества X обозначим через L(X) линейное пространство функций на X со значениями в ℂ. Размерность его равна количеству элементов в X.

Пусть X и Y –два конечных множества, пусть Ω – отношение, т. е. Ω ⊂ X × Y. На Ω накладываются некоторые условия, например, оно имеет полные проекции на X и Y. Вместо (x, y) ∈ Ω мы будем писать x ⩽ y. Преобразование R есть линейный оператор L(X) → L(Y), определяемый следующим образом:

(Rf)(y) = ∑_{x⩽y}f(x).

Основные задачи: найти ядро (нулевое пространство) и образ оператора R, а если он инъективен (ядро состоит только из нуля), то найти формулу обращения.

Нам удалось решить эти задачи для следующих случаев.

(1) Пусть M – конечное множество с n элементами, пусть B – множество его подмножеств (булеан), оно распадается на множества B_{0}, B_{1}, …, B_{n}, множество B_{k} состоит из k-элементных подмножеств множества M. Отношение x ⩽ y означает x ⊂ y. Мы берем X = B_{k} и Y = B_{l}, где k ⩽ n/2, k + l = n.

(2) При тех же условиях, что и в (1), мы берем X = B_{k} и Y = ∪B_{l}, где суммирование берется по l = k + 1, …, n.

(3) Пусть Γ – граф с множеством вершин V и множеством ребер E. Мы берем X = V и Y = E. Отношение x ⩽ y означает, что вершина x принадлежит ребру y.

Abstract: The Radon transform on the Boolean and on finite graphs is studied.

Keywords: finite sets; Boolean; Radon transform; graphs.

Кольцова Светлана Васильевна к. ф.-м. н., доцент Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: molchano@molchano.tstu.ru Svetlana Koltsova candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: molchano@molchano.tstu.ru УДК 519.17

1Работа поддержана грантами: научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ НА ФАКТОР–МАТРОИДЕ ПРОСТОГО ГРАФА ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} С. В. Кольцова

Ключевые слова: матроид; фактор-матроид; база фактор-матроид.

Аннотация: В работе приводится описание баз минимального веса фактор-матроида простых графов. Дан эффективный алгоритм нахождения таких баз.

Матроид [1] M – это пара (E, I), где E – конечное множество, I – семейство его подмножеств, удовлетворяющее следующим условиям:

1) пустое множество входит в I;

2) если A ⊂ B и B входит в I, то A входит в I;

3) если A и B содержатся в I и количество элементов в A на единицу больше количества элементов в B, то существует элемент a ∈ A\B такой, что B ∪ {a} содержится в I.

Подмножества из I называются независимыми. Максимальные (по включению) независимые подмножества называются базами матроида, а минимальные зависимые (не являющиеся независимыми) подмножества называются циклами. Все базы имеют одно и то же количество элементов. Это число называется рангом матроида.

Пример 1: матричный матроид. Пусть A – матрица размеров n × m над полем F. Определим матроид M_{F} (A) следующим образом. Множество E состоит из строк матрицы A. Это – совокупность n векторов в F^{m}. Множество I состоит из линейно независимых совокупностей строк. Ранг матроида совпадает с рангом матрицы.

Пример 2: циклический матроид графа. Элементами матроида являются рёбра графа. Независимыми подмножествами – наборы рёбер лесов (подграфов, не содержащих циклов), базами – рёбра остовных лесов, циклами – рёбра простых циклов графа. Ранг матроида равен n − k, где k – число компонент связности графа.

Рассматриваемые далее графы считаем конечными, неориентированными, без петель, кратных рёбер и изолированных вершин. Пусть граф G имеет n вершин.

Пусть A – матрица инцидентности графа G. Рассмотрим матричный матроид M_{F} (A).

Если F – поле из двух элементов, то матроид M_{F} (A) изоморфен циклическому матроиду графа G.

Если F = ℝ, то M_{F} (A) называется фактор-матроидом графа G. Заметим, что для двудольного графа оба матроида совпадают.

В [2] мы дали описание баз фактор-матроидов. Напомним основной результат.

Разобьём графы на 3 класса: (1) не имеющие двудольных компонент связности; (2) имеющие только двудольные компоненты, т. е. двудольные графы; (3) имеющие двудольные и не двудольные компоненты.

Графы класса (3) можно представить как дизъюнктные объединения графов классов (1) и (2).

Т е о р е м а 1. Базы фактор-матроидов графов класса (1) представляют собой набор рёбер остовных подграфов, являющихся дизъюнктными объединениями унициклических графов с нечётными циклами. Ранг таких фактор-матроидов равен n. Базы фактор-матроидов графов класса (2) совпадают с базами циклических матроидов графов, т. е. являются остовными лесами. Ранг таких фактор-матроидов равен n − k, где k– число компонент. Базы факторматроидов графов класса (3) представляют собой объединения баз компонент связности графа, указанных выше. Ранг таких фактор-матроидов равен n−m, где m – число двудольных компонент связности.

1Работа поддержана грантами: научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.

На базе этой теоремы легко дать описание циклов фактор-матроидов.

Для этого введём понятие бицикла графа. Бицикл – это подграф, являющийся подразбиением одного их графов.

Рис. 1.

Бицикл называется нечетным, если оба его цикла нечетные.

С л е д с т в и е. Циклами фактор-матроида являются простые четные циклы и нечетные бициклы.

Пусть w – вещественная функция на E. Для любого подмножества X ⊂ E определим его вес формулой:

w(X) = ∑_{x∈X} w(x)

З а д а ч а. Найти базу наименьшего веса фактор-матроида.

Эту задачу решает следующий алгоритм. На каждом шаге алгоритм выбирает одно ребро e, чтобы выполнялись следующие три условия:

1) Вес ребра e – один из наименьших;

2) Ребро e не совпадает ни с одним из предварительно выбранных ребер;

3) Выбор e не приводит к формированию чётного цикла или нечётного бицикла ни с каким набором предварительно выбранных ребер;

4) Процесс останавливается, если в дальнейшем ребра не могут быть выбраны так, чтобы удовлетворялись ограничения 1), 2) и 3).

Тогда множество выбранных рёбер является множеством рёбер некоторой базы минимального веса.

Обоснование приведённого алгоритма опирается на следующую известную теорему.

Т е о р е м а 2. Пусть ℐ – некоторый набор подмножеств конечного множества E. Тогда (E, ℐ) является матроидом тогда и только тогда, когда ℐ удовлетворяет следующим условиям:

1) ∅ ∈ ℐ,

2) Если I ∈ ℐ, I′ ⊂ I, то I′ ∈ ℐ,

3) Для произвольной весовой функции w : E → ℝ, жадный алгоритм строит максимальный элемент из ℐ максимального веса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Oxley J.G. Matroid Theory. Oxford University Press, 1992. P. 532.

2. Koltsova S.V.,Molchanov V.F. Radon transform of graphs and admissible complexes. // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2006. Т. 11. Вып. 1. С. 41–48.

Abstract: The article deals with description of minimal weight bases of the factor-matroid for simple graphs. An effective algorithm for finding such bases is derived.

Keywords: matroid; factor-matroid; base of factor-matroid.

Кольцова Светлана Васильевна к. ф.-м. н., доцент Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: molchano@molchano.tstu.ru Svetlana Koltsova candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: molchano@molchano.tstu.ru

УДК 517.68

COMPUTER ALGEBRA STUDY OF SYMMETRIES IN DISCRETE DYNAMICAL SYSTEMS

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} V. V. Kornyak

Keywords: discrete dynamical system; symmetry group; quantization.

Abstract: Symmetries in discrete dynamical systems are investigated due to a computer algebra.

Discrete dynamical systems — deterministic systems, mesoscopic models in statistical mechanics and local quantum models — on lattices are studied by computer algebra and computational group theory methods. Non-trivial connections between symmetries and the system dynamics have been revealed. In particular, we show that formation of moving soliton-like structures — analogs of “spaceships” in cellular automata and “generalized coherent states” in quantum physics — is typical for deterministic dynamical systems with non-trivial symmetry group. We study also gauge invariance in discrete systems and its connection with quantization.

Аннотация: Исследуются симметрии в дискретных динамических системах с помощью средств компьютерной алгебры.

Ключевые слова: дискретные динамические системы; группа симметрий; квантование; компьютерная алгебра.

Корняк Владимир Васильевич д. ф.-м. н., профессор Объединенный институт ядерных исследований Россия, Дубна e-mail: kornyak@jinr.ru Vladimir Kornyak doctor of phys.-math. sciences, professor Joint Institute for Nuclear Research Russia, Dubna e-mail: kornyak@jinr.ru

УДК 517.911, 517.968

О ПРОДОЛЖАЕМОСТИ РЕШЕНИЙ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С МНОГОЗНАЧНЫМИ ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Е. В. Корчагина

Ключевые слова: функционально-диффенциальное включение; многозначные импульсные воздействия; продолжаемое решение.

Аннотация: Рассмотрен вопрос о продолжаемости решений функционально-дифференциального включения с полунепрерывным снизу вольтерровым по А.Н. Тихонову оператором.

Пусть U ∈ [a, b] – измеримое по Лебегу множество. Обозначим L_{1}^{n}(U) пространство суммируемых по Лебегу функций x : U → ℝ^{n} с нормой ∥x∥_{L^{n}(U)} = ∫_{U} |x(s)|ds, comp [ℝ^{n}]– множество непустых

компактов пространства ℝ^{n}; S(L_{1}^{n}[a, b]) – множество всех ограниченных замкнутых выпуклых по переключению (разложимых) [1] подмножеств пространства L_{1}^{n}[a, b].

Пусть t_{k} ∈ [a, b] (a < t_{1} < … < t_{m} < b) – конечный набор точек. Обозначим через C̃^{n}[a, b] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [a, t_{1}], (t_{1}, t_{2}], …, (t_{m}, b] ограниченных функций x : [a, b] → ℝ^{n}, имеющих пределы справа в точках t_{k}, k = 1, 2, …, m, с нормой ∥x∥_{C̃^{n}[a,b]} = sup{|x(t)| : t ∈ [a, b]}. Если τ ∈ (a, b], то C̃^{n}[a, τ] – это пространство функций

x : [a, τ] → ℝ^{n}, являющихся сужениями на отрезок [a, τ] элементов из C̃^{n}[a, b] с нормой∥x∥_{C̃^{n}[a,τ]} = = sup{|x(t)| : t ∈ [a, τ]}.

Рассмотрим задачу

ẋ ∈ Φ(x),  (1)
Δ(x(t_{k})) ∈ I_{k}(x(t_{k})), k = 1, …, m,  (2)
x(a) = x_{0},  (3)

где отображение Φ : C̃^{n}[a, b] → S(L_{1}^{n}[a, b]) полунепрерывно снизу и удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества U ⊂ C̃^{n}[a, b] образ Φ(U) ограничен суммируемой функцией.

1Работа поддержана грантами РФФИ (� 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы"(РНП � 2.1.1/1131) и включена в Темплан � 1.6.07.

Отображения I_{k} : ℝ^{n} → comp [ℝ^{n}], k = 1, 2, ...m непрерывны по Хаусдорфу, Δ(x(t_{k})) = x(t_{k} + + 0) − x(t_{k}), k = 1, 2, ...m.

О п р е д е л е н и е 1. Под решением задачи (1)-(3) будем понимать функцию x ∈ C̃^{n}[a, b], для которой существует такое q ∈ Φ(x), что при всех t ∈ [a, b] имеет место представление

x(t) = x_{0} + ∫_{a}^{t} q(s)ds + ∑_{k=1}^{m} χ_{(t_{k},b]}(t)Δ(x(t_{k})),  (4)

где Δ(x(t_{k})) ∈ I_{k}(x(t_{k})), k = 1, …, m.

Предположим, что оператор Φ : C̃^{n}[a, b] → S(L_{1}^{n}[a, b]) вольтерров по А.Н. Тихонову [2].

Пусть τ ∈ (a, b]. Определим непрерывное отображение V_{τ} : C̃^{n}[a, τ] → C̃^{n}[a, b] равенством

(V_{τ} (x))(t) = \{ \begin{matrix}x(t), & если & t ∈ [a, τ]; \\ x(τ), & если & t ∈ (τ, b]. \end{matrix}  (5)

О п р е д е л е н и е 2. Будем говорить, что функция x ∈ C̃^{n}[a, τ] является решением задачи (1)- (3) на отрезке [a, τ], τ ∈ (a, b], если существует такое q ∈ (Φ(V_{τ} (x)))|_{τ} , что функция x : [a, τ] → ℝ^{n} представима в виде

x(t) = x_{0} + ∫_{a}^{t} q(s)ds + ∑_{k:t_{k}∈[a,τ]} χ_{(t_{k},b]}(t)Δ(x(t_{k})),  (6)

где отображение V_{τ} : C̃^{n}[a, τ] → C̃^{n}[a, b] определено равенством (5), (Φ(V_{τ} (x)))|_{τ} - множество сужений функций из множества Φ(V_{τ} (x)) на отрезок [a, τ] и Δ(x(t_{k})) ∈ I_{k}(x(t_{k})), k = 1, …, m.

О п р е д е л е н и е 3. Решение x : [a, c) → ℝ^{n} задачи (1)-(3) называется непродолжаемым, если не существует такого решения y задачи (1)-(3) на [a, τ], (τ ∈ (c, b], если c < b и τ = b, если c = b), что для любого t ∈ [a, c) выполнено равенство x(t) = y(t).

Решение задачи (1)-(3) считается непродолжаемым.

Т е о р е м а 1. Найдется такое τ ∈ (a, b], что решение задачи (1)-(3) существует на отрезке [a, τ].

Пусть τ ∈ (a, b]. Обозначим через H(x_{0}, τ) множество решений задачи (1)-(3) на отрезке [a, τ]. Определим оператор Λ : L_{1}^{n}[a, b] → C^{n}[a, b], который имеет вид

(Λz)(t) = x_{0} + ∫_{a}^{t} z(s)ds, t ∈ [a, b].  (7)

Рассмотрим оператор 𝔄 : C̃^{n}[a, b] → 2^{C̃^{n}[a,b]}, определенный равенством

(𝔄x)(t) = ΛΦ(x) + ∑_{k=1}^{m} χ_{(t_{k},b]}(t)Δx(t_{k}),  (8)

где 2^{C̃^{n}[a,b]} - множество непустых ограниченных подмножеств C̃^{n}[a, b], Δ(x(t_{k})) ∈ I_{k}(x(t_{k})), k = 1, …, m.

Т е о р е м а 2. Если множество всех локальных решений задачи (1)-(3) априорно ограничено, то существует такой выпуклый компакт K ⊂ C̃^{n}[a, b], что H(x_{0}, b) ⊂ K, для любого τ ∈ (a, b) выполняется равенство H(x_{0}, τ) = H(x_{0}, b)|_{τ} , и 𝔄(K) ⊂ K, где отображение 𝔄 : C̃^{n}[a, b] → 2^{C̃^{n}[a,b]} определено равенством (8), H(x_{0}, b)|_{τ} - множество сужений функций из множества H(x_{0}, b) на отрезок [a, τ].

Т е о р е м а 3. Для того, чтобы решение x : [a, c) → ℝ^{n} задачи (1) − (3) было продолжаемым на [a, τ], (τ ∈ [c, b]), необходимо и достаточно, чтобы \overline{lim}_{t→c−0} |x(t)| < ∞.

Т е о р е м а 4. Если y – решение задачи (1) − (3) на [a, τ], τ ∈ (a, b], то существует непродолжаемое решение x задачи (1) − (3), определенное либо на [a, c) (c ∈ (τ, b]), либо на [a, b] такое, что при всех t ∈ [a, τ] выполнено равенство x(t) = y(t).

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Известия ВУЗов. 1999. � 3. С. 3–16.

2. Тихонов А.Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюллетень московского университета. Секция А, 1938. Т. 68. � 4. С. 1-25.

Abstract: The problem of extendability of solutions for a functional-differential inclusion with lower semicontinuous Volterra operator (in the sense of Tikhonov) is considered.

Keywords: functional-differential inclusion; multivalued impulses, extendable solution.

Корчагина Елена Валерьевна аспирант Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: aib@tsu.tmb.ru Elena Korchagina post-graduate student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: aib@tsu.tmb.ru

УДК 519.688

О ВЫЧИСЛЕНИИ МНОГОМЕРНОГО ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В ПРОСТОМ ПОЛЕ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} А. О. Лапаев

Ключевые слова: компьютерная алгебра; дискрентное преобразование Фурье; быстрое преобразование Фурье; теория алгоритмов.

Аннотация: Рассматривается способ вычисления дискрентного преобразования Фурье для полиномов многих переменных в кольце Z_{p}[x_{1}, x_{2}, …, x_{n}]. Получены теоретические оценки сложности изложенного подхода.

Пусть f ∈ ℤ_{p}[x_{1}, x_{2}, …, x_{d}], p – простое число. Пусть наибольшая степень переменной x_{i} в полиноме f равна n_{i} − 1, n_{i} = 2^{N_{i}}. Обозначим n = n_{1}n_{2} … n_{d}. Тогда полином f можно записать в виде:

f = ∑_{i_{1}=0}^{n_{1}−1} ∑_{i_{2}=0}^{n_{2}−1} … ∑_{i_{d}=0}^{n_{d}−1} f_{i_{1}i_{2}...i_{n}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}} … x_{d}^{i_{d}}

1Работа выполнена при поддержке программы "Развитие потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/1853).

Пусть простое число p такое, что каждое из чисел n_{i} делит p−1. Тогда в ℤ_{p} существует корень из 1 степени n_{i}, который будем обозначать ω_{i}. Введем определение дискретного преобразования Фурье полинома f.

О п р е д е л е н и е: Дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) для полинома f называется d-мерная таблица чисел F(f) = (f̂_{j_{1}...j_{d}}), где 1 ⩽ j_{1} ⩽ n_{1}, 1 ⩽ j_{2} ⩽ n_{2}, … 1 ⩽ j_{d} ⩽ n_{d}, где

f̂_{j_{1}j_{2}...j_{d}} = ∑_{i_{1}=0}^{n_{1}−1} ∑_{i_{2}=0}^{n_{2}−1} … ∑_{i_{d}=0}^{n_{d}−1} f_{i_{1}i_{2}...i_{n}}ω_{1}^{j_{1}i_{1}}ω_{2}^{j_{2}i_{2}} … ω_{d}^{j_{d}i_{d}}.  (1)

Правая часть (1) содержит n слагаемых. В левой части находится элемент d-мерной таблицы, всего таких элементов n. Следовательно, общее число операций для вычисления ДПФ полинома f будет O(n^{2}). Рассмотрим способ быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье.

Запишем формулу (1) в виде:

f̂_{j_{1}j_{2}...j_{d}} = ∑_{i_{d}=0}^{n_{d}−1} ω_{d}^{j_{d}i_{d}} ∑_{i_{d−1}=0}^{n_{d−1}−1} ω_{d−1}^{j_{d−1}i_{d−1}} … ∑_{i_{k}=0}^{n_{k}−1} ω_{k}^{j_{k}i_{k}} … ∑_{i_{1}=0}^{n_{1}−1} f_{i_{1}i_{2}...i_{d}}ω_{1}^{j_{1}i_{1}}.

При фиксированных параметрах i_{2}, …, i_{d} выражение

F_{j_{1},i_{2},i_{3},...,i_{d}}^{1} = ∑_{i_{1}=0}^{n_{1}−1} f_{i_{1}i_{2}...i_{d}}ω_{d}^{j_{1}i_{1}}

– j_{1}-й элемент одномерного дискретного преобразования Фурье на n_{1} точках, которое может быть посчитано по алгоритму Cooley-Tukey [1] за O(n_{1} log_{2} n_{1}) операций.

Обозначим

F_{j_{1},...,j_{k+1},i_{k+2},...,i_{d}}^{k+1} = ∑_{i_{k+1}=0}^{n_{k+1}−1} F_{j_{1},...,j_{k},i_{k+1}...i_{d}}^{k}ω_{d}^{j_{k+1}i_{k+1}}.

При последовательном вычислении F_{1}, F_{2}, …, F_{d} элемент F_{d} будет содержать ДПФ полинома f.

Оценим сложность такого способа вычислений.

На шаге k+1 для каждого набора j_{1}, … j_{k+1}, i_{k+2}, … i_{d} вычисляется одномерное преобразование Фурье на n_{k+1} точках, используя в качестве входных данных результат вычислений на шаге k. На шаге k + 1 будет вычислено n/n_{k+1} одномерных преобразований Фурье.

Сложность такого способа вычислений будет выражаться

∑_{k=1}^{d} O(\frac{n}{n_{k}} n_{k} log_{2} n_{k}) = O(n log_{2} n).

Аспекты программной реализации многомерного ДПФ и его применение для операций с полиномами будут представлены в докладе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика (с упражнениями и решениями). М.: Мир, 1999.

2. Кнут Д.Э. Исскуство программирования.Получисленные алгоритмы. М.: Издательский дом �Вильямс�,2001. Т. 2.

3. Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Алгоритмы: построение и анализ. М.: Издательский дом �Вильямс�, 2005. 1296 с.

Abstract: The method of computation of descrete Fourier transform for polynomials of many variables over the ring Z_{p}[x_{1}, x_{2}, …, x_{n}] is considered. Theoretical complexity of the stated approach is provided.

Keywords: computer algebra; descrete Fourier transform; fast Fourier transform; theory of algorithms.

Лапаев Алексей Олегович аспирант Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: alapaev@gmail.com Alexei Lapaev post-graduate student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: alapaev@gmail.com

УДК 517.929, 519.71

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} А. С. Ларионов, В. В. Лузгин, В. В. Панасов

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение; функция Коши; система автоматического регулирования; устойчивость.

Аннотация: Предлагаются достаточные условия положительности функции Коши и фундаментального решения дифференциального уравнения первого порядка с запаздывающим аргументом; эти условия используются для получения признаков устойчивости решений уравнения, описывающего динамику системы автоматического регулирования.

Многие процессы, протекающие в реальных системах, не могут быть адекватно описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями. Все более актуальными в последнее время становятся такие прикладные задачи, в которых требуется учитывать одно из фундаментальных свойств любых реальных систем и объектов – запаздывание. Запаздывание обусловлено как необходимостью передачи сигнала, энергии или вещества во времени, так и тем обстоятельством, что на сбор и обработку информации, а также на принятие решений, например в системах автоматического регулирования, требуется определенное время [1, 2]. Для математического описания такого рода систем и объектов все большее применение находят дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, являющиеся актуальными представителями класса функциональнодифференциальных уравнений (ФДУ), которые в линейном случае можно записать в виде

(Lx)(t) = f(t), t ∈ [a, ∞),  (1)

где L : AC^{n} → L^{n}— линейный ограниченный оператор (здесь AC^{n}— банахово пространство абсолютно непрерывных функций x : [a, ∞) → ℝ^{n}, L^{n}— банахово пространство суммируемых на каждом конечном отрезке [a, b] ⊂ [a, ∞) функций z : [a, ∞) → ℝ^{n}).

Теория ФДУ в настоящее время интенсивно развивается, основные результаты этой теории приведены в монографиях [3, 4] (см. также обзоры [1, 5]). При естественных предположениях относительно уравнения (1) его общее решение задается формулой Коши [3, 4]

x(t) = X(t)x(a) + ∫_{a}^{t} C(t, s)f(s) ds,  (2)

где C(t, s) – матрица Коши, X(t) – фундаментальная матрица уравнения (1). Из формулы (2) следует, что асимптотические свойства уравнения (1) полностью определяются асимптотическим поведением матриц C(t, s) и X(t).

В докладе рассматривается скалярное дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом

(Lx)(t) ≡ ẋ(t) + ∑_{k=1}^{m} H_{k}(t)x[τ_{k}(t)] = f(t), t ∈ [a, ∞),  (3)

x(ξ) = 0, если ξ < a,

где H_{k}, f ∈ L; функции τ_{k} : [a, ∞) → ℝ измеримы, τ_{k}(t) ⩽ t при почти всех t ∈ [a, ∞), k = = 1, …, m.

Если параметры уравнения (3) постоянны, то условия устойчивости решений можно получать [5], исследуя корни характеристического уравнения (квазиполинома) или применяя частотные критерии. В докладе приводятся достаточные условия положительности функции Коши и фундаментального решения уравнения (3) и основанные на этих условиях утверждения о сравнении решений, что позволяет получать признаки устойчивости этого уравнения. Эти признаки применяются для исследования динамики систем автоматического регулирования, которые описываются уравнением (3).

ЛИТЕРАТУРА 1. Кордуняну К., Лакшмикантам В. Уравнения с неограниченным запаздыванием // Автоматика и телемеханика,

1985. �7. С. 5-44.

2. Мухопад Ю.Ф. Микроэлектронные информационно-управляющие системы: учеб. пособие. Иркутск: ИрГУПС, 2004.

3. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

4. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-диф-ференциальных уравнений. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

5. Колмановский В.Б. Уравнения с последействием и математическое моделирование // Соросовский образовательный журнал. 1996. �4. С. 122-127.

Abstract: some sufficient conditions of positiveness of Cauchy‘s function and a fundamental solution of delay differential equation of the first order are proposed; these conditions for receiving of stability signs solutions an equation are used; this equation describes the dynamics properties of system of automatic regulation.

Keywords: functional differential equation; Cauchy‘s function; system of automatic regulation; stability.

Ларионов Александр Степанович к. ф.-м. н., доцент Братский государственный университет Россия, Братск e-mail: larios84@yandex.ru Aleksandr Larionov candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Bratsk State University Russia, Bratsk e-mail: larios84@yandex.ru Лузгин Владимир Васильевич к. т. н., доцент Братский государственный университет Россия, Братск e-mail: rasp@brstu.ru Vladimir Luzgin candidate of tech. sciences, senior lecturer Bratsk State University Russia, Bratsk e-mail: rasp@brstu.ru

Панасов Вячеслав Владимирович Братский государственный университет Россия, Братск e-mail: rasp@brstu.ru Vyacheslav Panasov Bratsk State University Russia, Bratsk e-mail: rasp@brstu.ru

УДК 517.977.58

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ОСНОВE МНОЖЕСТВ СИММЕТРИИ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} П. Д. Лебедев, А. А. Успенский

Ключевые слова: минимаксное решение уравнения в частных производных первого порядка; задача Дирихле; задача быстродействия; множество симметрии; эйконал.

Аннотация: Приводится метод построения функции оптимального результата в задаче быстродействия, основанный на выделении множества симметрии краевого условия. Развивается численно-аналитический подход к аппроксимации множества управляемости. Устанавливается связь решения задачи быстродействия с решением задачи о построении эволюции волновых фронтов при конструировании эйконала. Приводятся результаты моделирования решений динамических задач быстродействия и задач геометрической оптики.

Изучается задача Дирихле для уравнения в частных производных первого порядка типа Гамильтона–Якоби

min_{ν:∥ν∥⩽1} ⟨ν, Du(x)⟩ + 1 = 0,  (1)
u|_{Γ} = 0.  (2)

Здесь x = (x, y) ∈ ℝ^{2}, ∥ν∥ = \sqrt{ν_{1}^{2} + ν_{2}^{2}} — евклидова норма вектора ν = (ν_{1}, ν_{2}), Γ — граница замкнутого множества M ⊂ ℝ^{2}, Du(x) = (\frac{∂u}{∂x}, \frac{∂u}{∂y}) — градиет функции u = u(x).

Минимаксное решение [1] задачи Дирихле (1)–(2) совпадает с функцией оптимального результата соответствующей задачи динамического быстродействия с круговой индикатрисой скоростей. Исследуется достаточно общий случай краевого (целевого) множества M. Предполагается, что M является, вообще говоря, невыпуклым множеством с негладкой границей. Предлагается метод решения задачи, основанный на выделении биссектрисы краевого множества. Биссектриса относится к множествам симметрии [2]. Топологические особенности множеств симметрии изучались в [3]. С точки зрения теории дифференциальных игр [4–5] множества симметрии относятся в плоском случае к рассеивающим кривым.

1Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований 08-01-00587-а, Программы государственной поддержки ведущих научных школ НШ-2640.2008.1 и федеральной программы Президиума РАН �29.

Численно-аналитические подходы к конструированию множеств симметрии при изучении особенностей геометрии по существу невыпуклых множеств, при построении функции оптимального результата в задачах управления, а также при формировании эйконала в геометрической оптики, развивались в работах [6–10].

Приводятся результаты моделирования решений задач Дирихле, эволюции множеств управляемости, а также распространения волновых фронтов в среде с постоянным коэффициентом преломления.

Пример решения задачи быстродействия с круговой индикатрисой скоростей представлен на рис. 1. В качестве целевого множества M выбран подграфик функции

f(x) = \{ \begin{matrix}−7.5x^{4} − 13x^{3} − 4.5x^{2}, x ⩽ 0, \\ −6x^{4} + 5x^{3} − 3x^{2}, x > 0. \end{matrix}

Здесь Γ обозначает границу множества M, L — множество симметрии, Φ — линии уровня функции оптимального результата u = u(x, y) с шагом h_{ρ} = 0.4. На множестве симметрии функция u = = u(x, y) теряет гладкость, ее линии уровня соответственно имеют изломы.

Рис. 1.

ЛИТЕРАТУРА 1. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы

динамической оптимизации. М.; Ижевск: Институт компьютерных технологий, 2003.

2. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: ФАЗИС, 1996.

3. Sedykh V.D. On the topology of symmetry sets of smooth submanifolds in Rk // Advanced Studies in Pure Mathematics, 2006. Vol. 43. Singularity Theory and Its Applications. Pp. 401–419

4. Айзекс Р. Дифференциальные игры. M.: Мир, 1967. 479 с.

5. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

6. Успенский А.А., Ушаков В.Н., Фомин А.Н. α-множества и их свойства / Институт математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2004. 62 с. Деп. в ВИНИТИ 02.04.04, � 543-В2004.

7. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Аналитическое и численное конструирование функции оптимального результата для одного класса задач быстродействия // Прикладная математика и информатика: труды факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007. � 27. С. 65–79.

8. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Геометрия и асимптотика волновых фронтов // Известия высших учебных заведений. 2008. � 3. С. 27–37.

9. Ушаков В.Н., Успенский А.А., Лебедев П.Д. Построение минимаксного решения уравнения типа эйконала // Труды Института математики и механики. 2008. Т. 14. �2. С.182–191.

10. Успенский А.А., Лебедев П.Д. Процедуры вычисления меры невыпуклости плоского множества // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49. � 3. С. 431–440.

Abstract: method for construction of the optimal result function for boarder performance problem based on symmetry sets is searched; controllability sets levels are approximated using analytical and computing approaches; connection between the boarder performance problem and evolution of the waterfronts in eikonal problem is ascertained; modeling results dynamic and geometry optic problems are given.

Keywords: Minimax Solution Of the First Order PDE; Dirichlet Problem; Performance Problem; Symmetry Set; Eikonal.

Лебедев Павел Дмитриевич аспирант Институт математики и механики УрО РАН Россия, Екатеринбург e-mail: pleb@yandex.ru Pavel Lebedev post-graduate student Institute of Mathematics and Mechanics of UrD RAS Russia, Ekaterinburg e-mail: pleb@yandex.ru

Успенский Александр Александрович к. ф.-м. н., с. н. с. Институт математики и механики УрО РАН Россия, Екатеринбург e-mail: uspen@imm.uran.ru Alexandr Uspenskiy candidate of phys.-math. sciences, s. s. c. Institute of Mathematics and Mechanics of UrD RAS Russia, Ekaterinburg e-mail: uspen@imm.uran.ru УДК 517.95

НЕЛИНЕЙНАЯ УПРАВЛЯЕМАЯ ЗАДАЧА ГУРСА-ДАРБУ: УСЛОВИЯ СОХРАНЕНИЯ РАЗРЕШИМОСТИ �В ЦЕЛОМ� ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} И. В. Лисаченко, В. И. Сумин

Ключевые слова: нелинейная управляемая задача Гурса-Дарбу; условия сохранения глобальной разрешимости. Аннотация: Рассматривается управляемая нелинейная задача Гурса-Дарбу общего вида в случае,

когда ее решение естественно искать в классе функций с суммируемой в степени p > 1 смешанной производной; обсуждаются достаточные условия сохранения глобальной разрешимости задачи при возмущении управления.

Рассмотрим управляемую задачу Гурса-Дарбу

x′′_{t_{1}t_{2}}(t) = g(t, x(t), x′_{t_{1}}(t), x′_{t_{2}}(t), u(t)), t ≡ {t_{1}, t_{2}} ∈ Π ≡ [0, 1]^{2},  (1)
x(t_{1}, 0) = φ_{1}(t_{1}), t_{1} ∈ [0, 1]; x(0, t_{2}) = φ_{2}(t_{2}), t_{2} ∈ [0, 1],  (2)

где g(t, l_{0}, l_{1}, l_{2}, v) ≡ g(t, l, v): Π × R^{3n} × R^{m} → R^{n} (l = {l_{0}, l_{1}, l_{2}}) и φ_{i}(t_{i}): [0, 1] → R^{n}, i = = 1, 2 заданы, u(t): Π → R^{m} — управление (R^{n} — пространство n-векторов-столбцов; если a, b, c ∈ R^{n}, то {a, b, c} — вектор-столбец из R^{3n}). Задача (1), начиная с 1960-х годов, занимает особое место в математической теории оптимального управления распределенными системами, являясь ее своего рода �пробным камнем� (см., например, [1, с. 333-345, с. 449-450], [2, с. 591-595], [3, с. 442-450]). Именно для этой задачи были в свое время найдены первые достаточно общие условия устойчивости (по возмущению управления) существования глобальных решений (УСГР) нелинейных распределенных систем [4]; история вопроса кратко изложена в [5]. Проблема УСГР неизбежно возникает в различных разделах теории оптимального управления (см., например, [5], [6, с. 12-14]).

В [4] рассматривались абсолютно непрерывные решения задачи Гурса-Дарбу с ограниченными смешанной и первыми частными производными (более общие условия УСГР в этом случае были затем получены в [7], [6, с. 68-70]). В последние годы наблюдается устойчивый интерес (см., например, [8, 9]) к задачам оптимизации систем типа Гурса-Дарбу, рассматриваемых в классах функций с суммируемыми в некоторой степени p смешанной и первыми производными (такие классы будем обозначать AC_{p}); первые теоремы УСГР здесь получены в [10, 11] (о результатах [4, 6, 7] и [10, 11] см. также [12]). Отметим, что этот случай, в отличие от преимущественно изучавшегося до недавнего времени случая решений с ограниченными производными, многовариантен — он допускает различные естественные варианты условий на задачу (1), (2), отличающиеся друг от друга используемой в них априорной информацией о предполагаемом решении (каждому из этих вариантов отвечают, вообще говоря, свои условия УСГР; получение этих условий в случае решений с суммируемыми в некоторой степени смешанной и первыми производными оказывается технически более сложным (и это связано с существом дела), чем в случае ограниченных производных). Так, в [10, 11] рассматривались варианты условий, грубые в том смысле, что в них учитывается лишь вытекающая непосредственно из определения класса AC_{p} принадлежность смешанной и первых производных решения этого класса пространству L_{p}. Однако первые частные производные такого решения принадлежат существенно более узким, чем L_{p} �лебеговым пространствам со смешанной нормой� (см. ниже). Вариант условий УСГР управляемой задачи Гурса-Дарбу с учетом этой, в определенном смысле полной, априорной информации о решении класса AC_{p}, приведен в [13]. В докладе дается обзор полученных авторами доклада подобного рода результатов. Приведем пример.

1Финансовая поддержка РФФИ (грант 07-01-00495) и аналитической целевой ведомственной программы ”Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010)” Минобрнауки РФ (регистр. номер 2.1.1/3927).

Считаем: g дифференцируема по l при каждом v для почти всех t, а вместе с производной g′_{l} измерима по t при любых {l, v} и непрерывна по {l, v} для почти каждого t; φ_{i} абсолютно непрерывна, φ′_{i} ∈ L_{p}^{n}[0, 1] при заданном p ∈ (1, ∞), i = 1, 2, φ_{1}(0) = φ_{2}(0) = 0; допустимы управления из некоторого D ⊂ L_{s}^{m} ≡ L_{s}^{m}(Π), s ∈ [1, ∞]. Пусть: f(t, l, v) ≡ g(t, l_{0} + φ_{1}(t_{1}) + + φ_{2}(t_{2}), l_{1} + φ′_{1}(t_{1}), l_{2} + φ′_{2}(t_{2}), v); L_{q(j)} — пространство L_{q}[0, 1] функций переменной t_{j}, j ∈ {1, 2}, q ∈ [1, ∞]; L_{q(j),r(i)} — пространство функций z(t), t ∈ Π со смешанной нормой ∥z∥_{q(j),r(i)} ≡ ∥∥z(t_{1}, t_{2})∥_{L_{q(j)}} ∥_{L_{r(i)}} (i, j ∈ {1, 2}, i ≠ j; q, r ∈ [1, ∞]). Положим 𝔐 ≡ L_{∞}^{n} × L_{∞(2),p(1)}^{n} × L_{∞(1),p(2)}^{n},

𝔑 ≡ L_{p}^{n×n} × L_{p(2),∞(1)}^{n×n} × L_{p(1),∞(2)}^{n×n} (X^{n×n} — пространство (n × n) - матриц-функций, составленных из функций пространства X).

Пусть g такова, что формулы F [y, u](t) ≡ f(t, y(t), u(t)), Φ[y, u](t) ≡ f′_{l}(t, y(t), u(t)) определяют оператор F [·, ·]: 𝔐 × D → L_{p}^{n} и ограниченный оператор Φ[·, ·]: 𝔐 × D → 𝔑. Тогда естественно рассматривать решения (1),(2) из класса AC_{p}^{n}. Каждому u ∈ D может отвечать не более одного такого решения. Введем обозначения: Ω ≡ {u(·) ∈ D : u(·) отвечает глобальное решение из AC_{p}^{n}};

A_{0}[z](t) ≡ ∫_{0}^{t_{1}}∫_{0}^{t_{2}}z(ξ_{1}, ξ_{2})dξ_{1}dξ_{2}, A_{1}[z](t) ≡ ∫_{0}^{t_{2}}z(t_{1}, ξ)dξ, A_{2}[z](t) ≡

≡ ∫_{0}^{t_{1}}z(ξ, t_{2})dξ, A[z] (t) ≡ {A_{0}[z] (t) , A_{1}[z] (t) , A_{2}[z] (t)}, t ∈ Π, z ∈ L_{p}^{n}; J [x] (t) ≡ {x (t) , x′_{t_{1}} (t) , x′_{t_{2}} (t)},

t ∈ Π, x ∈ AC_{p}^{n}. Для u ∈ D, u_{0} ∈ Ω положим r(u, u_{0}) ≡ ∥A[Δ_{u}g]∥_{𝔐}, где Δ_{u}g(·) ≡ ≡ g(·, x_{0}(·), x′_{0t_{1}}(·), x′_{0t_{2}}(·), u(·)) − g(·, x_{0}(·), x′_{0t_{1}}(·), x′_{0t_{2}}(·), u_{0}(·)), x_{0} ∈ AC_{p}^{n} — глобальное решение, отвечающее u_{0}.

Т е о р е м а. Пусть фиксированы u_{0} ∈ Ω, d_{0} > 0. Тогда: найдется δ > 0 такое, что если u ∈ D, ∥u−u_{0}∥_{L_{s}^{m}} < d_{0}, r(u, u_{0}) < δ, то u ∈ Ω; для любого M_{0} > 0 существует C > 0 такое, что если x ∈ AC_{p}^{n} — отвечающее u ∈ Ω глобальное решение, причем ∥u−u_{0}∥_{L_{s}^{m}} < d_{0}, ∥J [x − x_{0}]∥_{𝔐} ⩽ ⩽ M_{0}, то ∥J [x − x_{0}]∥_{𝔐} ⩽ Cr(u, u_{0}), ∥(x − x_{0})′′_{t_{1}t_{2}}∥_{L_{p}^{n}} ⩽ C∥Δ_{u}g∥_{L_{p}^{n}}.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975.

2. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002.

3. Егоров А.И. Основы теории управления. М.: Физматлит, 2004.

4. Плотников В.И., Сумин В.И. Проблемы устойчивости нелинейных систем Гурса-Дарбу // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. �5. С. 845-856.

5. Сумин В.И. Проблема устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач и вольтерровы функциональные уравнения // Вестник ННГУ. Математика. Н. Новгород, 2003. Вып. 1. С. 91-108.

6. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1992.

7. Сумин В.И. Функционально-операторные уравнения Вольтерра и устойчивость существования глобальных решений краевых задач // Украинский матем. журн. 1991. Т. 43. �4. С. 555-561.

8. Толстоногов А.А. Теорема существования оптимального управления в задаче Гурса-Дарбу без предположения выпуклости // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. Т. 64. �4. С. 163-182.

9. Погодаев Н.И. О свойствах решений задачи Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями // Сибирский матем. журн. 2007. Т. 48. �5. С. 1116-1133.

10. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Управляемая задача Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной. I; II // Вестн. ННГУ. Математика. Н. Новгород, 2005. Вып. 1 (3). С. 88-101; 2006. Вып. 1 (4). С. 65-80.

11. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Об условиях устойчивости существования глобальных решений управляемой задачи Гурса-Дарбу // Вестн. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород, 2006. Вып. 2 (31). С. 64-81.

12. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Об управляемой задаче Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2007. Т. 12. Вып.4. С. 477-479.

13. Лисаченко И.В. Нелинейная задача Гурса-Дарбу с возмущаемыми правой частью и граничными функциями // Вестн. ННГУ. Н. Новгород, 2008. �5. С. 107-112.

Abstract: the nonlinear controllable Goursat-Darboux problem is considered. The case when a mixed derivative of the solution is L_{p}-function (p > 1)is considered; the sufficient conditions of existence-stability of global solutions with respect to perturbations of controls is discussed.

Keywords: nonlinear controllable Goursat-Darboux problem; conditions of existence-stability of global solutions.

Лисаченко Ирина Владимировна Нижегородский государственный технический университет Россия, Нижний Новгород e-mail: i_lisach@mail.ru Irina Lisachenko Nizhniy Novgorod State Technical University Russia, Nizhniy Novgorod e-mail: i_lisach@mail.ru

Сумин Владимир Иосифович д. ф.-м. н., профессор Нижегородский государственный университет Россия, Нижний Новгород e-mail: v_sumin@mail.ru Vladimir Sumin doctor of phys.-math. sciences, professor Nizhniy Novgorod State University Russia, Nizhniy Novgorod e-mail: chavnn@mail.ru

УДК 517.911.5

О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ НАПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ

К ЗАДАЧЕ О БИФУРКАЦИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Н. В. Лой

Ключевые слова: глобальная бифуркация; направляющая функция; дифференциальное включение первого порядка; периодическое решение.

Аннотация: В данной работе, применяя метод интегральных направляющих функций, мы изучаем глобальную структуру множества периодических решений однопараметрического семейства дифференциальных включений первого порядка.

Обозначим через W_{2}^{1} пространство всех функций x: [0, T] → ℝ^{n}, первые производные которых существуют почти всюду на [0, T] и являются элементами пространства L_{2}([0, T]; ℝ^{n}) с нормой

∥x∥_{W} = ∥x∥_{2} + ∥x′∥_{2},

где

∥x∥_{2} = (∫_{0}^{T} ∥f(s)∥_{ℝ^{n}}^{2} ds)^{\frac{1}{2}} .

Пусть W_{2}^{1}^{∘} обозначает пространство всех функций x ∈ W_{2}^{1} таких, что x(0) = x(T). Через Kv(ℝ^{n}) обозначим множество всех непустых выпуклых компактных подмножеств ℝ^{n}.

Рассмотрим однопараметрическое семейство дифференциальных включений типа

x′(t) ∈ F (t, x(t), μ) для п.в. t ∈ ℝ.  (1)

Предположим, что

(F_{T}) мультифункция F: ℝ × ℝ^{n} × ℝ → Kv(ℝ^{n}) T −периодична по первому аргументу, то есть

F (t, y, μ) = F (t + T, y, μ) для почти всех t ∈ ℝ, и любого (y, μ) ∈ ℝ^{n} × ℝ;

(F 1) для каждого (y, μ) ∈ ℝ^{n}×ℝ мультиотображение F (·, y, μ): [0, T] → Kv(ℝ^{n}) имеет измеримое сечение;

(F 2) для почти всех t ∈ [0, T] мультиотображение F (t, ·, ·): ℝ^{n} × ℝ → Kv(ℝ^{n}) полунепрерывно сверху;

(F 3) для любого непустого ограниченного множества Ω ⊂ ℝ^{n}×ℝ существует такая положительная функция h_{Ω} ∈ L^{2}([0, T]; ℝ), что

∥F (t, y, μ)∥_{ℝ^{n}} ⩽ h_{Ω}(t)
для всех (y, μ) ∈ Ω и п.в. t ∈ [0, T], где
∥F (t, y, μ)∥_{ℝ^{n}} = max{∥z∥_{ℝ^{n}}: z ∈ F (t, y, μ)};

(F 4) 0 ∈ F (s, 0, μ) для всех μ ∈ ℝ и п.в. s ∈ [0, T];

(F 5) существует r_{0} > 0 такое, что для каждого κ > 0 найдется η > 0 такое, что

h(F (t, x, μ), F (t, x, μ′)) < κ

для всех (x, μ), (x, μ′) ∈ B_{ℝ^{n}}(0, r_{0}) × (−r_{0}, r_{0}), |μ − μ′| < η и почти всех t ∈ [0, T], где h обозначает метрику Хаусдорфа на пространстве Kv(ℝ^{n}).

Назовем T -периодическим решением семейства (1) такое решение (x, μ), которое удовлетворяет условию: x(0) = x(T). Из (F 4) следует, что (0, μ) является решением семейства (1) для любого μ ∈ ℝ. Такие решения называются тривиальными. Под нетривиальным решением семейства (1) понимаем такое решение (x, μ), что x ≠ 0. Обозначаем через S множество всех нетривиальных T -периодических решений семейства (1).

О п р е д е л е н и е 1. Непрерывно дифференцируемую функцию V : ℝ^{n} → ℝ будем называть невырожденным потенциалом, если ее градиент

∂V (x) = \{\frac{∂V (x)}{∂x_{1}}, \frac{∂V (x)}{∂x_{2}}, ⋯, \frac{∂V (x)}{∂x_{n}}\}

не обращается в нуль при 0 < ∥x∥_{ℝ^{n}} ⩽ r, где r > 0 достаточно мало.

Из свойств топологической степени вытекает, что степень невырожденного потенциала

deg(∂V, B_{ℝ^{n}}(0, r′))

не зависит от r′ ∈ (0, r). Это общее значение степени называется индексом невырожденного потенциала и обозначается ind V.

О п р е д е л е н и е 2 (ср. [2]). Для каждого μ ∈ ℝ невырожденный потенциал V_{μ}: ℝ^{n} → → ℝ называется интегральной направляющей функцией для включения (1), если существует

достаточно малое π_{μ} > 0 такое, что для любого x ∈ W_{2}^{1}^{∘} из

0 < ∥x∥_{2} ⩽ π_{μ} и ∥x′(t)∥_{ℝ^{n}} ⩽ ∥F (t, x(t), μ)∥_{ℝ^{n}} для почти всех t ∈ [0, T]

следует

∫_{0}^{T} (∂V (x(s)), f(s)) ds > 0

для всех f ∈ L_{2}([0, T]; ℝ^{n}) такие, что f(s) ∈ F (s, x(s), μ) для почти всех s ∈ [0, T].

Т е о р е м а 1. Пусть выполнены условия (F 1)−(F 5) и (F_{T}). Предположим, что для каждого μ ≠ 0, достаточно малого по модулю, существует интегральная направляющая функция V_{μ} для включения (1) такая, что

lim_{μ→0^{+}} ind V_{μ} − lim_{μ→0^{−}} ind V_{μ} ≠ 0.

Тогда cуществует связное множество R ⊂ S такое, что (0, 0) ∈ \overline{R} и либо R неограничено либо (0, μ_{∗}) ∈ \overline{R} для некоторого μ_{∗} ≠ 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Alexander J.C. and Fitzpatrick P.M. Global bifurcation for solutions of equations involving several parameter multivalued condensing mappings // Fixed point theory, Proc. Sherbrooke Que. ed. E. Fadell, G. Fournier, Springer Lect. Notes. 1980. V. 886. P. 1-19.

2. Sergei Kornev, Valeri Obukhovskii. On some developments of the method of integral guiding functions // Functional Differential Equat. 2005. V. 12 No. 3-4. P. 303-310.

Abstract: in this paper, applying the method of integral guiding functions we consider the problem of global bifurcation of periodic solutions of the family of one-parameter ordinary differential inclusions.

Keywords: global bifurcation; guiding function; ordinary differential inclusion; periodic solution.

Нгуен Ван Лой аспирант Воронежский государственный педагогический университет Россия, Воронеж e-mail: loinv14@yahoo.com Van Loi Nguyen post-graduate student Voronezh State Pedagogical University Russia, Voronezh e-mail: loinv14@yahoo.com УДК 628.3

CULTURAL ORIENTATION OF MATEMATICAL MODELING IN THE FORMATION OF MOZAMBIQUE^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} L. I. Lurie, B. Cassy

Keywords: focus of the study applied mathematics; mathematical modeling; international cooperation programs.

Abstract: In this paper priority focuses of mathematical education, quastions of improving the quality of mathematical education and reinforcingthe focus of the study applied mathematics are consedered.

The system of mathematics education in Mozambique is actively evolving, taking the best achievements of the European system of education. That is why the emerging commitment to the Bologna process is quite organic, and reflects the true interests of the socio-economic life of society. State over the past years focused on improving the quality of mathematics education, reinforcing the focus of the study applied mathematics, to start using the integration of mathematical education, introducing the study of mathematical modeling course at pre-university and university levels. Much attention is paid to the systematic study of the theoretical foundations of mathematics. Mathematics as an integral component of human culture has developed ways of thinking in general, helps to formulate worldview affects the spiritual and moral education. Pupils and students often are bilingual cultural space. In this context, it should be noted that the study of mathematics to teach proper verbal expression of their thoughts, thinking disciplines, develops the ability to meaning generation, accuracy, credibility and validity of judgments, has the will and perseverance in achieving difficult goals, increases creativity, enhances self-resource. Of particular interest is the creation of books on mathematical modeling for students of schools and students, reflecting the mental properties of the society, various socio-economic life, which finds expression in international cooperation programs.

Аннотация: В статье рассмотрены приоритетные направления системы образования Мозамбика, вопросы повышения качества математического образования и роста прикладной направленности математики.

Ключевые слова: прикладная направленность математического образования; математическое моделирование; программы международного сотрудничества.

Лурье Леонид Израилевич доктор пед. наук, профессор Государственный педагогический университет Россия, Пермь e-mail: school@lyceum.pstu.as.ru Leonid Lurie doctor of ped. sciences, professor Perm State Pedagogical University Russia, Perm e-mail: school@lyceum.pstu.as.ru

Касси Банжи доктор пед. наук, профессор университет Эдуардо Мондлано Мозамбик, Мапуту e-mail: bhangy.cassy@uem.mz Cassy Bhangy doctor of ped. sciences, professor Eduardo Mondlane University Mozambique, Maputo e-mail: bhangy.cassy@uem.mz УДК 517.077

1The work is partially supported by CIGENE – Centre for Integrative Genetics and by NUFU – Norvegian Programme for Development, Research and Education.

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ РЕКОНСТРУКЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЭКСТРЕМАЛЬНОГО СДВИГА ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} В. И. Максимов

Ключевые слова: управление; реконструкция; экстремальный сдвиг.

Аннотация: В работе обсуждаются вопросы применения метода экстремального сдвига для решения некоторых задач реконструкции и управления динамическими системами с помощью экстремального сдвига; в частности, указывается алгоритм реконструкции неизвестного входа в линейной системe при измерении части фазовых координат.

Метод экстремального сдвига [1] — один из эффективнейших методов исследования задач управления по принципу обратной связи. Цель данного сообщения состоит в том, чтобы проиллюстрировать возможности этого метода на примерах некоторых задач робастного управления и динамической реконструкции неизвестных характеристик. Обратимся к одной задаче динамической реконструкции. Пусть имеется динамическая система Σ, которая функционирует на промежутке времени T = = [t_{0}, ϑ], ϑ < +∞, и описывается дифференциальным уравнением

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + F (t), t ∈ T, x(t_{0}) = x_{0}.  (1)

Здесь x(t) ∈ ℝ^{n}, u(t) ∈ ℝ^{N}, F (·) ∈ L_{2}(T; ℝ^{n}) — заданная функция, A — n × n-мерная матрица, B — n × N-мерная матрица. Траектория системы (1) x(t) = x(t; t_{0}, x_{0}, u(·)) ∈ ℝ^{n}, t ∈ T, зависит от начального состояния x_{0} и изменяющегося во времени неизвестного входного воздействия u(·) ∈ L_{2}(T; ℝ^{N}). На промежутке T взято равномерное разбиение Δ = {τ_{i}}_{i=0}^{m} с шагом δ, τ_{i+1} = = τ_{i} + δ, τ_{m} = ϑ. В моменты τ_{i} измеряется выход системы y(t) = Cx(t) ∈ ℝ^{r} (C — r × n-мерная матрица). Выход измеряется с ошибкой. Результаты неточных измерений — вектора ξ_{i}^{h} ∈ ℝ^{r} — удовлетворяют неравенствам

|ξ_{i}^{h} − y(τ_{i})|_{r} ⩽ h, i ∈ [0 : m − 1],  (2)

где h ∈ (0, 1) — величина информационной погрешности, символ |y|_{r} означает евклидову норму rмерного вектора y. Требуется построить алгоритм, позволяющий �синхронно с развитием процесса� по результатам неточных измерений y(·) восстанавливать как всю фазовую траекторию x(·), так и управление u(·), порождающее выход y(·). Именно требуется сформировать некоторую пару (�траектория–управление�) {w_{∗}^{h}(·), u_{∗}^{h}(·)}, �близкую� к паре {x(·), u(·)}. Такова содержательная постановка задачи реконструкции. В дальнейшем считаем, что начальное условие системы (1) задано неточно. Именно, вместо вектора x_{0} известен вектор x_{0}^{h}: |x_{0} − x_{0}^{h}|_{n} ⩽ h.

Перейдем к описанию алгоритма решения рассматриваемой задачи. Согласно подходу [1– 3] для решения задачи следует указать уравнение вспомогательной управляемой системы M, называемой моделью, а также закон формирования управления ею. При этом как саму модель, так и закон управления (включающий интервалы �постоянства� управлений в модели) следует согласовать подходящим образом с величиной информационной погрешности h. Фиксируем семейство {Δ_{h}} разбиений отрезка T на полуинтервалы [τ_{h,i}, τ_{h,i+1}) Δ_{h} = {τ_{h,i}}_{i=0}^{m_{h}}, τ_{h,i+1} = τ_{h,i} +δ, δ = δ(h), τ_{h,0} = t_{0}, τ_{h,m_{h}} = ϑ, с диаметрами δ = δ(h). Модель зададим системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

1Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 07-01-00008), Интеграционного проекта УрО РАН и Программы РАН �Математическая теория управления�.

\begin{matrix}ẇ_{0}^{h}(t) = CBv^{h}(t), t ∈ [τ_{1}, ϑ], \\ ẇ_{1}^{h}(t) = Aw_{1}^{h}(t) + Bv^{h}(t), \\ ẇ_{2}^{h}(t) = w_{1}^{h}(t), \end{matrix}  (3)

где w^{h} = {w_{0}^{h}, w_{1}^{h}, w_{2}^{h}}, w^{h}(t) = 0 при t ∈ [t_{0}, τ_{1}].

После того, как модель определена, алгоритм решения задачи отождествляется с законом формирования управлений v^{h}(·) в модели по принципу обратной связи, который отождествляется с парой S_{h} = (Δ_{h}, U_{h}), где U_{h} — функция, ставящая в соответствие четверке q^{(i)}(·) = {τ_{i}, ξ_{i}^{h}, ξ_{i−1}^{h}, w^{h}(τ_{i})}, i ∈ [1 : m − 1], вектор

v_{i}^{h} = U_{h}(q^{(i)}(·)).  (4)

При этом полагается

v^{h}(t) = v_{i}^{h}, t ∈ [τ_{i}, τ_{i+1}), τ_{i} = τ_{h,i}.  (5)

Таким образом, тройка (Δ_{h}, M, U_{h}) при каждом h ∈ (0, 1) определяет некоторый алгоритм D_{h} на множестве измерений ξ(·) ∈ Ξ(y(·), h), формирующий по принципу обратной связи (4), (5) выход

D_{h}ξ^{h}(·) = {w^{h}(·), v^{h}(·)}, h ∈ (0, 1).  (6)

Выход алгоритма D_{h} (при каждом h и ξ^{h}(·) ∈ Ξ(y(·), h)) определяется согласно (6), где w^{h}(·) = = {w_{∗}^{h}(·), w_{1}^{h}(·)}, w_{∗}^{h}(·) — часть траектории модели, �аппроксимирующая� некоторую функцию x̃(·) вида x̃(t) = x(t) + f(t), t ∈ T (f(·) — известная функция), w_{1}^{h}(·) — вспомогательная часть модельной траектории. Символ Ξ(y(·), h) означает множество всех кусочно-постоянных функций ξ^{h}(·), ξ^{h}(t) = ξ_{i}^{h}, t ∈ δ_{h,i} = [τ_{h,i}, τ_{h,i+1}), удовлетворяющих (2) при τ_{i} = τ_{h,i} ∈ Δ_{h}.

Семейство алгоритмов D_{h} = (Δ_{h}, M, U_{h}), (3)–(6), h ∈ (0, 1), назовем регуляризирующим [2, 3], если a) v^{h}(·) → u(·) в L_{2}(T; ℝ^{N}); b) w_{∗}^{h}(·) → x̃(·) в C(T; ℝ^{n}) при h → 0. Пусть

U_{h}(q^{(i)}(·)) = \{ \begin{matrix}(CB)^{−1}|δ^{−1}(ξ_{i}^{h} − ξ_{i−1}^{h}) − CAx_{1}^{h}(τ_{i}) − CF (τ_{i}) − \\ CAw_{1}^{h}(τ_{i})|_{r}s_{i}/|s_{i}|_{r}, если |s_{i}|_{r} ≠ 0 \\ 0, в противном случае , \end{matrix}

при i ∈ [1 : m − 1], m = m_{h}. Здесь x_{1}^{h}(·) = x(·; t_{0}, x_{0}^{h}, 0) — решение системы ẋ(t) = Ax(t) + F (t),

t ∈ T, x(t_{0}) = x_{0}^{h}, s_{i} = ξ_{i−1}^{h} − ξ_{0}^{h} − ∫_{t_{0}}^{τ_{i}} C{F (τ) + Ax_{1}^{h}(τ)} dτ − w_{0}^{h}(τ_{i}) − CAw_{2}^{h}(τ_{i}).

Т е о р е м а. Пусть r = N; rank CB = r, а функция F (·) непрерывна. Пусть также v^{h}(t) = 0 при t ∈ [t_{0}, τ_{1}], δ(h) → 0, h/δ(h) → 0 при h → 0. Тогда семейство алгоритмов D_{h}, h ∈ (0, 1), (3)–(6) является регуляризирующим. При этом w_{∗}^{h}(·) ≡ w_{1}^{h}(·) → x̃(·) в C(T; ℝ^{n}) при h → 0, если x̃(t) = x(t) + f(t) при t ∈ T, f(t) = x_{1}(t) — решение системы (1) с начальным условием x_{1}(t_{0}) = x_{0} и u(t) ≡ 0.

ЛИТЕРАТУРА

1.Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse Problems for Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. Basel, Gordon and Breach, 1995.

2. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Динамические обратные задачи для параболических систем // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. � 5. С. 579–597.

3. Maksimov V.I. Dynamical inverse problems of distributed systems. VSP, Boston, 2002.

Abstract: in this paper the questions of extremal shift method application for solution of some reconstruction and dynamic systems control problems are discussed; in particular, the algorithm of unknown input reconstruction in linear system at some phase coordinates measuring is shown.

Keywords: control; reconstruction; extremal shift.

Максимов Вячеслав Иванович д. ф.-м. н., профессор Институт математики и механики УрО РАН Россия, Екатеринбург e-mail: maksimov@imm.uran.ru Vyacheslav Maksimov doctor of phys.-math. sciences, professor Institute of Mathematics and Mechanics of UrD RAS Russia, Ekaterinburg e-mail: maksimov@imm.uran.ru

УДК 519.85

О ПРОЕКТЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Г. И. Малашонок

Ключевые слова: параллельная компьютерная алгебра; строение классов; структуры данных; внешняя память.

Аннотация: Описывается новый проект параллельной компьютерной алгебры; две главные особенности этого проекта - это новая структура классов и новые структуры данных, которые предназначены для хранения данных во внешней памяти; особое внимание уделяется параллельному ядру системы.

1. Введение

Одной из очень важных задач, стоящих сегодня перед человечеством, является задача сохранения и применения накопленных знаний. В первую очередь это относится к естествознанию и техническому знанию.

Как известно, языком естествознания, а вместе с ним и всего технического знания, является математика. Поэтому главной задачей всей той компьютерной науки, которая ориентирована на естествознание и технику, является задача сохранения и применения математического знания.

Существующие сегодня математические пакеты отражают состояние решения этой задачи на данный момент. Эти пакеты делятся на два класса – численные пакеты и символьные или аналитические пакеты, которые еще называют системами компьютерной алгебры. Признанным лидером в этом классе систем компьютерной алгебры является система “Mathematica” компании Wolfram Research, за ней следуют MAPLE, Magma, MACSYMA, AXIOM (IBM), REDUCE, CoCoA, Macaulay, SINGULAR и др.

Численные пакеты направлены на получение численного решения инженерных задач. Системы компьютерной алгебры направлены на поддержку системы математического знания и на решение задач в аналитическом виде. Конечно, сегодня системы компьютерной алгебры поддерживают и численное решение задач, они стараются вобрать в себя все то, что делают численные пакеты. И наоборот, численные пакеты стремятся включить аналитические вычисления.

1Работа выполнена при поддержке программы "Развитие потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/1853) и Темплана 1.12.09.

Современные системы компьютерной алгебры разрабатывались для однопроцессорных ЭВМ, и их архитектура ориентирована на последовательный процесс вычислений. Если сравнивать их с численными пакетами, то они существенно проигрывают по масштабам задач, которые могут быть решены.

Существенным достижением являются численные пакеты LAPAC и ScaLAPAC, которые поддерживают численные библиотеки процедур для задач линейной алгебры и которые ориентированы на проведение вычислений на суперЭВМ. Однако для масштабных задач, решаемых на суперЭВМ, главная проблема численных вычислений – проблема накопления ошибок, проявляется еще сильнее.

Необходимо создание системы компьютерной алгебры, которая была бы ориентирована на параллельные вычисления с применением суперЭВМ.

2. Первый проект параллельной компьютерной алгебры

В течение пяти лет работа по созданию системы параллельной компьютерной алгебры ведется в Тамбовском университете. Была получена большая коллекция классов для основных объектов, таких как числа, полиномы, матрицы, функции. Было проведено большое число экспериментов как на 16-процессорном Myrinet кластере Тамбовского университета, так и на 4000-процессорном кластер Российской академии наук (Joint Supercomputer Center JSCC), благодаря сотрудничеству с этой организацией и с Институтом системного программирования РАН.

Эти эксперименты продемонстрировали возможности кластеров получать ускорения для операций матричного и полиномиального умножения более чем на 70%, а ускорения для матричных операций обратного отображения – более чем на 30%. Мы считаем, что ускорение равно 100%, если реальное время для выполнения некоторой операций уменьшается в n раз при увеличении числа процессоров в кластере в n раз. Для тех же блоков алгоритма, где используется CRT параллелизм, ускорение может приближаться к своему теоретическому пределу — 100%.

Разработанные пакеты программ и эксперименты показывают возможность успешного создания параллельной системы компьютерной алгебры. Такая система может быть действительно эффективной, если развивать заложенные в этих параллельных программах идеи.

С другой стороны, назрела необходимость пересмотра свода созданных программ. Это связано с двумя проблемами.

Первая проблема – это проблема наличия усложненной классовой структуры. С самого начала была выбрана стратегия на создание независимых числовых классов над простыми типами данных. Это было сделано в связи с тем, что при этом предполагался выигрыш во времени вычислений. Для этого приходилось иметь копии многих алгоритмов для разных числовых колец. Но как показали позже эксперименты с новыми версиями операционных систем, большого выигрыша от повсеместного использования простых типов данных вместо объектов не происходит.

Вторая проблема – это необходимость использования больших и сверхбольших объектов данных. Изначально же каждый объект, который создавался во время вычислений, должен был помещаться целиком в оперативную память. Но для большой кластерной машины нужно иметь объекты, которые имеют гораздо больший объем. Только в этом случае можно будет использовать все преимущества кластерной машины.

3. Новый проект

Все это привело к тому, что в конце 2008 года стал разрабатываться новый проект параллельной компьютерной алгебры. Две главные особенности этого проекта - это новая классовая структура и новые структуры данных, которые предназначены для хранения во внешней памяти.

КЛАСС СКАЛЯРОВ Главный абстрактный класс в новом проекте - это класс Scalar. Абстрактные методы в данном

классе предназначены для задания всех возможных операций со скалярами.

Существуют методы: add, subtract, multiply, divide, power, GCD, extendedGCD, mod, modInvers, modPower, divideAndRemainder, random, семейство методов типа valueOf, которые предназначены для создания определенных типов скаляров. В этом классе нет динамических полей.

Наследниками класса скаляров являются классы, которые образуют несколько подмножеств. Существуют подмножества чисел, полиномов, рациональных функций и трансцендентные функций.

ЧИСЛОВЫЕ КЛАССЫ Всего имеется 12 классов для чисел. Существует 6 точных числовых классов и 6 приближенных числовых класса. Набор точных

числовых классов составляют классы Z, Q, Cz, Cq, Z_{p} и Z_{p}32. Здесь обозначено:

Z – целые числа; Q – рациональные числа; Cz = {a + ib : a, b ∈ Z, i^{2} = −1} – кольцо целых комплексных чисел; Cq = {a + ib : a, b ∈ Q, i^{2} = −1} – поле рациональных комплексных чисел; Z_{p} = Z/pZ — простое поле характеристики p; Z_{p}32 = Z/pZ – простое поле, у которого характеристика не превосходит 2^{31}−1 – максимального

положительного числа в четырехбайтном слове. Последний класс чисел часто используется в приложениях компьютерной алгебры, так как позволяет существенно ускорить вычисления по сравнению с Z_{p}.

Существует 6 классов для приближенных чисел: R, C, R64, C64, R128 и C128. Здесь мы используем следующие обозначения:

R64 – это стандартные 64-разрядные числа с плавающей точкой для хранения приближенных действительных чисел;

R - это числа с плавающей точкой для хранения приближенных действительных чисел с произвольной мантиссой;

R128 - это числа с плавающей точкой для хранения приближенных действительных чисел со стандартной 52-разрядной мантиссой и отельным 32-разрядным полем для хранения порядка.

Три комплексных класса C, C64 и C128 образованы из классов R, R64 и R128, обычным путем.

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЙ КЛАСС Класс полиномов многих переменных только один. В зависимости от того, в каком из числовых

классов находятся коэффициенты полиномов, может быть 12 типов полиномов. С одной стороны, этот класс является наследником класса скаляров, с другой – коэффициенты полиномов являются скалярами любого числового вида.

КЛАСС ДРОБЕЙ Класс дробей является наследником класса скаляров. У него есть два динамических поля

скалярного типа для числителя и знаменателя дроби. Дочерним классом для дробей служит класс рациональных чисел Q и класс комплексных рациональных чисел Cq. Числители и знаменатели в классе Q – это целые числа типа Z, а в классе Cq – целые комплексные числа. Динамические поля в этих классах наследуются из класса дробей.

КЛАСС РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Класс рациональных функций является дочерним по отношению к классу дробей. Числители

и знаменатели рациональной функции — полиномы. Собственных динамических полей у него нет, а наследуются поля класса дробей.

КЛАСС ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ Это класс композиций трансцендентных функций, аргументами которых являются полиномы.

Такой класс один, но так как может быть 12 типов полиномов, следовательно, всего имеется 12 типов функций.

Всего имеется 60 разных типов скаляров: 12 числовых классов и по 12 различных типов полиномов, рациональных функций и трансцендентных функций. Предстоит еще реализовать еще один скалярный класс – класс числовых рядов.

КЛАСС МАТРИЦ

Классы Matrix, Vector и Tensor должны иметь скалярные типы элементов. Основные матричные методы: adjoint, det, kernel, echelonForm, inverse. Основным методом является рекурсивный блочный метод adjDet. Этот метод возвращает определитель матрицы вместе с присоединенной и эшелонной матрицей. Ядро линейного оператора вычисляется исходя из эшелонной матрицы. Обратная матрица вычисляется с помощью присоединенной матрицы и определителя.

СТРУКТУРЫ ДАННЫХ ДЛЯ ВНЕШНЕЙ ПАМЯТИ

В настоящее время создаются классы файловых матриц и файловых полиномов. Эти новые классы позволят хранить большие объекты (матрицы и полиномы), которые не помещаются в оперативную память и ориентированы на параллельные вычисления.

4. Заключение

Современное состояние нового проекта позволяет выполнять полиномиальные вычисления, включая вычисление базисов полиномиальных идеалов по Фужеру, производить некоторые упрощения композиций функций, выполнять факторизацию полиномов одной переменной по Берлекэмпу, решать задачи линейной алгебры для матриц со скалярными элементами, решать системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, используя преобразования Лапласа.

Параллельное ядро системы составляют параллельные алгоритмы матричного умножения и матричного обращения. При этом, для вычисления обратной матрицы, вычисляется присоединенная матрицы и определитель. Одновременно вычисляется и эшелонная форма матрицы. По эшелонной форме просто строится ядро соответствующего линейного оператора. Созданы и алгоритмы параллельного полиномиального умножения.

Примерно к концу 2010 года планируется организовать доступ к данной системе для всех желающих произвести вычисления на кластере с использованием данной системы параллельной компьютерной алгебры.

ЛИТЕРАТУРА

1. Малашонок Г.И., Авитесян А.И., Валеев Ю.Д., Зуев М.С. Параллельные алгоритмы компьютерной алгебры // Труды Института системного программирования. 2004. Т. 8. Ч. 2, 1004. С. 169-180.

2. Malaschonok G.I. In the Direction of Parallel Computer Algebra System // Computer Science and Information Technologies. Proc. Conf. Sept.19-23, 2005. Acad. Sci. of Armenia. Yerevan, 2005. P. 451-453.

3. Малашонок Г.И. Об одном подходе к построению параллельной системы компьютерной алгебры // Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры. Сб. научн. статей международной конф. Брест, 5-8 сент. 2005. Ч. 1. Минск, БГПУ, 2005. С. 306-307.

4. Малашонок Г.И. О параллельной конструктивной математике // Международная научная конференция "Современное математическое образование и проблемы истории и методологии математики". Тамбов, 2008. С. 194-195.

5. Малашонок Г.И., Валеев Ю.Д. Организация параллельных вычислений в рекурсивных символьно-численных алгоритмах // Труды конференции ПаВТ’2008 Санкт-Петербург. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. С. 153-165.

Abstract: there is described a new project of parallel computer algebra; the main two features of this project are a new class structure and a new data structure intend for storage data in external memory; a special attention is paid to the parallel kernel of the system.

Keywords: parallel computer algebra; class structure; data structure; external memory.

Малашонок Геннадий Иванович д. ф.-м. н., профессор Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: malaschok@ya.ru Gennadi Malaschonok doctor of phys.-math. sciences, professor Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: malaschok@ya.ru

УДК 517.9

AN ALGORITHM FOR SYMBOLIC SOLVING OF DIFFERENTIAL EQUATIONS AND ESTIMATION OF ACCURACY ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} N. Malaschonok

Keywords: systems of differential equations; Laplace transform; preassigned accuracy.

Abstract: An algorithm for solving systems of differential equations, based on Laplace transform method is produced. An algorithm to compute the error of calculations sufficient to obtain the preassigned accuracy of solution of linear differential equations system is included.

An algorithm for solving systems of differential equations, based on Laplace transform method is produced. There considered ordinary linear differential equations with constant coefficients, nonzero initial conditions and right-hand parts as composite functions, reducible to the sums of exponents with the polynomial coefficients.

An algorithm to compute the error of calculations sufficient to obtain the preassigned accuracy of solution of linear differential equations system is included.

Present-day computer systems provide an equipment for solving of differential equations. If they deal with numerical methods, there many algorithms to estimate an error of obtained approximate solutions. If it concerns symbolic algorithms it can hardly be found many attempts to find such estimations as it is customary to presume an exact character of analytic solving. But nearly each symbolic algorithm of solving contains numerical components or is based on approximation of participating functions or other mathematical structures by series, products, sequences, etc. It is necessary to guarantee an adequate accuracy in this case as well.

An algorithm, which is produced in this article, is based on the application of the Laplace transform method for solving differential equations systems. This method provides the symbolic character of computations. However there exists a fragment of numerical calculations. It concerns the computing of polynomial roots. This is the operation that requires an estimation of accuracy for calculations. An algorithm for such estimation is presented here.

The Laplace transform has been very useful in various problems of differential equations theory. In this article we consider systems of ordinary linear differential equations with constant coefficients, nonzero initial conditions and right-hand parts as composite functions, reducible to the sums of exponents with the polynomial coefficients. A case of continuous right-hand parts was discussed previously.

1Работа выполнена при поддержке программы "Развитие потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/1853).

Here we consider a general case of composite functions and obtain estimations in a general case and of higher exactness. Such systems are very important because of their application for many problems in electronics, electrical or radio engineering, economics, etc. Moreover such systems provide very transparent applying of Laplace method.

Let us describe in some words the main items of the algorithm.

At first a preparation of data functions for the formal Laplace transform is performed. It is achieved with application of Heaviside function and moving the obtained functions into the bounds of smoothness intervals. The next step is solving the algebraic system with polynomial coefficients and the right hand part, obtained after the Laplace transform of the data system. There are algorithms, that are efficient for solving this type of equations, and are different for various types of such systems. Then the obtained solution of algebraic system is prepared to the inverse Laplace transform. It is reduced to the sum of partial fractions with exponential coefficients. Just at this stage it is necessary to calculate the error of the denominator roots, sufficient for the required accuracy of differential equations solutions.

An important part of the algorithm contains the estimation of an error of calculations sufficient to obtain a preassigned accuracy of solution of a differential equations system. We must underscore that it is not necessary to obtain the exact solution of the differential equations system in order to obtain the value of an error sufficient to a required accuracy of approximate solution.

The complexity of the algorithm depends upon the complexity of three main operations: solving the system with polynomial coefficients, solving the system with constant coefficients for a representation in partial fractions, determination of the polynomial roots.

Аннотация: Предлагается алгоритм решения систем дифференциальных уравнений с использованием преобразования Лапласа. Его частью является алгоритм вычисления погрешности численных вычислений, обеспечивающей заданную точность решения системы.

Ключевые слова: системы дифференциальных уравнений; преобразования Лапласа; точность решения.

Малашонок Наталия Александровна к. ф.-м. н., доцент Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: nmalacshonok@yandex.ru Natasha Malaschonok candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: nmalacshonok@yandex.ru УДК 517.53

ПРИМЕНЕНИЕ ЯДЕР СЕГЕ ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Н. А. Малашонок

Ключевые слова: функции многих комплексных переменных; ядра Сегё; простые дроби; ряды аналитических функций.

Аннотация: Для заданной полной кратно-круговой области D строится последовательность функций h_{m}(z), m = 0, 1, 2, …, позволяющая разложить в ряд по этой системе функции, аналитические в \overline{D}. При этом используется ядро Сегё области, состоящей из точек z^{2} при z ∈ D.

Разложение функций f(z), аналитических в замкнутом единичном круге \overline{D}, в ряд простых дробей:

f(z) = ∑_{m=0}^{∞} \frac{A_{m}}{1 − β_{m}z} ,  (1)

изучалось в [3], [4]. Здесь предполагается, что последовательность β_{m} лежит в D, т. е. |β_{m}| < 1, и что |β_{m}| → 1 при m → ∞. Замечательный факт состоит в том, что ряд (1) сходится к функции f(z) равномерно внутри D тогда и только тогда, когда существует нетривиальное разложение нуля в такой ряд. Отсюда вытекает неоднозначность разложения функции в ряд (1), то есть переполненность системы функций (1 − β_{m}z)^{−1}.

Мы хотим обобщить эту теорию для функций многих комплексных переменных. Покоординатное умножение векторов z, w ∈ ℂ^{p} будем обозначать zw, т. е. zw = (z_{1}w_{1}, …, z_{p}w_{p}). Мы будем использовать мультииндексные обозначения: если n = (n_{1}, …, n_{p}), то |n| = n_{1} + … + n_{p}, z^{n} = = z_{1}^{n_{1}} … z_{p}^{n_{p}}, |z|^{n} = |z_{1}|^{n_{1}} … |z_{p}|^{n_{p}}.

Пусть β^{(m)}, m = 0, 1, 2, …, – последовательность точек в ℂ^{p} таких, что для каждого k = = 1, …, p мы имеем |β_{k}^{(m)}| < 1, |β_{k}^{(m)}| → 1 при m → ∞.

Наша первая задача – для данной полной кратно-круговой области D ⊂ ℂ^{p} построить аналог h(z) простой дроби (1 − z)^{−1}.

После этого мы организуем последовательность h_{m}(z) = h(β_{m}z) и получаем задачу о разложении в ряд в \overline{D} функций f(z):

f(z) = ∑_{m=0}^{∞} A_{m}h_{m}(z).

Для построения функции h(z) мы используем одно свойство ядер Сегё [1], [2]. Обозначим через D^{(2)} область, состоящую из точек z^{2} при z ∈ D. Обозначим через ∂D^{(2)} границу D^{(2)}, и |∂D^{(2)}| – ее образ в положительном октанте модулей. Пусть λ – некоторая конечная мера на |∂D^{(2)}|. Обозначим

γ_{n}(D) = (∫_{|∂D^{(2)}|} |z|^{n}dλ)^{−1}

Наша искомая функция есть

h(z) = ∑_{n} γ_{n}(G)z^{n}.

1Работа поддержана грантами: Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.

Она тесно связана с ядром Сегё K(z, \overline{ξ}) области D^{(2)}, оно есть h(z\overline{ξ}).

П р и м е р 1. Пусть D = {(z_{1}, z_{2}) : |z_{1}|^{2} + |z_{2}|^{2} < 1}. Тогда

γ_{n}(G) = \frac{(n_{1} + n_{2} + 1)!}{n_{1}!n_{2}!} ,

так что

h(z) = (1 − z_{1} − z_{2})^{−2}.

П р и м е р 2. Пусть D = {(z_{1}, z_{2}) : |z_{1}| + |z_{2}| < 1}. Тогда

γ_{n}(D) = \frac{(2n_{1} + 2n_{2} + 1)!}{(2n_{1})!(2n_{2})!} ,

так что

h(z) = \frac{(1 − z_{1} − z_{2})(1 + 2z_{1}z_{2} − z_{1}^{2} − z_{2}^{2}) + 8z_{1}z_{2}}{((1 − z_{1} − z_{2})^{2} − 4z_{1}z_{2})^{2}} .

ЛИТЕРАТУРА 1. Айзенберг Л. А., Митягин Б. С. Пространства функций, голоморфных в n-круговых областях // Сиб.

матем. ж. 1960. Т. 1. С. 153–170.

2. Айзенберг ХЛ. А. Интегральные представления функций, голоморфных в n-круговых областях ("продолжение ядер Сегё") // Матем. сб. 1964. Т. 65. С. 104–143.

3. Леонтьева Т.А. Об условиях представимости аналитических функций рядами рациональных дробей // Мат. заметки. 1974. Т. 15. � 2. С. 197–203.

4. Коробейник ХЮ.Ф. К вопросу о разложении аналитических функций в ряды по рациональным функциям // Мат. заметки. 1982. Т. 31. � 5. С. 723–727.

Abstract: For a full multicircular domain D, we construct a system of functions h_{m}(z), permitting to expand functions analytic in \overline{D}, into a series over this system. For that, we use the Szegö kernel of the domain consisting of the points z^{2} with z ∈ D.

Keywords: functions of several complex variables; Szegö kernel; partial fractions; series of analytic functions.

Малашонок Наталия Александровна к. ф.-м. н., доцент Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: nmalacshonok@yandex.ru Natasha Malaschonok candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: nmalacshonok@yandex.ru УДК 519.85.62

МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ В ЗАДАЧЕ РАСЧЁТА ОПТИМАЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ САМОЛЁТА

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} В. Г. Малинов

Ключевые слова: проекционные обобщённые двухшаговые двухэтапные методы; минимизация; переменная метрика; оптимальная траектория; самолёт.

Аннотация: В работе предлагаются новые проекционные обобщённые двухшаговые двухэтапные методы минимизации функций с "овражными" гиперповерхностями уровней в евклидовом пространстве; с их помощью решается тестовая задача оптимизации траектории разворота самолёта в плоскости горизонта; приводятся результаты вычислительных экспериментов.

1. При решении задач оптимального управления движением дозвуковых и сверхзвуковых самолётов с воздушно-реактивными двигателями (т.е. аппаратов, скорость которых намного меньше круговой скорости) в пространстве и в горизонтальной плоскости, имеются значительные трудности: удовлетворения заданным конечным условиям; учёта ограничений на фазовые координаты и управляющие функции; �овражности� и многоэкстремальности получаемой для минимизации вспомогательной функции. Решить задачу оптимального управления (ЗОУ) численным методом на порядок труднее, чем обычную задачу оптимизации. В работе [1] для решения таких трудных задач минимизации были предложены проекционные двухэтапные двухшаговые методы переменной метрики; здесь предлагается их модификация и апробируется на ЗОУ движением самолётов в плоскости горизонта.

2. Рассмотрим для решения ЗОУ модификацию метода из [1], обобщённый двухшаговый двухэтапный метод переменной метрики.

1 этап. z^{k} = P_{Q} [x^{k} + α_{k}y^{k}/∥y^{k}∥];

2 этап. x^{k+1} = P_{Q} [z^{k} − γ_{k}B(z^{k})∇f(z^{k})/∥∇f(z^{k})∥] , k = 0, 1, 2, ... (1)

где x^{−1} = x^{0} ∈ E^{n}; P_{Q}[v] – проекция вектора v на выпуклое замкнутое множество Q из евклидова n-мерного пространства E^{n}, нормированного скалярным произведением, ∥x∥ = (x, x)^{1/2} ∀x ∈ ∈ E^{n}; y^{k} = x^{k} − x^{k−1}; α_{k}, γ_{k}− параметры метода; B(z^{k}) = B_{k}− последовательность положительно определённых диагональных матриц; последнее означает, что наряду с данной, в пространстве E^{n} введена новая метрика с помощью другого скалярного произведения (B(x)u, u) и B(x) : E^{n} ⟶ E^{n} при каждом фиксированном x ∈ E^{n} есть самосопряженный, линейный, положительно определённый оператор, изменяющий метрику пространства.

Используются реализации (1) с одномерной минимизацией γ_{k} = arg min_{γ>0}f [z^{k} − γB(z^{k})∇f(z^{k})/∥∇f(z^{k})∥] для поиска только одного параметра γ_{k}.

Предлагаемый метод и его версии здесь реализованы в алгоритмах штрафных функций (МШФ). Они отличаются от исследованных ранее в [1] наличием оператора проектирования на первом этапе, что позволяет предотвратить выброс из �оврага� на первом этапе работы методов.

3. В качестве примера задачи о развороте самолёта в плоскости горизонта построим математическую модель (ММ) на основе ММ задачи о пространственном развороте самолёта ([2], с. 353-355). В предположении постоянства высоты манёвра система дифференциальных уравнений движения самолёта имеет вид:

2dD/dt = V cos(η) = f_{1}(x, u); dη/dt = −gu_{2}N sin(γ)/V = f_{4}(x, u);

dZ/dt = −V sin(η) = f_{2}(x, u); dw/dt = −c_{s} = f_{5}(x, u); (2)

dV/dt = g [u_{1}P cos(α) − c_{x}q^{0}S] /w = f_{3}(x, u),

где q^{0} = ρ(h)V^{2}/2; ρ(h) = 3, 3 · 10^{−10}h^{2} − 1, 155 · 10^{−5}h + 0, 125; P = [10 + V^{2}/(a(h))^{2}](25000 − − h)/12, 5; a(h) = 340, 3 − 0, 00408h; α = u_{2}Nw/(u_{1}P + 4, 6q^{0}S);c_{s} = [7 + 2(u_{1} − 0, 3)^{2}]u_{1}P/3600; c_{x} = 0, 02 + 3, 174α^{2} + 0, 03u_{3}; N = min {q^{0}S/w; 150000/w; 8}, где D = x_{1}, Z = x_{2}− декартовы координаты самолёта (продольная и боковая); h− высота над Землёй; V = x_{3}− модуль вектора скорости; η = x_{4}− угол курса; mg = w = x_{5}− вес самолёта; u_{1}− величина тяги двигателя, отнесённая к максимальному значению тяги P; u_{2}− величина перегрузки, отнесённая к максимальному значению перегрузки N; u_{3}− величина тормозящей силы, отнесённая к её максимальному значению; γ = u_{4}− угол крена; α− угол атаки; S = 55 м^{2}− характерная площадь самолёта; q^{0}− скоростной напор; c_{x}− коэффициент лобового сопротивления; c_{s}− секундный расход топлива; g = 9.81 м/с^{2}. Заметим, что ρ(h) и a(h) будут постоянными.

Ограничения на управления и их производные: 0.05 ⩽ u_{1} ⩽ 1; 0.01 ⩽ u_{2} ⩽ 1; 0 ⩽ u_{3} ⩽ 1;

|\frac{du_{1}}{dt} | ⩽ 0.2; |\frac{du_{2}}{dt} | ⩽ 0.25; |\frac{du_{3}}{dt} | ⩽ 1; |\frac{du_{4}}{dt} | ⩽ 1.57 рад/с;  (3)

Начальные условия для фазовых координат и значения управлений:

x_{1}(0) = x_{2}(0) = x_{4}(0) = 0; h(0) = 7000 м; x_{3}(0) = 300 м/с;
x_{5}(0) = 20000 кГ; u_{1}(0) = u_{1}^{0}; u_{2}(0) = 1/N(x(0)); u_{3}(0) = u_{3}^{0}; u_{4}(0) = 0.  (4)

Конечные значения фазовых координат и управлений:

h(T) = 7000 м; x_{4}(T) = −π; u_{2}(T) = 1/N(x(T)); u_{4}(T) = 0.  (5)

Для задачи (2) − (5) фазовый вектор x ∈ E^{5}, а вектор управлений u ∈ E^{4}. Рассмотрим численное решение одной её подзадачи.

4. Численное решение задачи (2) − (5). Здесь она численно решается по методике из [2] − [3]. На ММ (2) − (5) ставится задача оптимального быстродействия: найти вектор u(t) управлений, удовлетворяющий системе (2), ограничениям (3), (5) и переводящий самолёт из горизонтального полёта на высоте 7000 м в горизонтальный полёт на высоте 7000 м с разворотом вектора скорости на 180 градусов за наименьшее время при условиях (4).

Минимизируется время движения T, условия (5) образуют систему терминальных ограничений. Начальные приближения для МШФ: T_{0} = 20 c; u_{1}(t) = 0, 476; u_{2}(t) = 0, 31; u_{3}(t) = 0, 001; u_{4}(t) = 1, 5 sin(πt/T_{0}). Результаты решения приведены в таблицах 1 и 2.

Таблица 1

\begin{matrix}t & m(t) & V & η^{0} & D & Z \\ 0 & 20000,0 & 300,0 & 0,0 & 0,0 & 0,0 \\ 0,79145 & 19996,945 & 303,334 & -0,00001 & 249,300 & 0,00001 \\ 1,5829 & 19993,885 & 305,231 & -3,35100 & 501,370 & 0,00002 \\ 2,3743 & 19990,821 & 304,796 & -10,7920 & 754,583 & 14,827 \\ 3,1657 & 19987,758 & 301,469 & -20,5470 & 1003,389 & 62,255 \\ 4,7486 & 19984,700 & 291,093 & -42,5740 & 1447,516 & 279,245 \\ 6,3314 & 19978,613 & 281,931 & -63,9180 & 1767,756 & 633,777 \\ 7,9143 & 19972,556 & 273,879 & -84,6130 & 1933,061 & 1066,470 \\ 9,4971 & 19966,527 & 266,776 & -104,737 & 1935,865 & 1516,841 \\ 11,080 & 19960,520 & 260,488 & -124,356 & 1788,287 & 1930,352 \\ 12,663 & 19954,534 & 254,904 & -143,530 & 1517,429 & 2263,059 \\ 14,246 & 19948,564 & 249,934 & -162,308 & 1160,299 & 2484,284 \\ 15,037 & 19942,610 & 249,043 & -170,451 & 962,427 & 2547,403 \\ 15,829 & 19940,685 & 249,175 & -176,723 & 758,340 & 2581,734 \\ 16,620 & 19939,402 & 250,030 & -180,081 & 551,614 & 2593,571 \end{matrix}

Обозначения в таблице 1: m(t) – переменный вес самолёта в моменты времени t по мере расхода горючего; V – скорость самолёта; η^{0} – угол курса в градусах; D – продольная дальность; Z – боковая дальность.

Полученное в таблице 1: η = −180, 081^{0} соответствует значению η = −3, 1430018; время счёта для одного значения штрафного коэффициента (it = 5) 10 с, всего 30 с. В таблице 2 γ_{max} = 1, 2636 соответствует максимальному углу крена 72^{0}24′. Конечное значение ограничения равенства u_{2}(T) − 1/N(x(T)) = 0, 000004.

Таблица 2 Оптимальные значения управляющих переменных

\begin{matrix}t & u_{1}(t) & u_{2}(t) & u_{3}(t) & u_{4}(t) \\ 0,0 & 0,7550 & 0,01 & 0,001 & 0,00001 \\ 0,79145 & 0,7550 & 0,1800 & 0,001 & 0,7200 \\ 1,5829 & 0,7550 & 0,4400 & 0,001 & 1,26360 \\ 2,3743 & 0,7550 & 0,6800 & 0,001 & 1,26360 \\ 3,1657 & 0,7550 & 0,8900 & 0,001 & 1,26360 \\ 4,7486 & 0,7550 & 1,0000 & 0,001 & 1,26360 \\ 6,3314 & 0,7550 & 1,0000 & 0,001 & 1,26360 \\ 7,9143 & 0,7550 & 1,0000 & 0,001 & 1,26360 \\ 9,4971 & 0,7550 & 1,0000 & 0,001 & 1,26360 \\ 11,080 & 0,7550 & 1,0000 & 0,001 & 1,26360 \\ 12,663 & 0,7550 & 1,0000 & 0,001 & 1,26360 \\ 14,246 & 0,7550 & 0,8800 & 0,001 & 1,26360 \\ 15,037 & 0,6100 & 0,6800 & 0,001 & 1,26300 \\ 15,829 & 0,4760 & 0,4500 & 0,024 & 0,88000 \\ 16,620 & 0,4760 & 0,1936 & 0,024 & 0,00000 \end{matrix}

Системе (2) соответствует функция Понтрягина H(x, u, p) = ∑_{i=1}^{i=5} p_{i}f_{i}(x, u), где начальные значения сопряжённых переменных p_{i}(0) = c_{i} = 1, i ∈ {1 : 5}, а вычисленный в ходе минимизации вектор сопряжённых переменных равен

p(T) = (1, 00049; 1, 00215; 0, 99995; 1, 00000; 0, 99996).

5. Вывод. Результаты показывают работоспособность предлагаемого метода при решении ЗОУ, достаточную скорость и точность минимизации.

ЛИТЕРАТУРА 1. Малинов В.Г. Проекционный двухшаговый обобщенный двухпараметрический метод минимизации первого

порядка с переменной метрикой // Учёные записки УлГУ. Серия Фундаментальные проблемы математики и механики. Ульяновск: УлГУ, 2003. Вып. 1 (13). С. 127-138.

2. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432 с.

3. Дикусар В.В., Милютин А.А. Качественные и численные методы в принципе максимума. М.: Наука, 1989. 141 с.

Abstract: the article deals with new projection generalized two-step two-stage methods of minimization of functions with ravine-type hipersurfaces in Euclidean space; using proposed methods test problem optimization of the trajectory of airplane is being solved; we also present the results of some computational experiences.

Keywords: Projection generalized two-step two-stage methods; Minimization; Variable Metric; Optimal trajectory; Airplane.

Малинов Валериан Григорьевич к. ф.-м. н., доцент Ульяновский государственный университет Россия, Ульяновск e-mail: vgmalinov@mail.ru Valerian Malinov candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Ulyanovsk State University Russia, Ulyanovsk e-mail: vgmalinov@mail.ru

УДК 378.147.515

ФОРМИРОВАНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ МОБИЛЬНОСТИ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА КАК ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} О. А. Малыгина

Ключевые слова: профессиональная мобильность; системно-деятельностная технология обучения; принципы экспериментального обучения.

Аннотация: Формирование профессиональной мобильности студентов, обучающихся по наукоемким техническим направлениям, является одной из актуальных проблем высшей школы; автором разрабатывается научно-методическая концепция, основанная на системно-деятельностном подходе к обучению и обеспечивающая решение проблемы, начиная с младших курсов технического университета; реализация концепции осуществляется на материале курса высшей математики, содержание которого строится на новых принципах.

Выполнение социального заказа по подготовке компетентных профессионально мобильных специалистов, бакалавров и магистров по наукоемким техническим направлениям предполагает реализацию такого обучения, которое бы позволяло уже на младших курсах университета (вуза) при изучении дисциплин фундаментального цикла сформировать у студентов основу профессиональной мобильности. Общеизвестно, что высшая математика играет значительную роль в базовой подготовке выпускников наукоемких технических направлений. В связи с этим формирование основы профессиональной мобильности можно начинать уже в процессе обучения студентов этих направлений высшей математике. Но традиционная модель изучения высшей математики в техническом университете (вузе) не обеспечивает достижения поставленной цели. Таким образом, имеет место противоречие между реальными потребностями в формировании основы профессиональной мобильности учащихся наукоемких технических направлений уже на младших курсах, в частности при изучении высшей математики, и функционирующей в высшей школе моделью обучения. Разрешение выделенного противоречия предполагает разработку научно-методической концепции, обеспечивающей формирование основы профессиональной мобильности в процессе обучения студентов наукоемких технических направлений высшей математике. Такова педагогическая проблема.

Теоретическими основаниями разрабатываемой автором научно-методической концепции, обеспечивающей формирование основы профессиональной мобильности в процессе обучения студентов наукоемких технических направлений высшей математике, являются психологическая теория деятельности учения и системный подход. Реализация концепции предполагает внедрение экспериментального обучения высшей математике в высшей профессиональной школе. Рассмотрим основные принципы предлагаемой модели обучения.

Совершенствование обучения в высшей профессиональной школе должно охватывать несколько направлений. Одним из них является перестройка содержания обучения на основе использования взаимосвязей профессиональной компоненты образования с математической и методологической составляющими содержания обучения, а также с личностными аспектами подготовки специалистов, бакалавров, магистров. Другими направлениями, непосредственно связанными с первым, выступают введение системно-деятельностной технологии обучения и осуществление повышения квалификации преподавательского состава вуза с учетом последних психолого-педагогических разработок.

Усвоение преподавателем основ системно-деятельностного подхода в обучении строится на следующих принципах:

1. Принцип интеграции современных технологий обучения.

2. Принцип модульности при построении содержания обучения.

3. Принцип построения содержания каждого модуля в логике системного исследования.

4. Принцип описания содержания обучения в единстве общего, особенного и единичного.

5. Принцип предметной деятельности учащегося.

6. Принцип развивающего обучения.

Формирование профессиональной мобильности будущих выпускников университета (вуза) в процессе обучения высшей математике осуществляется уже подготовленным преподавателем. Такая деятельность предполагает формирование мотивации у студентов по усвоению соответствующих компетенций, обеспечивающих их профессиональную мобильность; формирование ориентировочной основы профессиональной мобильности; осуществление контрольно-коррекционной функции. Содержание ориентировочной основы профессиональной мобильности включает инвариантные, специальные и особенные составляющие. В процессе экспериментального обучения формируются инвариантные составляющие: методологическая, математическая, критически-оценочная, творческая, элементы профессиональной и социально-организационной составляющих.

Экспериментальное обучение студентов высшей математике строится на следующих принципах:

1. Принцип интеграции современных технологий обучения.

2. Принцип построения содержания курса высшей математики в логике системного исследования.

3. Принцип описания курса высшей математики в единстве общего, особенного и единичного.

4. Принцип предметной деятельности учащегося.

5. Принцип развивающего обучения.

6. Принцип оптимального сочетания фундаментальности и профессиональной направленности обучения высшей математике в техническом вузе.

Общим принципом, определяющим функционирование двух обучающих подсистем (обучение педагога и обучение студента), является принцип единства основ подготовки педагога и ученика по экспериментальной программе с учетом особенностей каждого субъекта процесса.

Реализация поставленных целей обеспечивается посредством специально разработанной методической модели, включающей учебно-методические комплексы по целому ряду математических дисциплин, систему качественных и количественных параметров оценки результатов обучения и NPS-технологию оценки эффективности эксперимента.

К результатам внедрения научно-методической концепции в учебный процесс можно отнести развитие личности педагога и студента, формирование профессиональной мобильности каждого из них (конечно, в разной степени).

Abstract: Formation of professional mobility for students studying high-tech disciplines is one of topical interests of higher school; the author develops scientific-and-methodical concept based on principles the systemactivity approach to training technology; this concept gives solution the problem from beginning courses of technical university; realization of this concept is fulfilled on the base of higher mathematics course; the contents of this course is constructed on the base of new principles.

Keywords: professional mobility; systems activity-based technology of teaching; new principles of teaching.

Малыгина Ольга Анатольевна к. п. н., доцент Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет) Россия, Москва e-mail: shuhov@rosno.ru Olga Malygina candidate of ped. sciences, senior lecturer Moscow State Institute of Radiotechnics, Electronics and Automatics (Technical University) Russia, Moscow e-mail: shuhov@rosno.ru

УДК 621.01.512

ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ СИСТЕМЫ ЧАСТОТНО-ФАЗОВОЙ

АВТОПОДСТРОЙКИ ЧАСТОТЫ С ИНВЕРТИРОВАННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ЧАСТОТНОГО ДЕТЕКТОРА

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} С. С. Мамонов

Ключевые слова: вращательные режимы; предельные циклы; частотная автоподстройка.

Аннотация: Рассматривается система частотно-фазовой синхронизации с инвертированной характеристикой частотного кольца; для случая фильтров первого порядка получены условия существования нескольких вращательных режимов; на примере системы с синусоидальной нелинейностью рассмотрено влияние инвертированной характеристики частотного кольца на вращательные режимы.

Рассматривается математическая модель системы частотно-фазовой автоподстройки частоты (ЧФАПЧ) с инвертированной нелинейной характеристикой частотного детектора. Динамика системы ЧФАПЧ определяется системой дифференциальных уравнений вида [1, 2]:

ẋ = Ax + bφ (σ) − d\frac{2αβ (c^{T} x + ρφ (σ))}{1 + β^{2} (c^{T} x + ρφ (σ))^{2}} , σ̇ = c^{T} x + ρφ (σ) ,  (5)

где b, c, d, x ∈ ℝ^{2}, α > 0, β > 0, ρ ⩽ 0, φ (σ) − Δ-периодическая функция.

Рабочими режимами для системы ЧФАПЧ являются режимы синхронизации. Нахождение условий синхронного режима связано с исследованием асинхронных режимов, особенностью которых является нарастание разности фаз. Среди асинхронных режимов выделяют вращательный режим, соответствующий предельному циклу второго рода системы (10). Вращательный режим представляет интерес, так как он предшествует режиму синхронизации. Исследование системы (10) проведено в работах [3 – 6].

О п р е д е л е н и е 1. Если для системы (10) существует предельный цикл второго рода Φ(x, σ) = colon (x(t), σ(t)), для которого c^{T} x (t) > 0 при любом t ∈ (−∞; +∞), то Φ(x, σ) называется положительным предельным циклом второго рода, если c^{T} x (t) < 0 при любом t ∈ ∈ (−∞; +∞), то Φ(x, σ) называется отрицательным предельным циклом второго рода.

Для системы (10) получены условия существования положительных и отрицательных предельных циклов второго рода.

Т е о р е м а 1. Пусть для системы (1) выполнены условия:

1) матрица A−гурвицева;

2) c^{T} b = −Γ < 0, c^{T} A = l^{T}, c^{T} d = −δ_{1} < 0, l^{T} b = ν, l^{T} d = δ_{2} ,l^{T} A = −a_{1}l^{T} − a_{2}c^{T},

rang ∥c, l∥ = 2;

3) γ_{1} = νΓ^{−1}a_{1} − ν^{2}Γ^{−2} − a_{2} ⩽ 0, γ_{2} = νδ_{1}Γ^{−1} − δ_{2} ⩽ 0, γ_{1}^{2} + γ_{2}^{2} > 0,γ_{3} = a_{1} − νΓ^{−1} > 0;

4) система уравнений

ẏ = −λ_{1}y − φ (σ) + \frac{2sλr (y − kφ (σ))}{1 + (λr)^{2} (y − kφ (σ))^{2}} , σ̇ = y − kφ (σ)  (6)

при λ_{1} < νΓ^{−3/2}, λ = νΓ^{−3/2}, r = Γ^{2}βν^{−1}, s = αδ_{1}Γ^{−1}, k = −ρΓ^{−1/2} имеет предельный цикл второго рода F^{+} (σ) > 0, max_{σ} F^{+} (σ) = M_{1};

5) система уравнений (2) при λ_{1} = λ̄_{1} > νΓ^{−3/2}, λ = νΓ^{−3/2} , r = Γ^{2}βν^{−1}, s = = αδ_{1}Γ^{−1}, k = −ρΓ^{−1/2} имеет предельный цикл второго рода F_{0}^{+} (σ) > 0, F^{+} (σ) > > F_{0}^{+} + (σ), F_{0}^{+} (σ) − kφ (σ) ⩾ m_{2} > 0 для любого σ ∈ (−∞; +∞), min_{σ} F_{0}^{+} (σ) = m_{0}, min_{σ} φ (σ) = = −m < 0;

6) −γ_{1}M_{1} − 2γ_{2}αβ (M_{1} + km) (1 + β^{2}Γm_{2}^{2})^{−1} < γ_{3}\sqrt{Γ}m_{0} (λ̄_{1} − νΓ^{−3/2}); тогда система (1) имеет положительный предельный цикл второго рода.

Т е о р е м а 2. Пусть для системы (1) выполнены условия 1), 2) 3) теоремы 1 и справедливы утверждения:

1) система уравнений (2) при λ_{1} < νΓ^{−3/2}, λ = νΓ^{−3/2}, r = Γ^{2}βν^{−1}, s = αδ_{1}Γ^{−1}, k = = −ρΓ^{−1/2} имеет предельный цикл второго рода F^{−} (σ) < 0, max_{σ} |F_{0}^{−} (σ)| = M_{2};

2) система уравнений (2) при λ_{1} = λ̄_{1} > νΓ^{−3/2}, λ = νΓ^{−3/2} , r = Γ^{2}βν^{−1}, s = = αδ_{1}Γ^{−1}, k = −ρΓ^{−1/2} имеет предельный цикл второго рода F_{0}^{−} (σ) < 0, 0 > F_{0}^{−} (σ) > > F^{−} (σ), F_{0}^{−} (σ) − kφ (σ) ⩽ −m_{3} < 0 для любого σ ∈ (−∞; +∞), min_{σ} |F_{0}^{−} (σ)| = m_{2}^{−}, max_{σ} φ (σ) = M > 0;

3) −γ_{1}M_{2} − 2γ_{2}αβ (M_{2} + kM) (1 + β^{2}Γm_{3}^{2})^{−1} < γ_{3}\sqrt{Γ}m_{2}^{−} (λ̄_{1} − νΓ^{−3/2}); тогда система (1) имеет отрицательный предельный цикл второго рода.

На примере системы ЧФАПЧ с фильтрами первого порядка рассмотрено влияние частотного кольца на область параметров для вращательных режимов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жилин Н.С. Принципы фазовой синхронизации в измерительной технике. Томск: Радио и связь, 1989.

2. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1984.

3. Шалфеев В.Д. К исследованию нелинейной системы частотно-фазовой автоподстройки частоты с одинаковыми интегрирующими фильтрами в фазовой и частотной цепях // Радиофизика. 1969. Т. 12. �7. C. 1037-1051.

4. Пономаренко В.П. Об устойчивости системы частотной автоподстройки с фильтром второго порядка // Радиотехника и электроника. 1982. Т. 27. �1. С. 113-116.

5. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Сложная динамика автогенератора, управляемого петлей частотной автоподстройки // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42. �9. С. 1125-1133.

6. Леонов Г.А., Томаев А.М., Чшиева Т.Л. Устойчивость системы частотно-фазовой синхронизации// Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37. �4. С. 671-679.

Abstract: the system of frequency-phase synchronization with the inverted characteristic of a frequency ring is considered; for cases of filters of the first order conditions of existence of several rotary modes are received; on an example of system with sinusoidal nonlinearity influence of the inverted characteristic of a frequency ring on rotary modes is considered.

Keywords: : rotary modes; limiting cycles; frequency auto fine tuning.

Мамонов Сергей Станиславович к. ф.-м. н., доцент Рязанский государственный университет Россия, Рязань e-mail: m.terehin@rsu.edu.ru Sergey Mamonov candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Ryasan State University Russia, Ryasan e-mail: m.terehin@rsu.edu.ru

УДК 519.85

TWO WORLDS OF MATHEMATICAL FORMULAS: MATHEMATICA` S AND CLASSICAL

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} O. Marichev

Keywords: mathematical formulas; functions site; system Mathematica.

Abstract: This talk shows how developing mathematical formulas for site of mathematical functions makes effect on developing system Mathematica and back.

So happened that during centuries nobody seriously investigated how to build internally consistent world of mathematical formulas for analytical functions on the base of the following general restriction: the arguments (arg) of all complex variables z should satisfy inequality -π < arg (z) ⩽ π.

Appearance of mathematical computer systems demanded from developers to fill out this hole in the theory of analytical mathematical functions. As result, we have new, sometimes different from classical, but internally logically consistent world of these functions and corresponding formulas, presented at the functions site (www.functions.wolfram.com) and realized at the computer system Mathematica. The functions there can be evaluated for all possible values of variables, including their branch cut values.

For example, the value \sqrt{−z^{2}} can be correctly presented as ize^{iπ⌊− \frac{arg(z)}{π} ⌋} or \sqrt{−z}\sqrt{z} (where ⌊x⌋ means the maximal integer less than or equal to x, it is Floor function), the formula \sqrt{1 − z^{2}} = \sqrt{1 − z}\sqrt{1 + z} is correct formula for all complex z-plane and formula \sqrt{−1 + z^{2}} = \sqrt{−1 + z}\sqrt{1 + z} is correct not everywhere at the complex z-plane (it is wrong for z < −1), the correct formula for logarithm from product has special additional term, including floor-arg construction: log(wz) = log(w) + log(z) + + 2iπ ⌊\frac{1}{2} − \frac{arg(w)}{2π} − \frac{arg(z)}{2π}⌋.

The author of the talk works as developer of calculus related functionality of Mathematica for over 18 years.He derived thousands of new formulas in different areas of elementary and special functions, which are included into the functions site (http : // functions.wolfram.com/) and describe mentioned above Mathematica` s world of mathematical formulas. This talk shows how developing mathematical formulas for functions site makes effect on developing system Mathematica and back.

Аннотация: В докладе показывается, как разработка математических формул для сайта математических функций влияет на развитие системы "Mathematica"и наоборот.

Ключевые слова: математический формулы; сайт функций; система "Mathematica".

Маричев Олег Игоревич ведущий разработчик Wolfram Research Inc. США, Урбана e-mail: oleg@wolfram.com Oleg Marichev leading former Wolfram Research Inc. USA, Urbana, IL e-mail: oleg@wolfram.com

УДК 517.958

THE FILIPPOV THEORY AND ITS APPLICATION TO GENE REGULATORY NETWORKS ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} A. Machina

Keywords: piecewise-linear differential system; singular stationary point; differential inclusion; Filippov solution.

Abstract:We study some properties of piecewise-linear differential systems describing gene regulatory networks, where the dynamics is governed by sigmoid-type nonlinearities which are close to or coincide with the step functions. To overcome the difficulty of describing the dynamics of the system near singular stationary points (i.e. belonging to the discontinuity set of the system) we use the concept of Filippov solutions. It consists in replacing differential equations with discontinuous right-hand sides with differential inclusions with multi-valued functions. The global existence and some basic properties of Filippov solutions such as continuous dependence on parameters are studied. We also study uniqueness and non-uniqueness of the Fillipov solutions in singular domains. The concept of Filippov stationary point is extensively exploited in the paper. We compare two approaches in defining the singular stationary points: based on Fillipov theory and based on replacing step functions by steep sigmoids and investigating the smooth systems thus obtained.

An important feature of genetic networks as well as of many other complex biological systems is the presence of thresholds causing switch-like interactions between genes. Such interactions can be described by the so-called "sigmoids", smooth monotone functions assuming the values between 0 and 1 and rapidly increasing around the threshold. The resulting nonlinear system can be however too complicated to be studied theoretically and even numerically, as the number of the system’s variables may be huge. To simplify the analysis it is common to replace sigmoids with step functions, which converts the original smooth system into a switching system with discontinuous right-hand sides. Such a replacement can only be considered admissible if the dynamics of the "idealized"(i.e. switching) systems do mimic the dynamics of the original smooth system. In [1] and [2] it is observed that in many cases the qualitative behavior of the solutions does not changed under such replacements. This analysis was continued in the papers [3-6], where a special emphasis was put on the behavior of solutions around steady states (equilibrium concentrations) lying close to one or more threshold values. Such states are of interest as they represent homeostatic states in the model. However, if we use the idealized model based on discontinuous right-hand sides, we should first be able to define the very notion of the homeostatic states (which in the limit may end up in the discontinuity set) and to describe an efficient way to identify such states without any additional information from the smooth system.

1The work is supported by Norwegian State Educational Loan Fund.

Basically, there are two ways of solving this problem. The first one is based on the implicit function theorem and goes back to the papers [4-6]. Another approach utilizes the concept of differential inclusions and the so-called "Filippov solutions"[7, 8]. Both approaches have their advantages and disadvantages. For instance, in the second approach we may obtain steady states that are not limits of the proper steady states coming from the smooth model. On the other hand, the results obtained in the framework of the first approach can be too restrictive. However, as far as we know in the available literature there is no attempt to compare these two approaches from the mathematical point of view.

The present work is aimed to fill partly the gap between the two approaches. However, the main objective of the work is different. Although the very idea to use the Filippov framework to the analysis of gene regulatory networks seems to be suggested in [7], no detailed justification of this approach was offered in this paper. Nor was it compared mathematically to the alternative approach from [4-6].

We wanted to look at the Filippov approach a little bit more systematically starting with the very concept of the Filippov solution which can be defined in three different ways (in [7] only one of the definitions is used). We proved that two of the definitions (where the right-hand sides are convex though constructed in different ways) are in fact equivalent in the case of the gene regulatory networks, while the third gives a different inclusion with a non-convex right-hand side, thus giving a different set of stationary solutions. However, it is the latter definition that covers the homeostatic states in the model, while the first two may produce stationary solutions of quite a different nature.

We studied some basic properties of Filippov solutions of the systems in question putting emphasis on global existence and continuous dependence on parameters. In particular, these results can be used to justify similarities between the "real-world"model based on smooth interactions (sigmoids) and the idealized model based on step-like interactions.

We studied uniqueness and non-uniqueness of Filippov solutions in the singular domains (i. e. in the set of discontinuity points of the right-hand side). For instance, we showed that the solution is unique in the black and transparent walls (see e.g. [4]), while the white walls usually give rise to infinitely many Filippov solutions.

Stationary solutions were also discussed. We compared the two approaches mentioned above. Roughly speaking we showed that the main difference between them amounts to the difference between non-equivalent definitions of the Filippov solutions. In the case of the non-convex right-hand side we get stationary points in the sense of [4], while in the case of the convex right-hand side we obtain stationary points in the sense of [4]. Although the second approach gives more stationary points than the first one, we showed that the Filippov stationary points that are limits of convergent (as steepness parameter q → 0) sequences of stationary points of smooth systems are indeed the Fillipov solutions in the sense of definition with non-convex right-hand sides. We also introduced some examples of stationary points in the sense of [7], which at the same time are not stationary points in the sense of [4].

References

1. Glass L., Kaufmann S.A. Co-operative components, spatial localization and oscillatory cellular dynamics // J. Theor. Biol. 1972. V. 34. P. 219-237.

2. Glass L., Kaufmann S.A. The logical analysis of continuous, non-linear biochemical control networks // J. Theor. Biol. 1973. V. 39. P. 103-129.

3. Mestl T., Plahte E., and Omholt S.W. A mathematical framework for describing and analysing gene regulatory networks // J. Theor. Biol. 1995. V. 176. P. 291–300.

4. Plahte E., Kjoglum S. Analysis and generic properties of gene regulatory networks with graded response functions // J. Physica D. 2005. V. 201. P. 150–176.

5. Plahte E., Mestl T., Omholt S.W. Global analysis of steady points for systems of differential equations with sigmoid interactions // J. Dynamics and Stability of Systems. 1994. V. 9. P. 275–291.

6. Plahte E., Mestl T., Omholt S.W. A methodological basis for the description and analysis of systems with complex switch-like interactions // J. Math. Biol. 1998. V. 36. P. 321–348.

7. Gouze J.-L. and Sari T. A class of piecewise linear differential equations arising in biological models // Dynamical Systems: An International Journal. 2002. V. 17. P. 299-316.

8. Jong H. de, Gouze J.-L., Hernandez C., Page M., Sari T., and Geiselmann J. Qualitative simulations of genetic regulatory networks using piecewise linear models // Bulletin of mathematical biology. 2004. V. 66 (2). P. 301-340.

Аннотация: Рассматриваются свойства кусочно-линейных дифференциальных систем, описывающих генные регуляторные сети, в которых динамика управляется сигмоидальными нелинейными функциями, близкими по поведению к ступенчатым функциям. Для того чтобы преодолеть трудность описания динамики вблизи сингулярных стационарных точек (т.е. принадлежащих множеству разрыва системы), используется понятие решений Филиппова. Оно состоит в замене дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями дифференциальными включениями с многозначными функциями. Изучается вопрос о существовании глобального решения Филиппова, а также его некоторые основные свойства, как, например, непрерывная зависимость от параметров. Рассматривается единственность и неединственность решений Филиппова в сингулярных областях. Вводится понятие стационарной точки по Филиппову. Сравниваются два подхода к определению стационарной точки: основанное на теории Филиппова и основанное на замене ступенчатых функций сигмоидами.

Ключевые слова: кусочно-линейные дифференциальные системы; сингулярные стационарные точки; дифференциальные включения; решения Филиппова.

Machina Anna post-graduate student Norwegian University of Life Sciences Norway, Aas e-mail: annama@umb.no Мачина Анна Николаевна аспирант Норвежский университет естественных наук Норвегия, Ос e-mail: annama@umb.no УДК 517.713

ПРИМЕНЕHИЕ СВОЙСТВ КОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ В АЛГОРИТМАХ ВЕРШИННОЙ МИНИМИЗАЦИИ

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} А. А. Мельникова

Ключевые слова: недетерминированные конечные автоматы; базисный автомат; вершинная минимизация; дискретная оптимизация; эвристические алгоритмы.

Аннотация: С помощью базисного автомата рассматриваются свойства конечных недетерминированных автоматов Рабина-Скотта (Медведева), используемые для применения эвристических алгоритмов к задаче вершинной минимизации конечных автоматов.

Большое значение для работы алгоритмов, реализуемых для регулярных языков, имеет их представление в виде конечных автоматов, отвечающих одному из критериев минимальности: имеющих минимальное число дуг, или минимальное число вершин, и минимальное суммарное число вершин и дуг. Это связано с уменьшением времени работы алгоритма, повышением его эффективности. В данной статье, являющейся продолжением статьи [5], рассматриваютсяся свойства конечных автоматов, позволяющие использовать эвристические методы принятия решений для решения одного из класса задач дискретной оптимизации —– задач вершинной минимизации конечных недетерминированных автоматов, а также для решения других задач дискретной оптимизации (см. [1–5]). В эвристиках для данной задачи дискретной оптимизации, содержащих генетические алгоритмы, применяются указанные свойства, доказываемые с помощью так называемого базисного автомата. Используется и сам базисный автомат как основа для построения любого автомата.

Регулярный язык L над алфавитом Σ может быть задан конечным недетерминированным автоматом Рабина–Скотта (Медведева) K = ( P, Σ, δ, S, F), где P — некоторое множество состояний; δ — функция переходов; S ⊆ P и F ⊆ Q — соответственно множество стартовых и финальных состояний. Пусть автомат K̃ — автомат в канонической форме, эквивалентный автомату K; кроме того, K̃^{R} — автомат в канонической форме, определяющий язык L^{R}, инверсный языку L. Строится базисный автомат, определённый автором в статье [2]. В статье [5] также приводится определение базисного автомата и некоторые его свойства, которые могут быть названы свойствами таблицы соответствующих состояний, задающей отношение #, введённое в [1]. Существуют бинарные отношения, для которых нельзя сформировать указанную таблицу, которые не могут представлять собой отношение # ни для какого регулярного языка. Например, когда в таблице отношения # число столбцов значительно больше числа строк. Действительно, пусть K̃ содержит n состояний. Тогда n состояний содержит и автомат K̃^{R}, инверсный к K̃, определяющий инверсный язык L^{R}. Значит, канонический автомат K̃^{R} для этого инверсного языка содержит не более 2^{n} состояний. Таким же будет число возможных столбцов таблицы отношения #, в которой n строк. Не может быть, например, таблицы из 5 строк и 33 столбцов, поскольку 33 > 25. Теоремы 1 и 2 из [5], формулируют некоторые необходимые условия для таких бинарных отношений.

Рассматривается ещё одно свойство базисного автомата, описывающее возможность построения любого конечного автомата для данного регулярного языка с помощью дублирования или объединения некоторых состояний базисного автомата, которое публиковалось в статье [3], здесь же приводится в несколько улучшенной формулировке. Обозначим через J^{q_{1},q_{2}} автомат, полученный из исходного автомата объединением состояний q_{1}, q_{2}, используем также понятие псевдоблока, определённое в [1]. Детальная формулировка данного свойства достаточно длинна, хотя его доказательство на основе некоторых ранее доказанных фактов просто.

Т е о р е м а 1. Каждый конечный автомат для данного регулярного языка, который не содержит бесполезных или недостижимых состояний, может быть построен на основе базисного автомата для этого языка следующим образом.

1) Дублируем каждое состояние базисного автомата. То есть, в добавление к состоянию (A, X), рассматриваем состояния (A, X)^{(1)}, …, (A, X)^{(n)} для некоторого n ⩾ 1.^{1} При этом для каждой дуги базисного автомата δ_{T} (q, (A, X)) ∋ a добавляем новые дуги δ_{T} (q, (A, X)^{(i)}) ∋ a для каждого возможного i (то есть для 1 ⩽ i ⩽ n) и для каждого состояния q получившегося автомата. Аналогично, для каждой дуги базисного автомата δ_{T} ((A, X), q) ∋ a добавляем дуги δ_{T} ((A, X)^{(i)}, q) ∋ a – также для каждого возможного i. Кроме того, вершина (A, X)^{(i)} для каждого возможного i в получившемся автомате будет являться стартовой (финальной) тогда и только тогда, когда (A, X) – стартовая (финальная).^{2}

2) Обозначим через K автомат, получившийся после предыдущего шага, или нескольких выполнений этого шага. В этом автомате выбираем некоторые вершины q_{1}, …, q_{m} так, что соответствующие вершины базисного автомата (то есть записанные без верхних индексов) формируют псевдоблок. После этого мы их объединяем, то есть заменяем K на автомат J^{q_{1},q_{2}}(J^{q_{1},q_{3}}(… J^{q_{1},q_{m}}(K) …)).

3) Удаляем из полученного автомата некоторые дуги.

В то время, как следующий шаг формулирует достаточное условие, шаги 1–3 формулируют только необходимое условие.

4) Сравниваем язык полученного автомата с заданным регулярным языком. Если они совпадают, то построенный нами автомат подходит.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассматриваемое утверждение является следствием из свойств базисного автомата: действительно, сформулированный алгоритм просто формирует такой конечный автомат, что любая последовательность переходов (работа) в нём соответствует некоторой последовательности переходов в базисном автомате. Как и ранее, будем считать соответствующими состояния, совпадающие без верхних индексов, то есть (A, X) и (A, X)^{(i)} для каждого возможного i. Следовательно, язык построенного автомата включает заданный регулярный язык. Обратное включение – следствие шага 4. Теорема доказана.

Как отмечалось в формулировке теоремы, 4-й шаг формулирует достаточное условие, шаги 1–3 формулируют только необходимое условие. Действительно, полученный за первые три шага автомат, возможно, не определяет заданный регулярный язык. Например, если просто удалить все дуги, то получим язык ∅. Кроме того, мы не можем удалить шаг 3 ещё и потому, что граф переходов автомата может быть несвязанным, даже если граф переходов базисного автомата связанный (здесь имеются в виду неориентированные графы, соответствующие графам переходов автоматов, поэтому рассуждения корректны).

В статьях [4, 5] рассматривались эвристические алгоритмы для формирования псевдо-опти-мального покрытия. Для этого выбирается подмножество блоков матрицы, элементы которой соответствуют элементам бинарного отношения #. В отличие от классического метода ветвей и границ, данный алгоритм основан на специальной модификации незавершённого метода ветвей и границ. Процедура построения блоков является отдельной эвристической подпроблемой. При этом используются 2 следующих эвристики:

1 Число n зависит от выбранного состояния базисного автомата.

2 Отметим, что результат выполнения описанного построения не зависит от порядка выбора вершин базисного автомата, а зависит только от чисел, обозначенных выше (для уже зафиксированной вершины) n.

Э в р и с т и к а A (выбор клеток). Выбирается клетка, имеющая максимально возможную сумму чисел клеток в той же строке и в том же столбце, которая не включена в текущий ответ. Э в р и с т и к а B (выбор блоков). Пусть выбрано множество блоков, содержащих клетку из строки r и столбца c.

1) Сначала строим следующий квази-блок.

a) Исключаем колонки, которые имеют 0 в позиции r. Таким же образом исключаем строки.

b) Используем алгоритм A (или его модификацию из статьи [5]) для оценивания оставшихся строк и столбцов, так что оценка суммы их значений даётся алгоритмом A. Конечно, рассматриваются только клетки со значениями, равными 1.

c) Проверяется, что существуют два столбца, или две строки, которые имеют различные оценки. В противном случае уже получен квази-блок, т. е. все соответствующие клетки имеют значение 1, и в этом случае полученный квази-блок прибавляется к множеству квази-блоков, возвращаемся к шагу b).

d) Исключаем строки и столбцы, имеющие минимальную оценку.

e) Возвращаемся к шагу b).

2) Для каждого построенного квази-блока расширим число строк и (или) столбцов так, что все соответствующие значения равны 1. Таким образом, мы можем получить 1 или 2 блока.

3) Все блоки, построенные на шаге 2, формируют финальное множество блоков.

Более подробно свойства, алгоритмы и эвристики описываются в других статьях упомянутых выше авторов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Melnikov B. A new algorithm of the state-minimization for the nondeterministic finite automata // The Korean Journal of Computational and Applied Mathematics. 1999. V. 6. No. 2. P. 277–290.

2. Vakhitova A. The basis automaton for the given regular language // The Korean Journal of Computational and Applied Mathematics. 1999. V. 6. No. 3. P. 617–624.

3. Melnikov B., Melnikova A.Some propertis of the basis finite automaton// The Korean Journal of Computational and Applied Mathematics. 2002. V. 9. No. 1. P. 135–150.

4. Melnikov B. Discrete optimization problems – some new heuristic approaches // The 8-th International Conference on High Performance Computing and Grid in Asia Pacific Region. 2005. P. 73–80.

5. Мельникова А.А. Базисные автоматы в решении проблемы оптимизации // Вестн. Тамб. ун-та. Сер.Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2007. Т. 12. Вып. 4. С. 492—494.

Abstract: with the help of the basis automata, we consider the properties of nondeterministic finite Rabin-Scott’s (Medvedev’s) automata for using heuristic algorithms in task of the state-minimization for the finite automata.

Keywords: nondeterministic finite automata; basis automaton; state minimization; discrete optimization; heuristic algorithms.

Мельникова Александра Александровна Филиал Ульяновского государственного университета в г. Димитровграде Россия, Димитровград e-mail: avahi@mail.ru Aleksandra Melnikova Branch of Ulyanovsk State University in Dimitrovgrad Russia, Dimitrovgrad e-mail: avahi@mail.ru УДК 51-76

MATHEMATICAL MODELS OF PARTLY PROTECTED FISH POPULATIONS ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} J. J. Miguel, A. Ponosov, A. Shindiapin

Keywords: population modeling; restricted fishing; delay equations.

Abstract: We propose mathematical model to examine management strategies associated with fully protected marine reserves. We consider two linked populations in adjacent areas, where one is exposed to fishing and the other is not.

Introduction.

Traditional methods of controlling fishing include: restricting the fishing season, restricting the number or biomass of fish captured, restricting the size of fish captured, restricting the places available for fishing. The last option includes the establishment of marine reserves, i. e. areas permanently closed to all fishing. Reserves could help to maintain healthy ecosystems with natural levels of species and habitat diversity. Therefore, theoretical studies of harvesting strategies are of great interest and have attracted attention of both scientists and managers.

In this work we use mathematical models to examine management strategies associated with fully protected marine reserves. We consider two linked populations in adjacent areas, where one is exposed to fishing and the other is not. Our models allow us to explore the influence of a reserve on the levels of stock biomass and catch. The key issue will also be an user-friendly software for numerical analysis of effective harvesting strategies in the context of protected marine populations.

The fishing industry in Mozambique.

Fishing is an important area of the Mozambican economy, and since l973 production and marketing of saltwater fish, shrimp, and shellfish have increased steadily. Mozambique’s offshore waters contain tuna, mackerel, sardines, and anchovies but are best known for the shrimp (prawns) that are an important export commodity. A long-term, sustainable management of the nation’s fishing resources based on scientifically approved guidelines is therefore of vital importance. A quantitative understanding of this kind can only be achieved by combining modern mathematical modeling methods with a profound knowledge of the biology of the populations.

The main mathematical model.

We consider two regions that have two habitat areas A and B, with a fish population that dispersing between the two areas. Assume that fishing takes place only in region B, with region A established as an marine reserve area or no-fishing zone.

From the point of view of fishery managers, the existence of globally attractive solutions is very important in order to plan harvesting strategies and sustain the fishing grounds. The life-history migration characteristics and management parameters, such as the fishing rates and the areas allocated to the reserve and fishing zones, may influence the dynamics of the system.

The following system of delay differential equations is studied

\begin{matrix}\frac{dx_{1}}{dt} = x_{1}(t) [1 − x_{1}^{γ_{1}}(t)] − a_{1}x_{1}(t) + a_{2}x_{2}(t) \\ \frac{dx_{2}}{dt} = x_{2}(t) [1 − x_{2}^{γ_{2}}(t − h)] + a_{1}x_{1}(t) − a_{2}x_{2}(t) − h(x_{2}(t)), \end{matrix}

1The work is supported by the Norwegian Programme for Development, Research and Education (NUFU).

where ±a_{i}x_{i}(t) are migration terms and h(x_{2}(t)) is the harvesting term. The delay in the second equation is due to the maturity period of the stock which is to be harvested. As in many other biological models we exploit more general power law nonlinearities instead of logistic ones.

Analysis of this model and its comparison with the non-delay model was done using Mathematica.

REFERENCES

1. MacDonald N. Time lags in biological models. Lecture Notes in Biomathematics: Springer-Verlag, 1978.

2. Miguel J.J. et al. Mathematical models with after-effect in population dynamics // Functional Diff. Eq. 1998. � 5 (no. 3-4). P. 377-391.

3. Shea K. et al. Management of populations in conservation, harvesting and control // Trends in Ecology and Evolution. 1998. �13 (no. 9). P. 371-375.

Аннотация: Предлагается математическая модель развития двух соседствующих популяций одного вида рыб в ситуации, когда одна из рассматриваемых популяций находится в зоне, запрещённой для рыболовства.

Ключевые слова: популяционная модель; уравнения с запаздыванием.

Мигель Жоао д. ф.-м. н., доцент Университет Едуардо Мондлане Мозамбик, Мапутy e-mail: jmiguel@uem.mz Joao Miguel doctor of phys.-math. sciences, senior lecturer Eduardo Mondlane University Mozambique, Maputo e-mail: jmiguel@uem.mz

Поноссов Аркадий д. ф.-м. н., профессор Норвежский университет естественных наук Норвегия, Ос e-mail: arkadi@umb.no Arkadi Ponossov doctor of phys.-math. sciences, professor Norwegian University of Life Sciences Norway, Aas e-mail: arkadi@umb.no

Шиндяпин Андрей д. ф.-м. н., профессор Университет Едуардо Мондлане Мозамбик, Мапутy e-mail: jmiguel@uem.mz Andrei Shindiapin doctor of phys.-math. sciences, professor Eduardo Mondlane University Mozambique, Maputo e-mail: jmiguel@uem.mz УДК 628.3

ПРЕПОДАВАНИЕ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ СТУДЕНТАМ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ В СОВРЕМЕННЫХ УСЛОВИЯХ

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Н. П. Можей

Ключевые слова: преподавание математики; учет базового уровня знаний; инновационные УМК; информационные технологии в образовании.

Аннотация: Приводятся основные принципы системы математического образования студентов экономических специальностей БГТУ.

Целью реформирования системы образования является формирование специалиста, способного к максимальной реализации интеллектуального и креативного потенциала, обладающего высоким уровнем профессиональной подготовки, сочетающего профессиональную деятельность с навыками научно-исследовательской работы и обладающего осознанной потребностью в повышении квалификации, в развитии и саморазвитии. Меняется структура высшего образования, стандарты образования, преподаватели начинают применять информационные технологии, руководить самостоятельной работой студентов, разрабатывать учебно-методические комплексы, модульные системы и внедрять современные технологии.

Основным принципом системы образования должна стать ориентация на те условия жизни и профессиональной деятельности, в которых окажется выпускник после окончания вуза. Можно указать на два критерия, которые определяют целесообразность и эффективность подготовки специалиста: социальная полезность и количество затрат на его подготовку. Наибольшее количество затрат требует фундаментальная подготовка специалиста, наиболее же быструю отдачу можно ожидать от практической подготовки. Математика относится к фундаментальным дисциплинам и является (в силу точности логического построения) идеальным инструментом формирования интеллекта.

В образовательных стандартах по высшей математике для экономических специальностей наряду с перечнем разделов, каждый из которых читается менее семестра, приводится длинный перечень знаний и умений, которые должен приобрести студент в результате обучения. В частности, в первом семестре студенты должны освоить следующие темы: прямая и плоскость, кривые второго порядка, матрицы и системы линейных уравнений, векторные пространства, функции одной переменной, пределы, производные и дифференциалы, функции многих переменных. И все это нужно успеть за 68 часов (34 лекционных и 34 практических). Однако ни для кого не секрет, что за последние годы в технические вузы приходят абитуриенты, недостаточно подготовленные по математике за курс средней школы. Как свидетельствует опрос студентов, почти во всех школах изучение теоретических вопросов практически вытеснялось решением примеров. Качество преподавания теперь стало заключаться в совершенствовании методики натаскивания на тесты. Возникает главный вопрос, связанный с качеством: что и как нужно знать абитуриенту по математике для успешного обучения в вузе? И что делать со слабо подготовленными студентами в вузе, когда, с одной стороны, изучаемые разделы никак не вписываются в количество выделенных часов, с другой стороны, преподавание на приличном уровне недоступно аудитории.

На кафедре высшей математики БГТУ при изучении математики для студентов экономических специальностей проводится планомерное диагностическое отслеживание процесса индивидуального развития. На начальном этапе определяется базовый уровень математических знаний каждого студента с использованием входной контрольной работы, которая позволяет определить пробелы, имеющиеся в школьных знаниях, и выделить студентов, имеющих хорошую математическую подготовку. Студентам предлагаются индивидуальные задания, позволяющие ликвидировать обнаруженные проблемы, что дает возможность в дальнейшем более плодотворно работать с группой. Их выполнение контролируется преподавателем. Для оказания помощи при выполнении этих заданий организуются консультации по элементарной математике. Студентам, получившим наиболее высокие баллы, предлагается посещать математический кружок, который работает в вузе. Таким образом, практически с первых дней как студент, обладающий хорошей математической подготовкой и желающий углубить и расширить свои знания, так и студент, которому для усвоения программы требуется дополнительное внимание, попадают в поле зрения преподавателя. После изучения каждого раздела студенты пишут итоговую контрольную работу. Далее, в течение семестра, проводятся две аттестации по предмету, которые позволяют определить неуспевающих и слабо успевающих студентов и, что немаловажно, позволяют студенту увидеть истинное положение вещей до сессии и принять меры к исправлению создавшейся ситуации.

Внедрение в учебный процесс инновационных учебно-методических комплексов (УМК) на основе современных информационных технологий (ИТ) призвано повысить эффективность и качество обучения и процессов контроля получаемых знаний, умений и навыков. На кафедре высшей математики БГТУ ведется работа по созданию электронных УМК. Курс разбивается на ряд законченных модулей, информация структурируется в виде графа, вершины которого соответствуют тематическим разделам, а ребра — отношениям между ними, то есть закладывается последовательность, этапность и системность обучения. Для наполнения УМК готовятся в электронном виде материал лекций, практических занятий, обучающих программ, компьютерных лабораторных работ, а также тестирующих комплексов по темам обучения. Наполнение системы материалами производится с участием обучаемых, обеспечивая предварительную апробацию, и позволяет дифференцировать сложность задач с учетом индивидуальных возможностей учащихся. Наиболее важный материал выделен и позволяет осваивать другие блоки курса, а также другие предметы, использующие наработанный аппарат. При применении ИТ в обучении экономистов следует учитывать, что используемое учебно-методическое программное обеспечение должно быть ориентировано на студентов, не имеющих специальной математической подготовки.

Отметим достоинства использования ИТ для повышения эффективности обучения. Учебные материалы, подготовленные на основе мультимедийных технологий, открывают возможности, связанные с использованием зрительной и аддитивной наглядности. Применение их на лекции позволяет использовать анимацию, звуковые эффекты, концентрировать внимание на принципиально важных моментах излагаемого материала. Во время самостоятельной проработки материала студент может на компьютере как проверить правильность решения, так и автоматизировать процесс громоздких вычислений. Можно получать графические иллюстрации, например, фазовые портреты решений дифференциальных уравнений. Визуализация информации позволяет вернуть точным наукам наглядность, исконно им присущую, но скрывающуюся за абстрактностью используемого формульного аппарата и сложностью формул. Использование вычислительной техники позволяет существенно увеличить объем расчетов, ускорить оценку и отбор различных вариантов решений. Современные компьютерные технологии сбора и обработки информации позволяют автоматизировать �техническую� сторону математического моделирования.

Результатами этой целенаправленной работы со студентами являются: подготовка докладов на студенческие конференции, подготовка статей, применение полученных знаний при изучении предметов на старших курсах. Полученные знания студенты также используют при выполнении курсовых и дипломных работ, применяя их к решению практических задач. Таким образом, они не только усваивают соответствующие математические знания, но и учатся применять их при анализе конкретных задач специальности.

Abstract: Basic principles of mathematical education of students of economical specialities in WSTU are given.

Keywords: mathematics teaching; taking into account of basic knowledge level; innovation EMC; informational technologies in education.

Можей Наталья Павловна к. ф.-м. н., доцент Белорусский государственный технологический университет Беларусь, Минск e-mail: mozhey@bstu.unibel.by Natalja Mozhey candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Whiterussian State Technological University Whiterussia, Minsk e-mail: mozhey@bstu.unibel.by

УДК 517.98

КАНОНИЧЕСКИЕ И ГРАНИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА ФЛАГОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ НАДГРУППЫ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} В. Ф. Молчанов

Ключевые слова: симметрические пространства; многообразие флагов; канонические представления; граничные представления; преобразование Березина.

Аннотация: Дается краткое описание новой теории: канонические представления на флаговых многообразиях надгруппы.

Канонические представления на эрмитовых симметрических пространствах G/K были введены Вершиком, Гельфандом и Граевым (для плоскости Лобачевского) и Березиным. Они унитарны относительно некоторого инвариантного скалярного произведения (формы Березина). Мы рассматриваем канонические представления в намного более общей постановке. Во-первых, рассматриваемые многообразия не обязательно транзитивны, открытые орбиты в них – это симметрические пространства, по преимуществу псевдо-римановы. Во-вторых, изучаемые представления не обязательно унитарны (условие унитарности оказывается слишком стеснительным), вместо локального скалярного произведения (ядро скалярного произведения есть дельта-функция) появляется либо нелокальное скалярное произведение, либо инвариантная полуторалинейная форма, не обязательно положительно (отрицательно) определенная. В-третьих, изучаемые представления действуют в различных, подчас весьма широких, пространствах функций или сечений линейных расслоений (в ядерных пространствах, пространствах обобщенных функций и др.).

Наш подход состоит в следующем. Пусть G – полупростая группа Ли. Надгруппа G̃ для G – это такая группа, что G – ее подгруппа, и эта подгруппа – сферическая, т.е. выделяется из G̃ некоторой инволюцией. Пусть P̃ – максимальная параболическая подгруппа группы G̃, пусть R̃_{λ}, λ ∈ ℂ, – серия представлений группы G̃, индуцированных характерами (одномерными представлениями) подгруппы P̃. Представления R̃_{λ} могут зависеть еще от некоторых дискретных параметров. Как правило, эти представления неприводимы. Они действуют в функциях на флаговом пространстве Ω = G̃/P̃ для надгруппы G̃, это некоторое компактное многообразие.

1Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.

Ограничения R_{λ} представлений R̃_{λ} на группу G мы называем, используя термин Вершика– Гельфанда–Граева, каноническими представлениями группы G. Они действуют в функциях на Ω.

Серия представлений R̃_{λ} обладает сплетающим оператором B̃_{λ}: он сплетает представления со значениями параметра λ и λ^{∗} = N − λ, где N – некоторое число, зависящее от Ω. Композиция этого оператора и инволюции, выделяющей группу G в G̃, порождает некоторый оператор Q_{λ}, который играет важную роль во всей теории. Мы называем этот оператор Q_{λ} преобразованием Березина. Он сплетает канонические представления с параметрами λ и λ^{∗} и порождает полуторалинейную форму (форму Березина).

Вообще говоря, многообразие Ω не является однородным пространством группы G, эта группа имеет несколько орбит на Ω. Открытые G-орбиты являются полупростыми симметрическими пространствами G/H_{i}. Они могут оказаться неизоморфными. Многообразие Ω есть замыкание объединения открытых G-орбит.

Канонические представления R_{λ} порождают граничные представления. Это – представления группы G, связанные с границами открытых G-орбит G/H_{i}, эти границы состоят из G-орбит меньшей размерности. Граничные представления распадаются на два типа: представления одного типа действуют в обобщенных функциях, сосредоточенных на объединении S границ, представления другого типа действуют в струях, трансверсальных к S (в коэффициентах рядов Тейлора по степеням "расстояния" до границы). Эти два типа двойственны друг другу. Появление граничных представлений связано как раз с широкой трактовкой понятия канонического представления. Граничные представления интересны как сами по себе (вообще, изучение представлений в обобщенных функциях, сосредоточенных на подмногообразиях, – одна из самых "горячих тем"и интригующих задач в некоммутативном гармоническом анализе), так и с точки зрения разложения канонических представлений, они "склеивают" представления на отдельных открытых G-орбитах.

Наряду с указанным понятием канонического представления можно рассматривать несколько другую его версию: ограничение канонических представлений в первом смысле на какую-нибудь одну G-орбиту G/H в Ω. Оба варианта взаимосвязаны и должны быть предметом изучения. Но первый из них приводит к более естественной и прозрачной теории. Например, в первом варианте легко написать оператор, обратный к преобразованию Березина, а во втором – это весьма трудная задача.

Однородные пространства G/H, участвующие в теории, это – симметрические полупростые пространства. Такие пространства образуют обширный и крайне важный класс однородных пространств.

Его подкласс, состоящий из римановых полупростых симметрических пространств (здесь инвариантная метрика положительно определена), более прост в изучении. При переходе от римановых пространств к псевдо-римановым симметрическим пространствам (здесь инвариантная метрика не является знакоопределенной) трудности в изучении гармонического анализа резко возрастают. Поэтому наиболее интересные задачи относятся именно к псевдо-римановым пространствам. Именно их мы по преимуществу и рассматриваем.

Среди всех симметрических полупростых пространств G/H (как римановых, так и псевдоримановых) особую роль играет подкласс симплектических симметрических пространств. В частности, на пространствах этого класса строится квантование в смысле Березина. В свою очередь, этот подкласс включает в себя следующие основные подсемейства:

а) эрмитовы симметрические пространства;

б) полукэлеровы симметрические пространства;

в) пара-эрмитовы симметрические пространства;

г) комплексификации эрмитовых симметрических пространств.

Пространства семейства а) – римановы, пространства остальных семейств – псевдо-римановы. Произвольное симплектическое пространство есть прямое произведение пространств из указанных четырех классов.

Помимо симплектических симметрических пространств важный класс образуют гиперболические пространства – вещественные (гиперболоиды), комплексные, кватернионные и октавное. Комплексные гиперболические пространства являются полукэлеровыми симметрическими пространствами.

Основные задачи этой теории – это разложение канонических и граничных представлений на неприводимые составляющие, выражение преобразования Березина через операторы Лапласа, разложение и асимптотическое поведение формы Березина.

В настоящее время конкретные вычисления проведены для следующих случаев:

а) многообразие Ω – единичная сфера S^{n−1} размерности n − 1 в ℝ^{n}, группа G – псевдоортогональная группа SO_{0}(p, q), p + q = n, надгруппа G̃ – группа SL(n, ℝ), открытые орбиты – гиперболоиды;

б) многообразие Ω – прямое произведение сфер S^{p} × S^{q−1} в ℝ^{n+1}, p + q = n, группа G – псевдо-ортогональная группа SO_{0}(p, q), p + q = n, надгруппа G̃ – группа SO_{0}(p + 1, q), открытые орбиты – гиперболоиды;

в) многообразие Ω – сфера S^{2n−2} в ℂ^{n}, группа G – псевдо-унитарная группа SU(n − 1, 1), p + q = n, надгруппа G̃ – группа SL(n, ℂ), открытые орбиты – комплексные гиперболические пространства;

г) многообразие Ω – прямое произведение сфер S^{n−1} × S^{n−1} в ℝ^{n} × ℝ^{n}, группа G – группа SL(n, ℝ), надгруппа G̃ – прямое произведение двух экземпляров группы G, открытые орбиты – пара-эрмитовы пространства ранга один.

Abstract: an outline of a new theory is given: canonical representations on flag manifolds of an overgroup. Keywords: symmetric spaces; flag manifolds; canonical representations; boundary representations; Berezin

transform.

Молчанов Владимир Федорович д. ф.-м. н., профессор Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: molchano@molchano.tstu.ru Vladimir Molchanov doctor of phys.-math. sciences, professor Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: molchano@molchano.tstu.ru УДК 517.995

БИФУРКАЦИИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} С. А. Муртазина

Ключевые слова: бифуркация; вынужденные колебания.

Аннотация: Рассматривается задача о локальных бифуркациях вынужденных колебаний двупараметрических систем автоматического регулирования. Получен новый достаточный признак бифуркации, а также предложена итерационная схема приближенного исследования бифуркации.

Рассматривается система автоматического регулирования, описываемая уравнением вида

L(\frac{d}{dt}, λ)x = M(\frac{d}{dt}, λ)f(x, t, λ),  (1)

где λ – скалярный или векторный параметр, операторные многочлены L(p, λ), M(p, λ) с вещественными коэффициентами степени n и m соответственно (n > m), гладко зависящими от параметра λ. Пусть функция f(x, t, λ) представима в виде f(x, t, λ) = c(λ)x+ε(x, t, λ), в котором T -периодическая по t нелинейность ε(x, t, λ) является гладкой по x и λ, непрерывна по t, причем |ε(x, t, λ)| = o(|x|) при |x| → 0.

Система (1) при всех значениях λ имеет нулевое положение равновесия x ≡ 0, в окрестности которой под действием вынуждающей силы f(x, t, λ) возможны различные локальные бифуркации [1], в частности, возможно возникновение ненулевых T -периодических колебаний (бифуркация вынужденных колебаний), ненулевых периодических колебаний периода kT при k > 1 (бифуркация субгармонических колебаний), почти периодических колебаний и др. В настоящей статье рассматривается задача о возникновении в системе (1) вынужденных колебаний периода T.

Значение λ_{0} параметра λ называется [2] точкой бифуркации вынужденных колебаний системы (1), если при переходе через данное значение у системы (1) возникают или исчезают малые по амплитуде периодические колебания периода T.

Положим ω = \frac{2π}{T}. Пусть выполнены условия:

U 1. L(±ωi, λ_{0}) − c(λ_{0})M(±ωi, λ_{0}) = 0, L(±ωki, λ_{0}) − c(λ_{0})M(±ωki, λ_{0}) ≠ 0 (k ≠ 1).

U 2. L(±ωki, λ_{0}) ≠ 0, k = 0, 1, 2...

Соответствующая бифуркация вынужденных колебаний имеет коразмерность равную двум и, следовательно, чтобы бифуркация была типичной, уравнение (1) должно зависеть от двух параметров. Пусть λ = (α, β).

Положим τ = W (ωi, λ_{0}), ξ = W′_{α}(ωi, λ_{0}), η = W′_{β}(−ωi, λ_{0}); здесь W (p, λ) = \frac{M(p, λ)}{L(p, λ)} – передаточная

функция линейного звена системы (1).

Т е о р е м а 1. Пусть выполнены условия U1, U2 и

c(λ_{0})Im [c(λ_{0})ξη + c′_{α}(λ_{0})τη + c′_{β}(λ_{0})ξ\overline{τ}] ≠ 0.

Тогда λ_{0} = (α_{0}, β_{0}) – точка бифуркации вынужденных колебаний системы (1).

Систему (1) можно (различными способами) записать в виде равносильной системы

x′ = A(λ)z + γf(z, t, λ), z ∈ R^{n},  (2)

где γ ∈ R^{n}–фиксированный вектор.

Пусть U(z, λ) – оператор сдвига за время от 0 до T по траекториям системы (2). Задача о бифуркации вынужденных колебаний системы (1) равносильна задаче о бифуркации малых ненулевых решений операторного уравнения z = U(z, λ), которую можно представить в виде

z = B(λ)z + b(z, λ), z ∈ R^{n},  (3)

где B(λ) – оператор сдвига [2] за время от 0 до T для линейной системы z′ = A(λ)z. Нелинейный вполне непрерывный оператор b(z, λ) удовлетворяет соотношениям:

lim_{|z|→0} sup_{|λ−λ_{0}|⩽1} \frac{|b(z, λ)|}{|z|} = 0, sup_{|λ−λ_{0}|⩽1} |b(z_{1}, λ) − b(z_{2}, λ)| ⩽ ε(ρ) |z_{1} − z_{2} |, |z_{1}|, |z_{2}| ⩽ ρ,

для некоторой функции ε(ρ) такой, что ε(ρ) → 0 при ρ → 0.

Приведем общую схему исследования бифуркации в двупараметрических операторных уравнениях вида (3), приводящую к асимптотическим формулам.

Пусть e ∈ R^{n} – некоторый вектор; значение λ_{0} назовем правильной точкой бифуркации уравнения (3) по направлению вектора e, если при любом ε > 0 существует значение параметра λ = λ_{ε} : ∥λ_{ε} −λ_{0}∥ < ε, при котором уравнение (3) имеет ненулевое решение z_{ε} так, что ∥z_{ε} −εe∥ = = o(ε) при ε → 0. Векторы z_{ε} и значения λ_{ε} назовем бифурцирующими решениями уравнения (3).

Условие U1 эквивалентно тому, что 1 является полупростым собственным значением оператора B(λ_{0}) кратности 2. Пусть e и g линейно независимые собственные векторы оператора B(λ_{0}), отвечающие собственному значению 1. Сопряженный оператор B^{∗}(λ_{0}) также имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2, которому отвечают собственные векторы e^{∗}, g^{∗}.

Т е о р е м а 2. Пусть det [ \begin{matrix}(B′_{α}(λ_{0})e, e^{∗}) & (B′_{β}(λ_{0})e, e^{∗}) \\ (B′_{α}(λ_{0})e, g^{∗}) & (B′_{β}(λ_{0})e, g^{∗}) \end{matrix} ] ≠ 0. Тогда λ_{0} – точка бифуркации

малых решений уравнения (3).

В основе схемы построения бифурцирующих решений уравнения (3) положим метод функционализации параметра.

На первом этапе рассматривается функционализированное уравнение

z = B[α(z), β(z)]z + b[z, α(z), β(z)],  (4)

где α(z) и β(z) – непрерывные функционалы, которые предлагается выбрать в виде α(z) = α_{0} + + \frac{1}{ε} [(z, e^{∗}) − ε] , β(z) = β_{0} + \frac{1}{ε}(z, g^{∗}); ε > 0 – вспомогательный малый параметр.

На втором этапе уравнение (4) изучается методом Ньютона-Канторовича. Для этого (4) представляется в виде

G(z) + W (z) = 0, G(z) = z − B[α(z), β(z)]x, W (z) = −b[z, α(z), β(z)].  (5)

Операторы G и W действуют в пространстве R^{n} и зависят от параметра ε > 0.

Положим z_{0} = εe; из условии теоремы 2 следует, что существует ограниченный оператор Γ_{0} = = [G′(z_{0})]^{−1}, при этом оператор Γ_{0} не зависит от ε. Для оператора Γ_{0} может быть получено явное представление из формулы, определяющей оператор G′(z_{0}).

Т е о р е м а 3. При всех достаточно малых ε > 0 уравнение (5) имеет в шаре S(z_{0}, \frac{ε}{4}) решение x_{ε}, которое может быть получено как предел последовательных приближений

z_{n+1} = z_{n} − Γ_{0}G(z_{n}) − Γ_{0}W (z_{n}), n = 0, 1, 2, ...

Теорема 3 позволяет получить асимптотические формулы для бифурцирующих решений уравнения (3).

ЛИТЕРАТУРА

1. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 560 с.

2. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1966. 329 с.

Abstract: In this paper we consider the local bifurcations’ problem of two-parametric control sistems’ forced oscillations. The new sufficient feature of bifurcation is received and the iterative scheme of aproximate investigation of bifurcation proposed in the article.

Keywords: bifurcation; forced oscillations.

Муртазина Сария Аширафовна старший преподаватель Сибайский институт БГУ Россия, Башкортостан, Сибай e-mail: sariamurtaz@mail.ru Sariya Murtazina senior teacher Sibai Institute of BSU Russia, Bashkortostan, Sibai e-mail: sariamurtaz@mail.ru

УДК 517.93

ЛОКАЛЬНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Н. Г. Павлова

Ключевые слова: локальная управляемость; управляемая система; система уравнений в вариациях; условие 2-регулярности.

Аннотация: Рассматривается управляемая динамическая импульсная система. В предположении, что в нефиксированном допустимом управлении выполнено условие 2-регулярности, доказана локальная управляемость этой системы.

Рассматривается управляемая система

dx(t) = f(x(t), u(t), t)dt + G(t)dμ(t), t ∈ [t_{1}, t_{2}],  (1)
x(t_{1}) = x_{1}, μ ∈ 𝕂.  (2)

Все функции, определяющие задачу, достаточно гладкие. 𝕂 — множество всех k- мерных борелевских мер μ, таких, что μ(B) ⊂ K для любого борелевского множества B, где K — заданный острый выпуклый замкнутый конус. В качестве класса допустимых управлений рассматривается множество пар (u, μ) : μ ∈ 𝕂, u ∈ L_{∞}^{m}[t_{1}, t_{2}].

Фиксируем допустимое управление (û(·), μ̂(·)).

Для заданных ξ(·), η(·) ∈ L_{∞}^{m}[t_{1}, t_{2}], ν, θ ∈ 𝕂 + Lin{μ̂} δ_{1}x_{ξν}(·) — решение системы уравнений в вариациях

d(δ_{1}x_{ξν})(t) = f_{x}(x̂(t), û(t), t)δ_{1}x_{ξν}(t)dt + f_{u}(x̂(t), û(t), t)ξ(t)dt+
+G(t)dν(t), δ_{1}x_{ξν}(t_{1}) = 0,

а δ_{2}x_{ξηνθ}(·) — решение системы уравнений в вариациях

d(δ_{2}x_{ξηνθ})(t) = f_{x}(x̂(t), û(t), t)δ_{2}x_{ξηνθ}(t)dt+
+f_{xx}(x̂(t), û(t), t)[δ_{1}x_{ξν}(t), δ_{1}x_{ηθ}(t)] + f_{xu}(x̂(t), û(t), t)[δ_{1}x_{ξν}(t), η(t)]+
+f_{xu}(x̂(t), û(t), t)[δ_{1}x_{ηθ}(t), ξ(t)] + f_{uu}(x̂(t), û(t), t)[ξ(t), η(t)],
δ_{2}x_{ξηνθ}(t_{1}) = 0.

Положим C = {y ∈ ℝ^{n} : ∃ξ ∈ L_{∞}^{m}[t_{1}; t_{2}], ∃ν ∈ 𝕂 + Lin{μ̂} : δ_{2}x_{ξν}(t_{2}) = y}, T (û(·), μ̂(·)) = = {(h, g) ∈ L_{∞}^{m}[t_{1}, t_{2}] × (𝕂 + Lin{μ̂}) : δ_{1}x_{hg}(t_{2}) = 0, ∃(h̄, ḡ) ∈ L_{∞}^{m}[t_{1}, t_{2}] × (𝕂 + Lin{μ̂}) : − −δ_{2}x_{hhgg}(t_{2}) = δ_{1}x_{h̄,ḡ}(t_{2})}.

О п р е д е л е н и е. Пусть (h, g) ∈ T (û(·), μ̂(·)). В точке (û(·), μ̂(·)) выполнено условие 2регулярности относительно K по направлению (h, g), если ∀ y ∈ ℝ^{n} ∃ ξ_{1}, ξ_{2} ∈ L_{∞}^{m}[t_{1}, t_{2}], ∃ν_{1}, ν_{2} ∈ ∈ 𝕂 + Lin{μ̂} : δ_{1}x_{ξ_{1}ν_{1}}(t_{2}) + δ_{2}x_{hξ_{2}gν_{2}}(t_{2}) = y, δ_{1}x_{ξ_{2}ν_{2}}(t_{2}) = 0.

Т е о р е м а. Пусть для задачи (1), (2) в точке (û(·), μ̂(·)) выполнено условие 2-регулярности относительно K по некоторому направлению (h, g). Тогда процесс (x̂(·), û(·), μ̂(·)) является локально управляемым в точке x̂(t_{2}), т.е. ∀ l ∈ riC ∃κ_{1} > 0, κ_{2} > 0, κ_{3} > 0 : ∀z : |z − x̂(t_{2})| < κ_{1} ∃u_{z} ∈ ∈ L_{∞}^{m}[t_{1}, t_{2}], μ_{z} ∈ 𝕂 : x(t_{2}) = z, где x(·) — решение задачи Коши

dx(t) = f(x(t), u_{z}(t), t)dt + G(t)dμ_{z}(t), x(t_{1}) = x_{1},
∥ u_{z} − û ∥_{L_{∞}^{m}} + ∥ μ_{z} − μ̂ ∥_{C^{∗}}⩽ κ_{2} (|x̂(t_{2}) − z| + ρ(x̂(t_{2}) − z, C_{κ_{3}})^{1/2})) .

Здесь ρ – расстояние от точки до множества, C_{κ_{3}} = cone(B_{κ_{3}}(l))∩LinC, B_{κ_{3}}(l) ⊂ ℝ^{n} — замкнутый шар радиуса κ_{3} с центром в точке l. Доказательство основано на использовании теоремы об обратной функции ([1]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Арутюнов А.В. Теорема о неявной функции без априорных предположений нормальности //ЖВМ и МФ. 2006. Т. 83. Вып. 3-4. С. 205-215.

Abstract: There is considered the controllable dynamic impulse system. Under the assumption that in nonfixed admissible control the 2-regularity condition is held, the local controllability of the system is proved.

Keywords: local controllability; controllable system; system of equations in variations; 2-regularity condition.

Павлова Наталья Геннадиевна к. ф.-м. н. Российский университет дружбы народов Россия, Москва e-mail: natasharussia@mail.ru Natal’ya Pavlova candidate of phys.-math. sciences Russian University of Nations Friendship Russia, Moscow e-mail: natasharussia@mail.ru УДК 517.935

РАВНОМЕРНО УСТОЙЧИВЫЕ МНОЖЕСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Е. А. Панасенко

Ключевые слова: дифференциальное включение с замкнутозначной правой частью; функции Ляпунова; равномерно устойчивое множество; слабо равномерно устойчивое множество.

Аннотация: В работе рассматривается неавтономное дифференциальное включение с замкнутозначной правой частью. Получены условия (в терминах функций Ляпунова), при которых заданное множество обладает свойством равномерной устойчивости или слабой равномерной устойчивости относительно дифференциального включения.

Пусть clos(R^{n}) — пространство всех непустых замкнутых (не обязательно ограниченных) подмножеств пространства R^{n}. Рассмотрим дифференциальное включение

ẋ ∈ F (t, x),  (1)

где F : R^{1+n} → clos(R^{n}). Решения включения (1) будем понимать в смысле Каратеодори, и, если φ : [t_{0}, τ) → R^{n} — решение включения (1), удовлетворяющее условию φ(t_{0}) = x_{0}, то будем считать, что [t_{0}, τ) является правым максимальным полуинтервалом существования t → φ(t).

Пусть, далее, задано множество ℳ ⊂ R^{1+n} такое, что для любого t ∈ R сечение M(t) ≐ {x ∈ ∈ R^{n} : (t, x) ∈ ℳ\} множества ℳ непусто, и пусть \overline{ℳ} есть замыкание, а frℳ — граница ℳ. Наряду с множеством ℳ будем рассматривать множества ℳ^{r} ≐ \overline{ℳ} + O_{r} и 𝒩_{+}^{r} ≐ ℳ^{r} \ \overline{ℳ}. Очевидно, что ℳ^{r} ∈ clos(R^{1+n}).

Везде далее будем предполагать, что найдется такое r > 0, что для любой точки (t_{0}, x_{0}) ∈ ℳ^{r} существует локальное решение φ(t) включения (1), удовлетворяющее условию φ(t_{0}) = x_{0}.

О п р е д е л е н и е 1. Множество ℳ будем называть равномерно (по начальному моменту времени t_{0}) устойчивым по Ляпунову относительно включения (1), если для некоторого r > 0 и любого ε ∈ (0, r) найдется такое δ ∈ (0, ε), что для любого t_{0} ∈ R и любого решения t → φ(t) включения (1), из условия (t_{0}, φ(t_{0})) ∈ 𝒩_{+}^{δ} следует, что (t, φ(t)) ∈ ℳ^{ε}, t ∈ [t_{0}, τ).

Если в определении 1 слова �любого решения t → φ(t) включения (1)� заменить на слова �найдется решение t → φ(t) включения (1)�, то множество ℳ называется слабо равномерно устойчивым относительно включения (1).

О п р е д е л е н и е 2. Непрерывную функцию V : ℳ^{r} → R будем называть функцией Ляпунова (на множестве ℳ^{r}), если V (t, x) = 0 при (t, x) ∈ \overline{ℳ} и V (t, x) > 0 при (t, x) ∈ 𝒩_{+}^{r}.

Отметим, что предположение о равенстве нулю функции V на множестве ℳ не уменьшает общности дальнейших рассуждений.

О п р е д е л е н и е 3. Функцию Ляпунова V : ℳ^{r} → R назовем определенно положительной (на множестве ℳ^{r}), если для всякого ε ∈ (0, r) найдется такое δ > 0, что V (t, x) ⩾ δ при всех (t, x) ∈ frℳ^{ε}.

Если функция (t, x) → V (t, x) локально липшицева, то для любого вектора h = (τ, q) из R×R^{n} и всякой точки (t, x) ∈ R × R^{n} существует конечный предел

V^{o}(t, x; h) ≐ lim sup_{(ϑ,y,ε)→(t,x,+0)} \frac{V (ϑ + ετ, y + εq) − V (ϑ, y)}{ε},

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 07-01-00305, 09-01-97503) и программы �Развитие научного потенциала ВШ� (проект 2.1.1/1131).

называемый обобщенной производной (или производной Ф. Кларка) функции V по направлению вектора h в точке (t, x). Через V^{o}(t, x; q) будем обозначать производную функции V в точке (t, x) по направлению вектора h = (1, q), q ∈ R^{n}.

Т е о р е м а 1. [1] Пусть существуют локально липшицева определенно положительная функция Ляпунова V : ℳ^{r} → R и непрерывная функция w : R^{2} → R, такие, что:

1) для любого q ∈ F (t, x) и всех (t, x) ∈ \overline{𝒩_{+}^{r}} имеет место неравенство

V^{o}(t, x; q) ⩽ w(t, V (t, x));

2) w(t, 0) ≡ 0, уравнение

ż = w(t, z)  (2)

обладает свойством единственности решения задачи Коши, и тривиальное решение уравнения

(2) равномерно устойчиво по Ляпунову (в классическом смысле).

Тогда множество ℳ равномерно устойчиво по Ляпунову относительно включения (1).

Т е о р е м а 2. [1] Пусть существуют локально липшицева определенно положительная функция Ляпунова V : ℳ^{r} → R и непрерывная функция w : R^{2} → R, такие, что:

1) множество

Q(t, x) ≐ {q ∈ F (t, x) : V^{o}(t, x; q) ⩽ w(t, V (t, x))}

непусто при всех (t, x) ∈ ℳ^{r} и для любой точки (t_{0}, x_{0}) ∈ ℳ^{r} включение

ẋ ∈ Q(t, x)

имеет локольное решение с начальным условием x(t_{0}) = x_{0};

2) w(t, 0) ≡ 0, уравнение (2) обладает свойством единственности решения задачи Коши, и его тривиальное решение равномерно устойчиво по Ляпунову.

Тогда множество ℳ слабо равномерно устойчиво относительно включения (1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Панасенко Е.А., Тонков Е.Л. Распространение теорем Е.А. Барбашина и Н.Н. Красовского об устойчивости на управляемые динамические системы // Труды ин-та матем. и мех. УрО РАН. 2009. Т. 15. �3.

Abstract: The work is concerned with nonautonomous differential inclusions with closed-valued right-hand sides. There are derived the conditions (in the terms of Lyapunov functions) under which a given set possesses the property of uniform stability or weak uniform stability with respect to differential inclusion.

Keywords: differential inclusion with closed-valued right-hand side; Lyapunov functions; uniformly stable set; weakly uniformly stable set.

Панасенко Елена Александровна к. ф.-м. н., доцент Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: panlena_t@mail.ru Elena Panasenko candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: panlena_t@mail.ru УДК 517.95

РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЕ АЛГОРИТМОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ КИТАЙСКОЙ ТЕОРЕМЫ ОБ ОСТАТКАХ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} О. Н. Переславцева

Ключевые слова: модулярная арифметика; Китайская теорема об остатках; параллельные вычисления; передача сообщений.

Аннотация: Обосновывается применение модулярной арифметики, в частности, Китайской теоремы об остатках для параллельных вычислений с целочисленными матрицами; преимущества модулярных методов демонстрируются результатами эксперементов, проведенных на кластере МСЦ с использованием интерфейса MPI.

Для параллельных вычислительных систем применение модулярной арифметики дает значительное преимущество, так как операции, связанные с разными модулями, могут выполняться одновременно.

Пусть надо решить задачу A в евклидовом кольце K с входными данными D и результатом E. Пусть для решения этой задачи для p ∈ K есть алгоритм B в факторкольце K/p.

Выберем в K взаимно простые элементы p_{1}, …, p_{n}, такие что любой элемент e ∈ E меньше по евклидовой норме произведения p_{1} ⋯ p_{n}. Тогда, применив к данным D Китайскую теорему об остатках (КТО), перейдем к гомоморфным образам в K/p_{i}, i = 1, …, n. Решим n задач с помощью алгоритма B. Получим набор решений E_{1}, …, E_{n}. Восстановим его с помощью КТО в решение E.

Построим граф рассмотренного алгоритма для параллельной машины, у которой n процессоров (рис. 1).

Для параллельных вычислительных систем распределение данных процессорам и сборка результатов происходит эффективнее, если графом алгоритма является бинарное дерево (рис. 2).

Рис. 1. Граф 1. Рис. 2. Граф 2.

Найдем время t_{1} и t_{2}, затраченное на распределение данных по процессорам, в обоих случаях. Считаем, что всем процессорам надо передать одни и те же данные D.

Пусть t — время передачи данных D от одного процессора другому. Тогда t_{1} = (n − 1)t и t_{2} = = t log_{2} n. Следовательно, время передачи данных меньше в (n − 1)/ log_{2} n, если граф алгоритма представить в виде бинарного дерева.

1Работа выполнена при поддержке программы "Развитие потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/1853) и Темплана 1.12.09.

В случае, когда алгоритм имеет граф 1 (алгоритм 1), сборка результата — это последовательный процесс. Если графом алгоритма является бинарное дерево (алгоритм 2), то сборка осуществляется параллельно. Тогда время сборки результата меньше в случае алгоритма, граф которого есть бинарное дерево.

Сравним времена t_{1} и t_{2} экспериментально. Эксперимент проводился на кластере лаборатории алгебраических вычислений ТГУ им. Г.Р. Державина, в котором 16 процессоров Intel Xeon 3 ГГц, 1 Гб. Результаты экспериментов и их сравнение с теоретической оценкой приведены в таблице 1.

Таблица 1

Теоретическое и экспериментальное время пересылки и приема данных с помощью алгоритма 1 по отношению к соответствующему времени алгоритма 2

Количество процессоров, n  2  4  8 12 14
Экспериментальное время пересылки,  \frac{t_{1}}{t_{2}} · 100%  100 144 256 250 332
Теоретическое время пересылки,  \frac{n−1}{log_{2} n} · 100% 100 150 233 307 341
Экспериментальное время сборки,  \frac{t_{1}}{t_{2}} · 100%  100 125 235 244 256

Для экспериментов на кластере используется библиотека функций MPI, предназначенная для поддержки работы параллельных процессов в терминах передачи сообщений. Библиотека MPI для передачи одних и тех же данных от одного процессора остальным содержит процедуру Bcast. Сравним экспериментально время передачи данных с помощью алгоритма 1, алгоритма 2 и процедуры Bcast. В таблице 2 указано время передачи данных с помощью алгоритмов 1 и 2 по отношению к времени передачи данных с помощью процедуры Bcast.

Таблица 2

Экспериментальное время пересылки данных алгоритмов 1 и 2 по отношению к времени t_{B} пересылки данных с применением команды MPI Bcast

Количество процессоров n  2 4  8 12 14
Время пересылки алгоритма 1  \frac{t_{1}}{t_{B}} · 100% 58 175 298 464 536
Время пересылки алгоритма 2  \frac{t_{2}}{t_{B}} · 100% 58 121 116 186 161

Из таблицы 2 видно, что меньшее время передачи имеет процедура Bcast. Из рассмотренных алгоритмов сборки меньшее время имеет алгоритм 2. Следовательно, при распараллеливании алгоритма с применением КТО (используем естественный параллелизм по модулям) эффективнее алгоритм, в котором для пересылки данных используется процедура Bcast, а сборка результата происходит по бинарному дереву.

ЛИТЕРАТУРА 1. Малашонок Г.И. Матричные методы вычислений в коммутативных кольцах. Тамбов: Издательство ТГУ им.

Г.Р. Державина, 2002.

2. Кнут Д. Искусство программирования, том 2. М.: Вильямс, 2004.

3. Антонов А.С. Параллельное программирование с использованием технологии MPI. М.: Издательство Московского университета, 2004.

Abstract: usage of modula arithmetics, particularly, of the Chinese remainders theorem for parallel calculations is substantiated; advantages of modula methods are demonstrated through results of experiments on the cluster using the library MPI, intended for a support of parallel processes in terms of message passing.

Keywords: modula arithmetics; Chinese remainders theorem; parallel calculations; message passing.

Переславцева Оксана Николаевна аспирант Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: Pereclavtseva@rambler.ru Oxana Pereslavtseva post-graduate student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: Pereclavtseva@rambler.ru

УДК 517.95

РАСШИРЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМОЙ ГУРСА-ДАРБУ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Н. И. Погодаев

Ключевые слова: оптимальное управление; Гурса-Дарбу; системы с распределенными параметрам. Аннотация: В докладе строится расширение в смысле Иоффе-Тихомирова для задачи оптимального

управления системой Гурса-Дарбу.

Пусть на метрическом пространстве V определен функционал I, а на метрическом пространстве W — функционал J. Назовем задачу inf_{w∈W} J (w) расширением [1] задачи inf_{v∈V} I(v), если существует

непрерывное отображение i: V → W, при котором: 1) i(V) плотно в W; 2) J (i(v)) ⩽ I(v) для всех v ∈ V; 3) для любого w ∈ W существует последовательность v_{k} ∈ V такая, что lim_{k→∞} i(v_{k}) = w

и lim_{k→∞} I(v_{k}) = J (w). В частности, из этого определения следует, что

inf_{v∈V} I(v) = inf_{w∈W} J (w).

Введем следующие обозначения: I_{1} = [0, a], I_{2} = [0, b], a, b > 0, Ω = I_{1} × I_{2}; X = ℝ^{n}, Y = ℝ^{m}; C(Ω; X) — пространство непрерывных функций z: Ω → X; L^{p}(Ω; X) — пространство функций u: Ω → X, интегрируемых по Лебегу со степенью p (1 < p < ∞); L(Y, X) — пространство непрерывных линейных операторов (матриц) A: Y → X.

На прямоугольнике Ω рассмотрим управляемую систему

z_{xy} = c_{1}(x, y, z)z_{x} + c_{2}(x, y, z)z_{y} + c_{3}(x, y, z)u + c_{4}(x, y, z),  (1)
z(x, 0) = φ(x) + ∫_{0}^{x} u^{1}(s) ds, z(0, y) = ψ(y) + ∫_{0}^{y} u^{2}(t) dt,  (2)
u^{1}(x) ∈ U_{1}(x, V_{1}(z)(x)), u^{2}(y) ∈ U_{2}(y, V_{2}(z)(y)), u(x, y) ∈ U(x, y, z(x, y)),  (3)

1Работа выполнена при поддержке СО РАН (интеграционный проект СО РАН–УрО РАН � 85).

где x ∈ I_{1}, y ∈ I_{2}, z ∈ X; u ∈ Y — распределенное, u^{1}, u^{2} ∈ X — граничные управления; c_{1}, c_{2} : Ω× ×X → L(X; X), c_{3} : Ω×X → L(Y; X), c_{4} : Ω×X → X — однозначные отображения; U: Ω×X → X, U_{1} : I_{1} × X → X, U_{2} : I_{2} × X → X — многозначные отображения с невыпуклыми компактными значениями; V_{1} : C(Ω; X) → C(I_{1}; X), V_{2} : C(Ω; X) → C(I_{2}; X) — непрерывные операторы; φ: I_{1} → → X, ψ: I_{2} → X — абсолютно непрерывные функции, φ(0) = ψ(0).

О п р е д е л е н и е. Решением системы (1)–(3) назовем четверку (z, u, u^{1}, u^{2}), z ∈ C(Ω; X), u ∈ L^{p}(Ω; Y), u^{1} ∈ L^{p}(I_{1}; X), u^{2} ∈ L^{p}(I_{2}; X), такую, что

z(x, y) = φ(x) + ψ(y) − φ(0) + ∫_{0}^{x} u^{1}(s) ds + ∫_{0}^{y} u^{2}(t) dt + ∫_{0}^{x} ∫_{0}^{y} v(s, t) ds dt,  (4)

где

v(x, y) = c_{1}(x, y, z(x, y))z_{x}(x, y) + c_{2}(x, y, z(x, y))z_{y}(x, y) + c_{3}(x, y, z(x, y))u(x, y) + c_{4}(x, y, z(x, y)),

и почти всюду имеют место включения (3). Множество всех решений обозначим через R.

Данное определение корректно, поскольку для функций, удовлетворяющих равенству (4), существуют частные производные z_{x}, z_{y}, z_{xy} (см. [2]), причем z_{xy} = v.

Пусть g: Ω×(X ×Y) → ℝ, g_{i}: I_{i}×(X ×X) → ℝ, i = 1, 2, — функции Каратеодори, невыпуклые по третьей переменной. Рассмотрим функционал J, определенный равенством

J(z, u, u^{1}, u^{2}) = ∫_{I_{1}} g_{1}(x, V_{1}(z)(x), u^{1}(x)) dx + ∫_{I_{2}} g_{2}(y, V_{2}(z)(y), u^{2}(y)) dy +
+ ∫_{Ω} g(x, y, z(x, y), u(x, y)) dx dy,  (5)

где z ∈ C(Ω; X), u ∈ L^{p}(Ω; Y), u^{1} ∈ L^{p}(I_{1}; X), u^{2} ∈ L^{p}(I_{2}; X).

Поставим следующую задачу: минимизировать функционал (5) на множестве R решений системы (1)–(3):

inf_{r∈R} J(r).  (6)

Отметим, что данная задача является невыпуклой (рассматриваются невыпуклые ограничения на распределенное и граничные управления, а также невыпуклые по управлению интегранты). Поэтому, вообще говоря, задача (6) не имеет решения. При определенных предположениях в работе построено такое расширение задачи (6), которое имеет решение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иоффе А.Д.,Тихомиров В.М. Расширение вариационных задач // Труды Московского математического общества. 1968. � 18. С. 187-246.

2. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. Т. 5.

Abstract: an extension of optimal control problem for Goursat-Darboux system is constructed.

Keywords: optimal control; Goursat-Darboux; distributed parameter systems.

Погодаев Николай Ильич Институт динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН Россия, Иркутск e-mail: nickpogo@gmail.com Nikolai Pogodaev Institute of System Dynamics and Control Theory of Siberian Department of RAS Russia, Irkutsk e-mail: nickpogo@gmail.com УДК 519.85

ФАЙЛОВЫЕ ПОЛИНОМЫ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} А. Г. Поздникин

Ключевые слова: файловый полином; многопроцессорные системы; пакет программ; генерирование файловых полиномов.

Аннотация: Рассматривается класс полиномов, которые хранятся во внешней памяти в виде файлов определенного формата; описывается разработанный пакет программ, включающий процедуры генерации случайных полиномов, арифметические процедуры и процедуры ввода-вывода.

1. Введение

В связи с развитием компьютерных технологий возросли технические характеристики вычислительных систем. Широкое распространение среди суперкомпьютеров получили кластерные высокопроизводительные системы, используемые в вычислительных целях, в частности в научных исследованиях. Процесс создания программного обеспечения для таких систем требует нового подхода, нежели к однопроцессорным. Для эффективной работы многопроцессорных систем требуются параллельные алгоритмы и поддержка хранения большого объема данных. Так как объемы используемой оперативной памяти сравнительно меньше объемов дисковой памяти, возникает идея при нехватке первой, использовать свободное пространство на жестком диске. В частности, в данной работе рассматриваются файловые полиномы — это полиномы, записанные в файл в определенном формате.

2. Генератор случайного файлового полинома

Пусть нам необходимо сгенерировать полином p от n переменных, который не помещается в оперативной памяти. Пусть m − массив максимальных степеней из n элементов. То есть максимальная степень по каждой переменной x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} равна одному из элементов массива m. Количество мономов в полиноме плотности d% равно: k = (m_{1} + 1) ∗ ... ∗ (m_{n−1} + 1) ∗ d/100. Пусть плотность d полинома принимает какое-либо действительное значение в диапазоне от 1 до 100.

Тогда файловый полином p будет произведением двух полиномов, сгенерированных в оперативной памяти. Возьмем полином g, по переменным x_{(n/2+1)}, x_{(n/2+2)}, ..., x_{n}, с соответствующими максимальными степенями m, плотности \sqrt{d}, коэффициенты которого сгенерированы случайным образом. Разобьем данный полином на мономы: g_{1}, g_{2}, ..., g_{k}. Далее будем генерировать случайные полиномы f_{1}, f_{2}, ..., f_{k}, c максимальными степенями m_{1}, m_{2}, ..., m_{n/2} переменных x_{1}, x_{2}, ..., x_{n/2}, плотностью \sqrt{d} и умножать их на соответствующий по индексу моном g_{i}, т.е.

p = ∑_{i=1}^{k} f_{i}g_{i} = f_{1}g_{1} + f_{2}g_{2} + ... + f_{k}g_{k}.

Произведение каждого монома полинома f_{i} на моном g_{i} будет записываться в файл до тех пор, пока весь получившийся полином p не окажется на жестком диске.

3. Операция сложения файловых полиномов

Операция сложения файловых полиномов производится последовательно, в три этапа.

Пусть

p_{1} = 9x^{2}y^{2} + 4xy^{2} − 8xy + x − 6,

1Работа выполнена при поддержке программы "Развитие потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/1853).

p_{2} = −8x^{2}y^{2}z^{3} − x^{2}y^{2}z^{2} + 4x^{2}y − 5x^{3} + 3xy.

Рассмотрим сумму p_{1} + p_{2}(∗).

1 этап. Происходит сравнение количества переменных в полиномах. Если в одном из полиномов переменных окажется больше, то мономы, которые содержат эти старшие переменные с ненулевыми степенями, будут записаны в файл результата. Если таковых мономов не окажется, то происходит переход на следующий этап.

В файл будет записано: −8x^{2}y^{2}z^{3} − x^{2}y^{2}z^{2}.

2 этап. Сравниваются показатели степеней переменных в каждом мономе. Если показатели степеней переменных в мономах совпадают, то коэффициенты складываются, и новый моном с теми же степенями записывается в файл. Если показатели степеней переменных в одном из мономов окажутся бо́льшими, то этот моном записывается в файл, а меньший сравнивается со следующими. Переход на другой этап произойдет, как только один из файловых полиномов закончится.

В файл будет записано: 9x^{2}y^{2} + 4xy^{2} + 4x^{2}y − 5x^{3} − 5xy.

3 этап. Происходит считывание и запись в файл оставшихся мономов одного из полиномов. В файл будет записано: x − 6. В итоге получим сумму двух полиномов в виде отсортированного файлового полинома. Если рассматривать (*), то целиком в файл будет записано:

p = −8x^{2}y^{2}z^{3} − x^{2}y^{2}z^{2} + 9x^{2}y^{2} + 4xy^{2} + 4x^{2}y − 5x^{3} − 5xy + x − 6.

4. Операция умножения файловых полиномов

Алгоритм умножения файловых полиномов представляется рекурсивной функцией, которая делит файловый полином пополам до тех пор, пока данную операцию можно будет произвести в оперативной памяти.

Схематично, в виде дерева данный алгоритм можно представить следующим образом:

Операция умножения будет производиться в листовых вершинах. Промежуточные узлы — это файловые полиномы, которые по мере того, как мы поднимаемся к корню, будут удаляться с жесткого диска.

Ниже представлен псевдокод алгоритма умножения файловых полиномов. Входными данными для функции умножения являются начало s1, s2 и конец e1, e2 файловых полиномов p1, p2 соответственно. На выходе получим результат умножения полиномов, он тоже будет файловым полиномом.

Константа border в алгоритме обозначает максимальное количество мономов в полиноме, когда операция умножения может производиться в оперативной памяти.

5. Эксперименты

Ниже приведены графики зависимостей времени выполнения арифметических операций от количества мономов в полиномах. В случае операции сложения полиномов зависимость близка к линейной, а в случае умножения — к квадратичной.

6. Заключение

Разработанный пакет программ позволяет генерировать полиномы, которые не помещаются в оперативной памяти, путем записи их на диск и производить с ними арифметические операции сложения, вычитания, умножения.

Abstract: there are considered file polynomials, i.e. polynomials, written into a file in some format; a program package is developed for generating file polynomials and arithmetic with them.

Keywords: file polynomials; multiprocessor system; programme package; generating file polynomials.

Поздникин Алексей Геннадьевич аспирант Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: pozdalex@mail.ru Alexey Pozdnikin post-graduate student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: pozdalex@mail.ru УДК 517.925.52, 519.62

О ПОСТРОЕНИИ ОБОБЩЕННО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} А. Н. Пчелинцев

Ключевые слова: обобщенно-периодические решения; распределенная компьютерная среда.

Аннотация: В работе приводится описание алгоритма построения обобщенно-периодических решений динамических систем в распределенной компьютерной среде с использованием символьных вычислений.

Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений, векторная запись которой имеет вид

ẋ = f(x),  (1)

где x = (x_{1}, ..., x_{n}) — векторная функция действительного переменного t, f = (f_{1}, ..., f_{n}) — векторная функция, определенная и непрерывная вместе со своими частными производными ∂f_{i}/∂x_{j} (i, j = \overline{1, n}) в некотором открытом подмножестве евклидова векторного пространства ℝ^{n}.

Во избежание возможных разночтений приведем следующее определение.

О п р е д е л е н и е. Пусть решение φ(t) системы (1) определено и ограничено для всех t ∈ ℝ. Будем говорить, что решение φ(t) является обобщенно-периодическим, если для каждой пары ε, T положительных чисел можно указать такое натуральное число N, что при t ∈ ℝ выполняется неравенство

|φ(t) − φ(t + NT)| < ε.

Простейшими примерами таких решений могут служить периодическое решение и положение равновесия. Также частным случаем обобщенно-периодического решения является почти периодическое решение (см. [1, с. 162]).

Существование обобщенно-периодических решений определяет теорема, приведенная в работе [1, с. 146, 147]. Более того, как показано в книге [1], обобщенно-периодическим решением может быть решение, траектория которого рекуррентна, и обратно. Данная теорема намечает путь, метод и алгоритм отыскания обобщенно-периодических решений в распределенной вычислительной среде с использованием символьных вычислений.

Пусть пространство Σ представляет n-мерный куб, ребро которого равно a, и величина ε является точностью отыскания обобщенно-периодических решений. Разобьем пространство Σ на кубы с ребрами, длина которых равна 2ε. Количество таких кубов будет равно

m = [\frac{a}{2ε}]^{n} .

Внутри i-го куба (i = \overline{1, m}) возьмем точку P_{i}^{(0)}, которая лежит в его центре и является начальной для некоторого решения x (t, P_{i}^{(0)}) системы (1). Среди таких решений будем искать обобщенно-

периодические. Траекторию, соответствующую точке P_{i}^{(0)}, обозначим через L_{i}.

Сначала сформируем множество начальных точек рекурсивным алгоритмом перебора с возвратом (то есть алгоритмом формирования узлов n-мерной сетки). Дальнейшие вычисления для каждой точки P_{i}^{(0)} не будут зависеть от расчетов для соседних точек, что позволяет реализовать их в распределенной компьютерной среде. Тогда координаты начальных точек P_{i}^{(0)} будем хранить в сетевой базе данных, обслуживаемой, например, СУБД MySQL.

1Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект �07-07-00170).

Теперь разложим решение x (t, P_{i}^{(0)}) в степенной ряд по t на некотором отрезке [0, T], где величина T задается. Следовательно, перед началом расчетов в базу данных необходимо записать множество символьных выражений для производных ряда до некоторого заданного порядка. Это множество может быть получено символьным дифференцированием правой части системы

(1) с помощью пакета символьных вычислений Maxima в распределенной компьютерной среде. Подставляя в ряд значение времени T, с некоторой точностью Δ вычислим координаты точки P_{i}^{(1)}, которая получена сдвигом точки P_{i}^{(0)} по траектории L_{i} на время T, которое будем называть сдвигом. При этом мы можем остаться в ε-окрестности точки P_{i}^{(0)} в силу непрерывной зависимости решения от начальных условий. Тогда зададимся некоторым минимальным числом N_{min} сдвигов, начиная с которого начнем отслеживать возврат в ε-окрестность точки P_{i}^{(0)}.

Чтобы получить точку P_{i}^{(2)} через второй сдвиг, перенесем начальную точку по траектории L_{i} в точку P_{i}^{(1)}. Когда номер текущего сдвига j ⩾ N_{min}, проверяем условие

|P_{i}^{(j)} − P_{i}^{(0)}| < ε.  (2)

Если оно выполняется, то точка P_{i}^{(0)} является начальной для обобщенно-периодического решения (номер сдвига, при котором имеет место неравенство (2), обозначим через s_{i}). В противном случае продолжаем делать сдвиги по траектории L_{i} до некоторого заданного числа N_{max} сдвигов.

Если при расчетах не достаточно имеющихся в базе данных символьных выражений для производных, то анализируемая точка помечается как недосчитанная, и после анализа всех точек база данных сканируется на наличие хотя бы одной такой точки. Если недосчитанные точки имеются, то опять запускается процедура символьного дифференцирования для получения очередного множества производных.

Описанный алгоритм был использован для построения обобщенно-периодических решений системы Лоренца

ẋ_{1} = σ(x_{2} − x_{1}), ẋ_{2} = rx_{1} − x_{2} − x_{1}x_{3}, ẋ_{3} = x_{1}x_{2} − bx_{3}

при классических значениях ее параметров, то есть σ = 10, r = 28 и b = 8/3. Например, для одного из найденных решений P_{1}^{(0)}(7, 94796442, 12, 58880493, 18, 13439637), s_{1} = 10530, ε = 0, 11, T = 0, 001, a = 0, 44, Δ = 10^{−8}, N_{min} = 10, N_{max} = 11000, центром куба Σ является точка M(8, 05796442, 12, 69880493, 18, 24439637), взятая вблизи аттрактора Лоренца.

Исходные тексты программы на языке C++ отыскания обобщенно-периодических решений динамических систем в распределенной вычислительной среде можно найти по адресу, указанному в [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Афанасьев А.П., Дзюба С.М. Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных периодических системах. М.: Изд-во ЛКИ, 2007.

2. Пчелинцев А.Н. Программа для ЭВМ отыскания обобщенно-периодических решений динамических систем в распределенной вычислительной среде (свидетельство о государственной регистрации программы �2008615550). URL: http://cluster.tstu.ru/tiki-download_file.php?fileId=2 (Дата обращения 20. 11. 2008).

Abstract: In the work there is given a description of the algorithm of a construction of the generally periodical solutions of the dynamic systems in a distributed computing environment with the using of a symbolic calculations.

Keywords: generally periodical solutions; distributed computing.

Пчелинцев Александр Николаевич аспирант Тамбовский государственный технический университет Россия, Тамбов e-mail: pchela9091@rambler.ru Aleksander Pchelintsev post-graduate student Tambov State Technical University Russia, Tambov e-mail: pchela9091@rambler.ru

УДК 517.911, 517.93

СТАТИСТИЧЕСКИ ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖЕСТВА УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Л. И. Родина, Е. Л. Тонков

Ключевые слова: управляемые системы, динамические системы, дифференциальные включения, множество достижимости, инвариантность.

Аннотация: В терминах функций Ляпунова получены условия, позволяющие оценивать относительную частоту пребывания множества достижимости управляемой системы в заранее заданном множестве. Исследуются статистически инвариантные и статистически слабо инвариантные множества относительно управляемой системы.

В этом докладе сообщается о результатах исследования статистически инвариантных множеств, опубликованных в [1, 2], и рассмотрен ряд новых задач, связанных со свойствами статистических характеристик асимптотического поведения множеств достижимости управляемых систем.

Пусть задана топологическая динамическая система (Σ, h^{t}). Это означает, что на полном метрическом пространстве Σ задана однопараметрическая группа преобразований h^{t} пространства Σ в себя, непрерывная по (t, σ) и удовлетворяющая начальному условию h^{t}σ|_{t=0} = σ. Для заданного множества U ⊂ ℝ^{m} рассмотрим пространство с мерой (U, 𝔄, η), где 𝔄 — борелевская сигма-алгебра подмножеств U, η — мера Радона, сосредоточенная на множестве U. Мерой Радона с носителем U называется конечная регулярная счетно-аддитивная функция η : A → ℝ множеств A ∈ 𝔄.

Пусть задана непрерывная функция f(σ, x, u) переменных (σ, x, u) ∈ Σ×ℝ^{n}×ℝ^{m}. Мы рассматриваем управляемую систему

ẋ = ∫_{U} f(h^{t}σ, x, u)η_{t}(du),  (7)

порожденную динамической системой (Σ, h^{t}) и функцией f.

Допустимым процессом управляемой системы при каждом σ ∈ Σ называется всякая функция t → (φ(t, σ), η_{t}) такая, что управление t → η_{t} является измеримой по Лебегу мерозначной функцией со значениями в пространстве вероятностных мер Радона с носителем U, функция t → φ(t, σ) является абсолютно непрерывным решением системы (7).

1Работа выполнена при финансовой поддержке программы фундаментальных исследований Президиума РАН �29 �Математическая теория управления�.

По функции f и множеству U построим дифференциальное включение

ẋ ∈ F (h^{t}σ, x), F (σ, x) = co{y ∈ ℝ^{n} : y = f(σ, x, u), u ∈ U},  (8)

где co G — замыкание выпуклой оболочки множества G.

Для каждого X ∈ comp (ℝ^{n}) и момента времени t ⩾ 0 обозначим через A(t, σ, X) множество достижимости системы (7) в момент t из начального множества X. Предположим, что задана непрерывная функция 𝔸 : ℝ×Ω → comp(ℝ^{n}) переменных (t, ω), где ω = (σ, X), удовлетворяющая следующим условиям:

𝔸(t, ω)|_{t=0}= X, 𝔸(t + s, ω) = 𝔸(t, h^{s}σ, 𝔸(s, ω)), t, s ∈ ℝ_{+}.  (9)

Для фиксированного множества X_{0} ∈ comp(ℝ^{n}) рассмотрим множество

α(ϑ, ω) ≐ {t ∈ [0, ϑ] : A(t, ω) ⊆ 𝔸(t, ω_{0})}, ω_{0} = (σ, X_{0}).

Характеристику freq(ω) ≐ lim_{ϑ→∞} \frac{mes α(ϑ, ω)}{ϑ} будем называть относительной частотой поглощения

множества достижимости A(t, ω) системы (7) заданным множеством 𝔸(t, ω_{0}). Если указанный предел не существует, то рассматриваются характеристики freq^{∗}(ω) и freq_{∗}(ω) — верхняя и нижняя относительные частоты поглощения множества достижимости A(t, ω) системы (7) множеством 𝔸(t, ω_{0}). Обозначим

𝔄(σ) ≐ {(t, x) ∈ ℝ_{+} × ℝ^{n} : x ∈ 𝔸(t, ω_{0})}, ω_{0} = (σ, X_{0}),
𝔄^{r}(σ) ≐ {(t, x) ∈ ℝ_{+} × ℝ^{n} : ρ_{ℝ^{n}}(x, 𝔸(t, ω_{0})) ⩽ r(t, σ)}, 𝔅^{r}(σ) ≐ 𝔄^{r}(σ) \ 𝔄(σ),

где r(t, σ) — неотрицательная непрерывная функция переменных (t, σ) ∈ ℝ_{+} × Σ.

Скалярная функция V (t, σ, x) называется функцией Ляпунова в области 𝔄^{r}(σ), если она локально липшицева по (t, x) равномерно относительно σ на Σ и для каждого σ ∈ Σ выполнены условия: V (t, σ, x) ⩽ 0 при всех (t, x) ∈ 𝔄(σ), V (t, σ, x) > 0 для всех (t, x) ∈ 𝔅^{r}(σ).

Обозначим через V^{o}(t, σ, x; q) обобщенную производную функции V (t, σ, x) в точке (t, x) по направлению вектора (1, q) ∈ ℝ × ℝ^{n}, через V_{max}^{o}(t, σ, x) ≐ max_{q∈F (h^{t}σ,x)}V^{o}(t, σ, x; q) — верхнюю производную функции V в силу включения (8).

Т е о р е м а 1. Фиксируем множества X_{0}, X ∈ comp(ℝ^{n}), X ⊆ X_{0}, функцию 𝔸(t, ω_{0}), где ω_{0} = = (σ, X_{0}), удовлетворяющую условиям (9) и множество достижимости A(t, ω) системы (7), ω = (σ, X). Пусть существуют непрерывные скалярные функции V (t, σ, x) и w(σ, z) переменных (t, σ, x) ∈ ℝ_{+} × Σ × ℝ^{n} и (σ, z) ∈ Σ × ℝ такие, что:

1. Для каждого σ верхнее решение z^{∗}(t, σ) задачи

ż = w(h^{t}σ, z), z(0) = 0, t ⩾ 0,

определено при всех t ⩾ 0.

2. Для каждого σ ∈ Σ бесконечно большая функция V (t, σ, x) является функцией Ляпунова в области 𝔄^{1+r}(σ), где r = r(t, σ) ≐ max{z^{∗}(t, σ), 0}, и при всех (t, x) ∈ 𝔄^{1+r}(σ) выполнено неравенство V_{max}^{o}(t, σ, x) ⩽ w(h^{t}σ, V (t, σ, x)).

Тогда множество достижимости A(t, ω) существует для всех t ⩾ 0, и для каждого σ ∈ Σ выполнены неравенства freq^{∗}(ω) ⩾ κ^{∗}(σ), freq_{∗}(ω) ⩾ κ_{∗}(σ), где

κ^{∗}(σ) ≐ \overline{lim}_{ϑ→∞} \frac{mes\{t ∈ [0, ϑ] : z^{∗}(t, σ) ⩽ 0\}}{ϑ}, κ_{∗}(σ) ≐ \underline{lim}_{ϑ→∞} \frac{mes\{t ∈ [0, ϑ] : z^{∗}(t, σ) ⩽ 0\}}{ϑ}.

Также получены условия, при которых множество 𝔄(σ) является статистически слабо инвариантным относительно управляемой системы (7). Это означает, что для любой точки x_{0} ∈ X_{0} найдется такое решение φ(t, σ) включения (8), что φ(t, σ) определено при всех t ⩾ 0, φ(0, σ) = x_{0} и верхняя относительная частота попадания данного решения в множество 𝔸(t, ω_{0}) равна единице.

ЛИТЕРАТУРА 1. Панасенко Е. А., Тонков Е. Л. Инвариантные и устойчиво инвариантные множества дифференциальных

включений // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 2008. Т. 262. С. 202-221.

2. Родина Л.И., Тонков Е.Л. Статистические характеристики множества достижимости управляемой системы, неблуждаемость и минимальный центр притяжения // Нелинейная динамика. 2009. T. 5. � 3.

Abstract: In the terms of Lyapunov functions we obtain the conditions that allow to estimate the relative frequency of occurrence of the attainable set of a controllable system in a given set. We investigate the statistically invariant and statistically weak invariant sets with respect to controllable system.

Keywords: controllable systems, dynamical systems, differential inclusions, attainable set, invariance.

Родина Людмила Ивановна к. ф.-м. н., доцент Удмуртский государственный университет Россия, Ижевск e-mail: rdl@uni.udm.ru Ludmila Rodina candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Udmurtian Stste University Russia, Izhevsk e-mail: rdl@uni.udm.ru

Тонков Евгений Леонидович д. ф.-м. н., профессор Удмуртский государственный университет Россия, Ижевск e-mail: eltonkov@udm.ru Eugeniy Tonkov doctor of phys.-math. sciences, professor Udmurtian Stste University Russia, Izhevsk e-mail: eltonkov@udm.ru УДК 519.85

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛАПЛАСА ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} М. А. Рыбаков

Ключевые слова: системы дифференциальных уравнений; преобразование Лапласа; система параллельной компьютерной алгебры.

Аннотация: В системе ParCA реализован алгоритм решения систем дифференциальных уравнений с использованием преобразования Лапласа.

Одной из актуальных задач компьютерной алгебры является задача решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эта задача решается в системе компьютерной алгебры ParCA.

Приведем основные этапы алгоритма.

\underline{Прямое преобразование Лапласа} .

1. Преобразование левой части системы дифференциальных уравнений. В результате прямого преобразования Лапласа левая часть системы дифференциальных уравнений преобразуется в матрицу полиномов A(p) от одной действительной переменной p.

2. Преобразование правой части системы дифференциальных уравнений. Каждая функция в правой части разбивается на отдельные слагаемые и для каждого слагаемого применяется табличная функция для вычисления прямого преобразования Лапласа. Результатом будут целые и дробные рациональные выражения с действительной переменной p.

3. Преобразование начальных условий для системы дифференциальных уравнений. Результатом будут целые выражения с действительной переменной p.

4. Вычисление для матрицы A(p) присоединенной матрицы A(p)^{∗} и определителя det(A(p)).

5. Вычисление комплексных корней полинома det(A(p)) с заданной точностью и разложение дроби 1/det(A(p)) в сумму простых дробей в комплексной области

\frac{1}{det(A(p))} = ∑_{i} \frac{a_{i}}{(p − b_{i})^{k_{i}}} .

6. Формирование вектора V, каждый элемент которого состоит из сумм преобразованных правых частей системы и преобразованных начальных условий.

7. Вычисление произведения присоединенной матрицы A(p)^{∗} на вектор V. В результате получим вектор W, элементы которого состоят из сумм рациональных дробей.

8. Разложение каждой дроби в компонентах вектора W в сумму простых дробей в комплексной области.

9. Вычисление произведения вектора W на выражение 1/det(A(p), которое записано в виде суммы простых дробей, и приведение подобных членов. В результате каждый элемент вектора W будет суммой простых дробей в комплексной области.

\underline{Обратное преобразование Лапласа} .

10. Вычисление прообраза при преобразовании Лапласа, используя табличные функции, для каждой простой дроби и для каждого полинома в компонентах вектора W.

1Работа выполнена при поддержке программы "Развитие потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/1853).

Пример. Решить систему уравнений

\{ \begin{matrix}x′′(t) + x′(t) + y′′(t) − y(t) = e^{t}, \\ x′(t) + 2x(t) − y′(t) + y(t) = e^{−t}. \end{matrix}

Начальные условия: x(0) = 0; x′(0) = 1; y(0) = y′(0) = 0.

Описание задачи на входном языке:

systLDE(D(x, t, 2) + D(x, t) + D(y, t, 2) − 3 = exp(t), D(x, t) + 2x − D(y, t) + y = exp(−t))

InitCond(D(x, t, 0, 0) = 0, D(x, t, 0, 1) = 1, D(y, t, 0, 0) = 0, D(y, t, 0, 1) = 0).

Решение системы дифференциальных уравнений:

x(t) = 0.125e^{t} − 0.125e^{−t} + 0.750te^{−t},

y(t) = 0.375te^{t} − 0.375te^{−t}.

В докладе обсуждаются эксперименты, в которых решались системы дифференциальных уравнений различной степени сложности, с использованием Межведомственного суперкомпьютерного центра РАН.

Abstract: the algorithm of solving systems of differential equations be means of Laplace transform method is realized in ParCA.

Keywords: systems of differential equations; Laplace transform; system of parallel computer algebra.

Рыбаков Михаил Анатольевич аспирант Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: mixail08101987@mail.ru Mikhail Ribakov post-graduate student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: mixail08101987@mail.ru

УДК 517.911

BIFURCATIONS OF PERIOD ANNULI AND MULTIPLE SOLUTIONS OF TWO-POINT BOUNDARY VALUE PROBLEMS ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} F. Sadyrbaev

Keywords: nonlinear boundary value problem; multiple solutions; positive solutions; period annuli.

Abstract: The second order nonlinear boundary value problem is considered where the boundary conditions are of the Dirichlet type. The so called period annuli are possible if the graph of the primitive function satisfies certain conditions. Period annuli may generate solutions of the BVP. We obtain the conditions which ensure the existence of positive solutions of the BVP. These solutions are contained in period annuli.

1The author acknowledges financial support of Latvian Council of Science under grant N 09.1220.

We consider equations

x′′ + λ g(x) = 0  (1)

together with the boundary conditions

x(0) = 0, x(1) = 0.  (2)

A function g(x) is C^{1}-function with simple zeros only and λ is a parameter. A zero z is called simple if g(z) = 0 and g′(z) ≠ 0. A solution of the problem (1), (2) is a pair (λ, x) such that (1) and (2) are satisfied. We provide conditions which ensure the existence of multiple positive (x(t) > 0 for t ∈ (0, 1)) solutions of the problem (1), (2).

Consider also equation

x′′ + g(x) = 0  (3)

and equivalent system

x′ = y, y′ = −g(x).  (4)

Recall that a critical point O of (4) is a center if it has a punctured neighborhood covered with nontrivial cycles.

D e f i n i t i o n. Due to terminology in [1], the largest connected region covered with cycles surrounding O is called a central region. Every connected region covered with nontrivial concentric cycles is called a period annulus.

We will call a period annulus associated with a central region a trivial period annulus. Periodic trajectories of a trivial period annulus encircle exactly one critical point of the type center. Respectively a period annulus enclosing several (more than one) critical points will be called a nontrivial period annulus.

T h e o r e m. Suppose that there exist two non-neighbouring points of maxima M_{1} and M_{2} (M_{1} < M_{2}) of the function G(x) = ∫^{x} g(s) ds. Assume that G(x) < min{G(M_{1}), G(M_{2})} at any other point of maximum in the interval (M_{1}, M_{2}). Then there exists at least one nontrivial period annulus.

Changing the coefficients of g(x) in case g is a polynomial may cause change of the profile of the graph of G(x). Therefore birth of period annuli can be controlled.

Period annuli may contain positive solutions of the problem (3), (2) and (1), (2) if they are located both in a positive and in a negative part of the (x, x′)-plane. We will call such period annuli centered period annuli.

C o r o l l a r y. Suppose equation (3) has multiple centered period annuli. Then the problem (1),

(2) has multiple positive solutions.

REFERENCES

1. Sabatini M. Liénard limit cycles enclosing period annuli, or enclosed by period annuli. // Rocky Mount. J. Math. 2005. V. 35. � 1. P. 253-266.

Аннотация: Рассматривается нелинейная краевая задача для уравнения второго порядка с условиями Дирихле. В зависимости от профиля первообразной функции возможны так называемые периодические кольца на соответствующей уравнению фазовой плоскости. Каждое периодическое кольцо при соответствующих условиях может порождать решения рассматриваемой краевой задачи. В докладе приводятся условия, при выполнении которых задача имеет порожденные периодическими кольцами положительные решения.

Ключевые слова: нелинейная краевая задача; неединственность решений; положительные решения; периодические кольца.

Felix Sadyrbaev doctor of phys.-math. sciences, professor Daugavpils University University of Latvia Latvia, Daugavpils – Riga e-mail: felix@latnet.lv Садырбаев Феликс д. ф.-м. н., профессор Даугавпилсский университет, Университет Латвии Латвия, Даугавпилc – Рига e-mail: felix@latnet.lv

УДК 517.958

О СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} А. Ю. Сазонов, Ю. Г. Фомичева

Ключевые слова: оператор Бесселя; параболический оператор; сингулярный оператор.

Аннотация: В ограниченной области рассматривается смешанная задача для сингулярного параболического уравнения, содержащего оператор Бесселя по части пространственных переменных. Получены достаточные условия на границу области, начальные функции и правую часть этого уравнения, при которых существует классическое решение этой задачи.

В работе изучается вопрос о разрешимости в классическом смысле смешанной задачи для параболического уравнения

\frac{∂u}{∂t} − P_{y′}u = f,  (1)

u|_{t=0} = u, u|_{Γ^{+}×[0,T]} = 0, \frac{∂u}{∂y_{i}} |_{Γ_{i}^{0}×[0,T]} = 0, i = \overline{1, m}  (2)

x=(x_{1}, ..., x_{n}, y_{1}, ..., y_{m}) = (x′, y′) ∈ R^{n+m}, Ω^{+} ⊂ R^{n+m} – произвольная ограниченная область, прилегающая к гиперплоскостям y_{1} = 0, ..., y_{m} = 0; Γ_{1}^{0}, ..., Γ_{m}^{0} – часть границы области Ω^{+}, лежащей на этих гиперплоскостях; Γ^{+} – замыкание оставшейся части границы области Ω^{+}, φ(x)

– заданная функция, x ∈ Ω^{+}, f(t, x) – функция, заданная в цилиндре

Q_{T}^{+} = Ω^{+} × [0, T],

P_{y′} – дифференциальный оператор, равномерно эллиптический по x ∈ Ω^{+}, и содержащий по m пространственным переменным оператор Бесселя

P_{y′} = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij} \frac{∂^{2}}{∂x_{i}∂x_{j}} + ∑_{i=1}^{m} b_{i}B_{y_{i}} + c, c ⩽ 0, B_{y_{i}} = \frac{∂^{2}}{∂y_{i}^{2}} + \frac{k_{i}}{y_{i}} \frac{∂}{∂y_{i}} , k_{i} > 0, i = \overline{1, m}.

1Работа поддержана грантами РФФИ (� 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы"(РНП � 2.1.1/1131), и включена в Темплан � 1.6.07.

Предполагается, что P_{y′} – оператор B-эллиптического типа (см. [1]):

существует δ > 0, такое, что для любого α = (α_{1}, ..., α_{n+m}), |α| ≠ 0, имеет место неравенство

∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}α_{i}α_{j} + ∑_{i=1}^{m} b_{i}α_{n+i}^{2} ⩾ δ|α|^{2}, a_{ij} = a_{ji}  (3)

Общее решение задачи (1) − (2) представимо рядом Фурье

u(t, x) = ∑_{p=1}^{∞} v_{p}(x)[φ_{p}e^{−λ_{p}t} + ∫_{0}^{t} f_{p}(τ)e^{−λ_{p}(t−τ)}dτ],  (4)

где v_{p}(x) – собственные функции, а λ_{p} – соответствующие собственные значения краевой задачи

P_{y′} v + λv = 0, в области Ω^{+}, v|_{Γ^{+}} = 0, \frac{∂v}{∂y_{i}} |_{Γ_{i}^{0}} = 0, i = \overline{1, m};

φ_{p} и f_{p}(τ) – коэффициенты Фурье разложения функций φ(x) и f(t, x) по системе {v_{p}(x)}.

Т е о р е м а. Пусть Γ^{+} – произвольная поверхность типа Ляпунова, оператор P_{y′} удовлетворяет условию (3), функции φ(x) и f(t, x) удовлетворяют следующим условиям:

1) φ ∈ H_{k_{1}...k_{m},+}^{[ \frac{n+m+k_{1}+...+km}{2} ]+2}(Ω^{+}) и, кроме того φ, P_{y′} φ, ..., P_{y_{′}}^{[ \frac{n+m+k_{1}+...+km}{4} ]}φ принадлежат прост-

ранству H^{1}^{0}_{k_{1}...k_{m},+}(Ω^{+}),

2) f ∈ H_{k_{1}...k_{m},+}^{[ \frac{n+m+k_{1}+...+km}{2} ]+2}(Q_{T}) и, кроме того, f, P_{y′} f, ..., P_{y_{′}}^{[ \frac{n+m+k_{1}+...+km}{4} ]}f принадлежат прост-

ранству H^{1}^{0}_{k_{1}...k_{m},+}(Q_{T}).

Тогда ряд (4) и ряд \frac{∂u(x,t)}{∂t}, полученный дифференцированием по t ряда (4), сходятся равномерно во всем замкнутом цилиндре Q_{T}. Ряды \frac{∂u(x,t)}{∂x_{i}}, \frac{∂^{2}u(x,t)}{∂x_{i}∂x_{i}}, B_{y′} u(x, t), полученные однократным и двукратным дифференцированием ряда (4), сходятся равномерно в любой строго внутренней подобласти цилиндра Q_{T}.

При этом сумма ряда (4) определяет классическое решение задачи (1)-(2).

Здесь H_{k_{1}...k_{m},+}^{s}(Ω^{+}), H^{s}^{0}_{k_{1}...k_{m},+}(Ω^{+}), – функциональные пространства И.А. Киприянова (см. [2], [3]).

ЛИТЕРАТУРА 1. Киприянов И.А. О краевых задачах для уравнений в частных производных с дифференциальным оператором

Бесселя // ДАН СССР. 1964. Т. 158. � 2.

2. Киприянов И.А. Преобразование Фурье-Бесселя и теоремы вложения для весовых классов // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 89.

3. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука, 1997.

Abstract: In a bounded region there is considered the mixed problem for singular parabolic equation containing the Bessel operator on some phase variables. There are derived the sufficient conditions on the region boundary, initial functions, and the right-hand side of the equation under which the classical solution of the problem exists.

Keywords: Bessel operator; parabolic operator; singular operator.

Сазонов Анатолий Юрьевич к. ф.-м. н., доцент Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: aib@tsu.tmb.ru Anatolij Sazonov candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov aib@tsu.tmb.ru

Фомичёва Юлия Геннадиевна к. ф.-м. н., доцент Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: aib@tsu.tmb.ru Juliya Fomicheva candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: aib@tsu.tmb.ru

УДК 517.51

ТОЧНОЕ НЕРАВЕНСТВО ДЛЯ ДРОБНЫХ СТЕПЕНЕЙ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Е. О. Сивкова

Ключевые слова: оператор Лапласа; экстремальная задача; преобразование Фурье.

Аннотация: Работа посвящена определению точной константы в неравенстве для дробных степеней оператора Лапласа; доказательство основывается на принципе Лагранжа в теории экстремума.

Неравенства для степеней различных операторов играют важную роль в анализе, теории приближений и теории дифференциальных уравнений. Здесь приводится точное неравенство, связывающее дробные степени оператора Лапласа функции и ее преобразование Фурье.

Пусть Δ — оператор Лапласа на ℝ^{d}, то есть Δ сопоставляет гладкой функции f(·) функцию

Δf(x) = \frac{∂^{2}f}{∂x_{1}^{2}} (x) + … + \frac{∂^{2}f}{∂x_{d}^{2}} (x).

Если существует преобразование Фурье F функций f(·) и Δf(·), то нетрудно видеть, что (F Δf)(ξ) = = −|ξ|^{2} F f(ξ), где |ξ|^{2} = ξ_{1}^{2} + … + ξ_{d}^{2}.

Для каждого α ⩾ 0 оператор (−Δ)^{α/2}, действующий по правилу (−Δ)^{α/2}f(x) = F^{−1}(|ξ|^{α}F f(ξ))(x), где F^{−1} — обратное преобразование Фурье, называется α-ой степенью оператора Лапласа. Ясно, что (−Δ)^{0} — тождественный оператор.

1Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант � 09-01-90200).

Рассмотрим следующее пространство

W_{∞,2}^{α}(ℝ^{d}) = { f(·) ∈ L_{2}(ℝ^{d}) | F f(·) ∈ L_{∞}(ℝ^{d}), (−Δ)^{α/2}f(·) ∈ L_{2}(ℝ^{d}) }.

Т е о р е м а. Пусть 0 ⩽ β < α. Для всех f(·) ∈ W_{∞,2}^{α}(ℝ^{d}) справедливо точное неравенство

∥(−Δ)^{β/2}f(·)∥_{L_{2}(ℝ^{d})} ⩽ K∥F f(·)∥L_{∞}(ℝ^{d})^{\frac{2(α−β)}{d+2α}}∥(−Δ)^{α/2}f(·)∥L_{2}(ℝ^{d})^{\frac{d+2β}{d+2α}},

где

K = K(β, α, d) = \sqrt{\frac{d + 2α}{d + 2β}} (\frac{2^{1−d}}{π^{d/2}Γ(d/2)(d + 2α)})^{\frac{α−β}{d+2α}} .

Точность данного неравенства означает, что константу K нельзя уменьшить.

Приведем краткую схему доказательства. Пусть δ > 0. Рассмотрим экстремальную задачу на W_{∞,2}^{α}(ℝ^{d}):

∥(−Δ)^{β/2}f(·)∥_{L_{2}(ℝ^{d})} → max, ∥F f(·)∥_{L∞(ℝ^{d})} ⩽ δ, ∥(−Δ)^{α/2}f(·)∥_{L_{2}(ℝ^{d})} ⩽ 1.  (1)

Если перейти к образам Фурье, то, по теореме Планшереля, квадрат значения данной задачи (то есть величина верхней грани максимизируемого функционала) будет равен значению такой задачи

\frac{1}{(2π)^{d}} ∫_{ℝ^{d}} |ξ|^{2β}|F f(ξ)|^{2} dξ → max, |F f(ξ)|^{2} ⩽ δ^{2}, \frac{1}{(2π)^{d}} ∫_{ℝ^{d}} |ξ|^{2α}|F f(ξ)|^{2} dξ ⩽ 1,  (2)

где неравенство в первом ограничении выполняется для почти всех ξ ∈ ℝ^{d}.

Относительно переменной |F f(·)|^{2} данная задача является задачей выпуклого программирования. Используя стандартные методы выпуклой оптимизации (см., напр., [1]), можно доказать, что функция f̂(·) такая, что

F f̂(ξ) = \begin{cases}δ, & |ξ| ⩽ σ; \\ 0, & |ξ| > σ, \end{cases}

где

σ = (\frac{2^{d−1}π^{d/2}(d + 2α)Γ(d/2)}{δ^{2}})^{\frac{1}{d+2α}} ,

является ее решением. Подставляя эту функцию в максимизируемый функционал в (2), а затем извлекая квадратный корень, получаем, что значение S задачи (1) таково

S = \sqrt{\frac{d + 2α}{d + 2β}} (\frac{δ^{2}2^{1−d}}{π^{d/2}Γ(d/2)})^{\frac{α−β}{d+2α}} .

Пусть теперь f(·) — произвольная функция из W_{∞,2}^{α}(ℝ^{d}), отличная от нуля. Положим g(·) = = f(·)/∥(−Δ)^{α/2}f(·)∥_{L_{2}(ℝ^{d})}. Тогда ясно, что ∥(−Δ)^{α/2}g(·)∥_{L_{2}(ℝ^{d})} = 1 и ∥F g(·)∥_{L∞(ℝ^{d})} = = ∥F f(·)∥_{L∞(ℝ^{d})}/∥(−Δ)^{α/2}f(·)∥_{L_{2}(ℝ^{d})}, то есть g(·) удовлетворяет ограничениям задачи (1) с δ = = ∥F f(·)∥_{L∞(ℝ^{d})}/∥(−Δ)^{α/2}f(·)∥_{L_{2}(ℝ^{d})}. Следовательно,

∥(−Δ)^{β/2}g(·)∥_{L_{2}(ℝ^{d})} = \frac{∥(−Δ)^{β/2}f(·)∥_{L_{2}(ℝ^{d})}}{∥(−Δ)^{α/2}f(·)∥_{L_{2}(ℝ^{d})}} ⩽ S.

Подставляя δ = ∥F f(·)∥_{L∞(ℝ^{d})}/∥(−Δ)^{α/2}f(·)∥_{L_{2}(ℝ^{d})} в выражение для S, получаем после несложных преобразований требуемое неравенство. На функции f̂(·), как легко убедиться, оно обращается в равенство и поэтому константа K — наименьшая из возможных.

Подобные неравенства, но когда вместо степеней оператора Лапласа рассматриваются производные, изучались в работе [2]. Доказательство данного неравенства следует рассуждениям из этой работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2003 2-е изд.

2. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функциональный анализ и его приложения. 2003. Т. 37. Вып. 3. С. 51-64.

Abstract: the paper is devoted to determination of the exact constant in the inequality for fractional powers of Laplace operator; the proof is based on the Lagrange principle in theory of extremum.

Keywords: Laplace operator; extremal problem; Fourier transform.

Сивкова Елена Олеговна старший преподаватель Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики Россия, Москва e-mail: sivkova_elena@inbox.ru Elena Sivkova senior teacher Moscow State Institute of Radiotechnics, Electronics and Automatics Russia, Moscow e-mail: sivkova_elena@inbox.ru

УДК 517.921

ОГРАНИЧЕННЫЕ НА ОСИ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИТО ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} П. М. Симонов, А. В. Чистяков

Ключевые слова: винеровский процесс; линейное уравнение Ито; задача об ограниченных решениях, теорема Боля-Перрона; равномерно экспоненциальная устойчивость.

Аннотация: Для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений Ито

dx(t) = a(t)x(t)dt + b(t)x(t)w(dt) + ϕ(dt) (t ∈ ℝ)

с интегрально ограниченными (в среднем) коэффициентами изучается вопрос о существовании единственного ограниченного решения при ограниченном аддитивном возмущении ϕ(dt), являющимся стохастической ограниченной мерой; показано, что если класс возмущений достаточно велик (содержит абсолютно непрерывные меры с суммируемой плотностью), то существование ограниченного решения возможно только в случае равномерной экспоненциальной устойчивости, то есть очень быстрой стабилизации решений однородной системы; это утверждение — прямое следствие сильной необратимости потока событий, необходимого для реализации винеровской меры w(dt).

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и администрации Пермского края (грант � 07-01-96060-р-урал-а) и ЗАО “ПРОГНОЗ”.

Рассмотрим линейную систему уравнений Ито

dx(t) = A(t)x(t)dt + B(t)x(t)w(dt) + f(t)dt, t ∈ ℝ,  (10)

где n×n-матричные процессы A(t), B(t) и n-мерный процесс f(t) согласованы с потоком σ-алгебр (F_{t})_{t∈ℝ}, порожденным на исходном вероятностном пространстве (Ω, F, P) скалярной винеровской мерой w(dt). Винеровской мерой называется стохастическая мера на ℝ, такая, что при всех s ∈ ℝ случайный процесс w_{s}(t) = w([s, t)), t ⩾ s является стандартным броуновским движением на полуоси [s, ∞).

Для нормировки случайных величин φ со значениями в конечномерных нормированных пространствах зафиксируем число p ∈ [1, ∞) и положим |φ| = (E||φ||^{p})^{1/p}. Случайный процесс x(t) будем называть ограниченным, если sup_{t∈ℝ}|x(t)| < ∞. Соответственно, процесс f(t) будем называть интегрально

ограниченным, если sup_{t∈ℝ}| ∫_{t}^{t+1}||f(s)|| ds| < ∞. При условиях:

a) sup_{t∈ℝ}vrai sup_{ω∈Ω} ∫_{t}^{t+δ}||A(s)|| ds →^{δ→0+} 0; b) sup_{t∈ℝ}vrai sup_{ω∈Ω} ∫_{t}^{t+δ}||B(s)||^{2} ds →^{δ→0+} 0

задача Коши dx(t) = A(t)x(t)dt + B(t)x(t)w_{s}(dt) + f(t)dt, t > s, x(s) = x_{s} имеет единственное решение для всех F_{s}-измеримых начальных значений x_{s} и всех F_{t}-согласованных возмущений f(t). Уравнение (10) называется равномерно экспоненциально устойчивым, если существуют константы C > 0 и α > 0 такие, что при всех s ∈ ℝ для любого решения однородной задачи Коши справедлива оценка |x(t)| < Ce^{−α(t−s)}|x_{s}|, t > s.

Решением уравнения (10) называется F_{t}-согласованный случайный процесс x(t), t ∈ ℝ, такой, что при каждом s ∈ ℝ ограничение x(t) на полуось [0, ∞) является решением задачи Коши.

Т е о р е м а. Уравнение (10) имеет точно одно ограниченное решение x(t) при каждом интегрально ограниченном возмущении f(t) тогда и только тогда, когда это уравнение равномерно экспоненциально устойчиво.

Abstract: the question of existence of unique bounded solution at bounded additive change of ϕ(dt), which is stochastic bounded measure, is investigated for the linear system of Itô ordinary differential equations

dx(t) = a(t)x(t)dt + b(t)x(t)w(dt) + ϕ(dt) (t ∈ ℝ)

with integrally bounded (on the average) coefficients; it is showed, that if the class of these changes is enough wide (contains absolutely continuous measures with summable density), then existence of bounded solution is possible only in case of uniform exponential stability, i. e. very fast stabilization of solution of homogeneous system; this statement is the direct corollary of the strong events flow irreversibility which is necessary for realization of Wiener measure w(dt). Keywords: Wiener process; linear equation Itô; problem about the bounded solution; Bohl-Perron’s theorem; uniformly exponentially stability.

Симонов Пётр Михайлович д. ф.-м. н., профессор Пермский государственный университет Россия, Пермь e-mail: simonov@econ.psu.ru Petr Simonov doctor of phys.-math. sciences, professor Perm State University, Russia, Perm e-mail: simonov@econ.psu.ru

Чистяков Александр Владимирович к. ф.-м. н., доцент Удмуртский государственный университет Россия, Ижевск e-mail: simpm@mail.ru Aleksandr Chistyakov candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Udmurtian State University Russia, Izhevsk e-mail: simpm@mail.ru

УДК 517.977.5

МОНОТОННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ГАМИЛЬТОНА–ЯКОБИ В ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} С. П. Сорокин

Ключевые слова: функции Ляпунова; неравенства Гамильтона-Якоби; множество достижимости; условия оптимальности.

Аннотация: В докладе речь пойдет об оценках множеств достижимости и связанных с ними необходимых и достаточных условиях оптимальности в задачах управления; оценки и условия оптимальности основаны на использовании семейств функций типа Ляпунова - решений неравенств Гамильтона-Якоби.

Решения неравенств и уравнения Гамильтона–Якоби (то есть функции типа Ляпунова, Кротова, Беллмана) находят широкое применение в теории управления при изучении вопросов инвариантности, достижимости, управляемости и оптимальности [1–4]. В докладе речь пойдет об аппроксимациях и точном описании множества достижимости (точнее, множества соединимых точек) управляемой системы, оценках целевого функционала задачи и условиях оптимальности. Ключевую роль в подходе играет оперирование произвольными множествами таких функций.

Приведем некоторые из указанных результатов применительно к следующей задаче оптимального управления (P_{Δ}) с общими (не разделенными) концевыми ограничениями:

ẋ = f(t, x, u), u(t) ∈ U,  (1)
(x(t_{0}), x(t_{1})) ∈ C,

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект � 07-01-00741) и СО РАН (интеграционный проект СО РАН–УрО РАН � 85).

J(x(·), u(·)) = l(x(t_{0}), x(t_{1})) → inf .

Здесь Δ = [t_{0}, t_{1}] – фиксированный отрезок времени, (x(·), u(·)) ∈ AC(Δ, ℝ^{n})×L_{∞}(Δ, U) – процесс системы, множество U ⊂ ℝ^{m} компактно, C замкнуто, множество скоростей системы f(t, x, U) выпукло, функция f непрерывна и липшицева по x равномерно по (t, u), l – непрерывна.

Введем множество точек, соединимых траекториями системы (1):

R := {(x_{0}, x_{1}) ∈ ℝ^{n} × ℝ^{n} | ∃ x(·) : x(t_{0}) = x_{0}, x(t_{1}) = x_{1}}.

Рассмотрим два неравенства Гамильтона–Якоби

φ_{t}(t, x, y) + max{φ_{x}(t, x, y) · f(t, x, u) | u ∈ U} ⩽ 0 п.в. на Δ × ℝ^{n} × ℝ^{n},  (2)
φ_{t}(t, x, y) + max{φ_{x}(t, x, y) · f(t, x, u) | u ∈ U} ⩾ 0 п.в. на Δ × ℝ^{n} × ℝ^{n},  (3)

в качестве решений которых будем рассматривать локально липшицевые (для (2)) и локально липшицевые и полувогнутые по (t, x) (для (3)) функции φ(t, x, y), зависящие от y как от параметра и удовлетворяющие условию согласования

φ(t_{0}, x, x) ⩽ 0 ⇔ x ∈ pr_{x_{0}}C,

в предположении, что множество pr_{x_{0}}C замкнуто. Множество решений неравенства (2) обозначим через Φ_{+}, а неравенства (3) — через Φ_{−}.

Отметим, что функции из Φ_{+} обладают свойством сильной монотонности — они не возрастают вдоль всех траекторий системы (1), а функции из Φ_{−} являются слабо монотонными — для каждой φ ∈ Φ_{−} существует траектория системы (1), вдоль которой φ не убывает. Все такие функции мы называем функциями типа Ляпунова или L-функциями.

Введем оценивающее множество, порожденное L-функцией φ:

E(φ) := {(x_{0}, x_{1}) ∈ ℝ^{n} × ℝ^{n} | φ(t_{1}, x_{1}, x_{0}) ⩽ 0; φ(t_{0}, x_{0}, x_{0}) ⩽ 0}.

Следующая теорема об аппроксимациях и точном описании множества R обобщает некоторые результаты работ [2, 4] на задачи с общими концевыми ограничениями (P_{Δ}).

Т е о р е м а 1. a) Любое множество функций Φ ⊂ Φ_{+} дает внешнюю аппроксимацию множества соединимых точек:

⋂_{φ∈Φ} E(φ) ⊃ R.

б) Любое множество функций Φ ⊂ Φ_{−} дает внутреннюю аппроксимацию множества соединимых точек:

⋃_{φ∈Φ} E(φ) ⊂ R.

в) Существует такая полувогнутая функция φ ∈ Φ_{+} ∩ Φ_{−}, что

E(φ) = R.

Сделаем ряд замечаний к теореме.

З а м е ч а н и е 1. Появление параметра в числе аргументов L-функций на первый взгляд может показаться неожиданным, однако оно вполне естественно, так как речь идет об аппроксимации множества в пространстве ℝ^{n} × ℝ^{n}.

З а м е ч а н и е 2. Оперирование произвольными множествами L-функций, с одной стороны, нацелено на получение предельно подходящих оценок множества соединимых точек, а с другой – в конкретных задачах это позволяет более широко использовать гладкие L-функции [3, 4] вместо существенно негладких (скажем, полунепрерывных).

На основе теоремы 1 получаются нижние и верхние оценки точной нижней грани целевого функционала задачи (P_{Δ}), а также соответствующие достаточные и необходимые условия локальной и глобальной оптимальности. Отметим, что эти достаточные условия являются предпочтительными по гибкости и удобству в приложениях по сравнению с условиями В.Ф. Кротова и их известными модификациями (например, [5]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Wolenski P.R. Nonsmooth Analysis and Control Theory. Springer-Verlag, N. Y., Grad. Texts in Math. 1998. V. 178.

2. Хрусталев М.М. Точное описание множеств достижимости и условие глобальной оптимальности динамических систем. I. Оценки и точное описание множеств достижимости и управляемости // Автоматика и телемеханика. 1988. � 5. С. 62–71.

3. Дыхта В.А. Неравенство Ляпунова-Кротова и достаточные условия в оптимальном управлении // Итоги науки и техники. Совр. математика и ее приложения. 2006. Т. 110. С. 76–108.

4. Аргучинцев А.В., Дыхта В.А., Срочко В.А. Оптимальное управление: нелокальные условия, вычислительные методы и вариационный принцип максимума // Известия вузов. Математика. 2009. � 1. С. 3–43.

5. Clarke F.H., Nour C. Nonconvex Duality in Optimal Control // SIAM J. Control and Optimization. 2005. V. 43, � 6. P. 2036–2048.

Abstract: the report is devoted to estimating of reachable sets for control dynamic systems and to obtaining necessary and sufficient optimality conditions for optimal control problems; the estimations and the optimality conditions are based on using of a set of Lyapunov type functions, i.e., solutions to Hamilton-Jacobi inequalities.

Keywords: Lyapunov type functions; Hamilton-Jacobi inequalities; reachable set; optimality conditions.

Сорокин Степан Павлович аспирант Институт динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН Россия, Иркутск e-mail: sorsp@mail.ru Stepan Sorokin post-graduate student Institute of System Dynamics and Control Theory of Siberian Department of RAS Russia, Irkutsk e-mail: sorsp@mail.ru

УДК 519.85

РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ФУЖЕРА ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} М. В. Старов

Ключевые слова: базисы Гребнера; метод Фужера; модулярные методы.

Аннотация: Строится алгоритм вычисления базиса Гребнера методом Фужера F4; этот алгоритм реализован модулярно с применением метода CRT (Китайской теоремы об остатках).

1Работа выполнена при поддержке программы "Развитие потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/1853).

basis – базис Гребнера, промежуточный и окончательный. Это динамический массив, в который добавляются полиномы, возникающие в результате редукции. После всех итераций здесь будет искомый результат — базис Гребнера;

sP airs – список пар. В этом массиве хранятся пары ссылок на базисные полиномы в массиве basis. Ссылки хранятся в виде пар целых числа (i, j), i < j.

Было замечено, что в результате приведения матрицы к ступенчатому виду остаются полиномы, которые в дальнейшем могут быть редуцированы базисными полиномами basis. Поэтому в алгоритм был добавлен блок, в котором полиномы на этом же шаге редуцировались повторно. Другими словами, на этих полиномах строится матрица и приводится к ступенчатому виду. Однако после этого могут снова возникнуть полиномы, редуцируемые базисными полиномами. Поэтому, это повторное редуцирование реализовано рекурсивно. Это изменение алгоритма привело к тому, что количество шагов, которые требуются для вычисления базиса Гребнера, значительно уменьшается. Однако увеличивается количество небольших систем линейных уравнений, которые нужно решать.

Этот алгоритм реализован модулярно с применением метода CRT. Причем, при первом проходе этого алгоритма (по первому модулю) промежуточные вычисления, такие как номера столбцов матриц, ссылки на базисные полиномы, которыми заполняется матрица, указатели на строки уже ступенчатой матрицы, которые после преобразования в полиномы добавятся в базис, и степени мономов этих полиномов, запоминаются. Этих данных вполне достаточно, чтобы при повторном вычислении базиса Гребнера никаких операций, кроме приведения матриц к ступенчатому виду, не производилось.

Abstract: an algorithm for computing Groebner basis by Faugere’s method F4 is constructed; it is modulo realized using the CRT method (Chinese remainders theorem).

Keywords: Groebner basis; Faugere’s method; modulo methods.

Старов Максим Викторович аспирант Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: m_starov@mail.ru Maksim Starov post-graduate student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: m_starov@mail.ru УДК 517.95

РАВНОСТЕПЕННАЯ КВАЗИНИЛЬПОТЕНТНОСТЬ: ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИЗНАКИ, ПРИМЕНЕНИЯ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} В. И. Сумин

Ключевые слова: равностепенно квазинильпотентное семейство операторов; вольтеррова цепочка оператора; теорема об эквивалентной норме.

Аннотация: Вводятся понятия равностепенно квазинильпотентного и суперравностепенно квазинильпотентного семейства операторов. Формулируются соответствующие признаки для случая функциональных операторов; обсуждаются применения введенных понятий и сформулированных признаков.

Пусть B — банахово пространство, Γ — некоторое множество, {G(γ)}_{γ∈Γ} — семейство зависящих от параметра γ ∈ Γ действующих в B квазинильпотентных линейных операторов. Напомним, что в соответствии с формулой И.М. Гельфанда квазинильпотентность оператора G(γ)[.] : B → B

означает выполнение предельного соотношения: \sqrt[k]{∥\{G(γ)\}^{k}∥} → 0 при k → ∞.

Следуя [1, 2], cемейство операторов {G(γ)}_{γ∈Γ} назовем равностепенно квазинильпотентным, если sup_{γ∈Γ} \sqrt[k]{∥G(γ)^{k}∥} → 0 при k → ∞, и — суперравностепенно квазинильпотентным, если

sup_{γ_{1},...,γ_{k}∈Γ} \sqrt[k]{∥G(γ_{1})G(γ_{2}) · . . . · G(γ_{k})∥} → 0 при k → ∞. Полезность для приложений введенных

понятий связана, в частности, со следующей сформулированной в [1] и доказанной в [2] теоремой, которая развивает известные утверждения об эквивалентной норме из �2 главы 2 книги [3].

Т е о р е м а 1. Пусть норма ∥·∥ пространства B монотонна относительно полуупорядоченности B по некоторому конусу K, а семейство операторов {G(γ)}_{γ∈Γ} равномерно ограничено и суперравностепенно квазинильпотентно, причем для каждого из операторов семейства конус K инвариантен. Тогда для любого ε > 0 существует эквивалентная норме ∥·∥ норма ∥·∥_{(ε)} пространства B, монотонная относительно полуупорядоченности B по конусу K и такая, что для каждого γ ∈ Γ соответствующая норма оператора G(γ) не превосходит ε.

Сформулируем удобный в приложениях цепочечный признак суперравностепенной квазинильпотентности семейства функциональных операторов. Пусть Π ⊂ R^{n} ограничено и измеримо по Лебегу, Σ — σалгебра измеримых подмножеств Π, E ≡ E(Π) — банахово идеальное пространство вещественных измеримых на Π функций, P_{H} — оператор умножения на характеристическую функцию множества H ∈ Σ. Следуя [4], назовем оператор G : E → E вольтерровым на системе T ⊂ Σ, если P_{H}GP_{H} = = P_{H}G ∀H ∈ T; весь класс таких операторов обозначим V (T) . Пусть δ — положительное число, T = {H_{0}, H_{1}, . . . . . . , H_{m}} ⊂ Σ — цепочка множеств, ∅ = H_{0} ⊂ H_{1} ⊂ … ⊂ H_{m−1} ⊂ H_{m} = Π. Следуя [1, 2], назовем цепочку T вольтерровой сильной δ-цепочкой оператора G : E → E, если G ∈ V (T ) и выполняются неравенства ∥P_{H_{i}\H_{i−1}}GP_{H_{j}\H_{j−1}} ∥_{E→E} ⩽ δ, m ⩾ i ⩾ j ⩾ 1.

Т е о р е м а 2. Если семейство {G(γ)}_{γ∈Γ} действующих в E линейных ограниченных операторов таково, что для любого δ > 0 существует общая для всех операторов семейства вольтеррова сильная δ-цепочка, то это семейство операторов суперравностепенно квазинильпотентно.

В докладе обсуждаются применения сформулированных теорем в теории управляемых краевых задач. Так, в [1, 2, 5-8] эти теоремы применяются для получения достаточных условий сохранения глобальной разрешимости краевых задач при возмущении управления. При этом используется, в частности, то, что в конкретных операторных классах признаку теоремы 2 можно придать удобный для приложений вид. Рассмотрим, например, важный случай лебеговых пространств. Пусть заданы: числа p, q ∈ [1, ∞], p ⩽ q; линейный ограниченный оператор G : L_{p} → L_{q}; множество Γ ⊂ L_{r}, где

1Финансовая поддержка РФФИ (проект � 07-01-00495) и аналитической целевой ведомственной программы �Развитие научного потенциала высшей школы (2009–2010)� Минобрнауки РФ (регистрационный � 2.1.1/3927).

r = \{\frac{pq}{q − p}, если p < q < ∞; p, если p < q = ∞; ∞, если p = q\} .

В приложениях (см., например, [1, 2, 5-8]) часто приходится изучать семейства операторов F : L_{p} → L_{p}, задаваемые формулой

F [z](t) ≡ α(t)G[z](t), t ∈ Π, z ∈ L_{p} (α ∈ Γ).  (1)

В [1, 2] для семейств вида (1) получен ряд конкретных следствий теоремы 2, удобных для приложений. Чтобы сформулировать некоторые из них, договоримся, следуя [1, 2], цепочку множеств называть δ−малой по мере, если мера разностей �соседних� ее элементов не превосходит δ.

Л е м м а 1. Если p < q и выполняются условия:

1) Γ — семейство функций с равностепенно абсолютно непрерывными L_{r}-нормами;

2) для любого δ > 0 оператор G имеет δ-малую по мере вольтеррову цепочку, то задаваемое формулой (1) семейство операторов F : L_{p} → L_{p} удовлетворяет условию теоремы 2 и суперравностепенно квазинильпотентно.

Л е м м а 2. Если выполнены условия:

1) Γ — ограниченное множество в L_{r};

2) для любого δ > 0 оператор G имеет вольтеррову сильную δ-цепочку, то задаваемое формулой (1) семейство операторов F : L_{p} → L_{p} удовлетворяет условию теоремы 2 и суперравностепенно квазинильпотентно.

Л е м м а 3. Если q < ∞, оператор G вполне непрерывен и выполнены условия 2) леммы 1 и 1) леммы 2, то задаваемое формулой (1) семейство операторов F : L_{p} → L_{p} удовлетворяет условию теоремы 2 и суперравностепенно квазинильпотентно. Условие вполне непрерывности здесь может быть ослаблено до следующего условия: оператор G : L_{p} → L_{q} переводит единичный шар в множество функций с равностепенно абсолютно непрерывными нормами.

ЛИТЕРАТУРА 1. Сумин В.И. Управляемые функциональные вольтерровы уравнения в лебеговых пространствах // Вестн.

ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород, 1998. Вып. 2 (19). С. 138-151.

2. Сумин В.И. Об управляемых функциональных вольтерровых уравнениях в лебеговых пространствах. Н. Новгород, 1998. 96 с. Деп. в ВИНИТИ 03.09.98. � 2742-В98

3. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: ГИФМЛ, 1962.

4. Сумин В.И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // ДАН СССР. 1989. Т. 305. � 5. С. 1056-1059.

5. Сумин В.И. Проблема устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач и вольтерровы функциональные уравнения // Вестн. ННГУ. Математика. Н. Новгород, 2003. Вып. 1. С. 91-108.

6. Сумин В.И. К проблеме сингулярности распределенных управляемых систем. I; II; III; IV // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород, 1999. Вып. 2 (21). С. 145-155; 2001. Вып. 1 (23). С. 198-204; 2002. Вып. 1 (25). С. 164-174; 2004. Вып. 1 (27). С. 185-193.

7. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Управляемая задача Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной. I; II // Вестн. ННГУ. Математика. Н. Новгород, 2005. Вып. 1 (3). С. 88-101; 2006. Вып. 1 (4). С.65-80.

8. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Об условиях устойчивости существования глобальных решений управляемой задачи Гурса-Дарбу // Вестн. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород, 2006. Вып. 2 (31). С. 64-81.

Abstract: definition of uniform quasinilpotent family of the operators and definition of superuniform quasinilpotent family of the operators are introduced; corresponding conditions for functional operators are formulated; applications of these definitions and conditions are discussed.

Keywords: uniform quasinilpotent family of the operators; Volterra chain of the operator; theorem about the equivalent norm.

Сумин Владимир Иосифович д. ф.-м. н., профессор Нижегородский государственный университет Россия, Нижний Новгород e-mail: v_sumin@mail.ru Vladimir Sumin doctor of phys.-math. sciences, professor Nizhniy Novgorod State University Russia, Nizhniy Novgorod e-mail: v_sumin@mail.ru УДК 517.977.52, 517.977.58, 517.983.54, 519.853

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ДВОЙСТВЕННАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ПРИНЦИП МАКСИМУМА В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ФАЗОВЫМИ

ОГРАНИЧЕНИЯМИ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} М. И. Сумин

Ключевые слова: оптимальное управление; поточечные фазовые ограничения; минимизирующая последовательность; метод возмущений; двойственность; регуляризация; принцип максимума Понтрягина.

Аннотация: Доклад посвящен применению метода двойственной регуляризации в параметрической линейно-выпуклой задаче оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями типа равенства и неравенства; обсуждается так называемый регуляризованный принцип максимума Понтрягина.

Постановка задачи. Рассматривается параметрическая линейно-выпуклая задача оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями типа равенства и неравенства, понимаемыми как ограничения в гильбертовом пространстве H ≡ L_{2}(X)

(P_{p,r})  g_{0}(u) ≡ ∫_{0}^{T} (⟨F (t)x[u](t), x[u](t)⟩ + ⟨G(t)u(t), u(t)⟩)dt → min, u ∈ D ⊂ L_{2}(0, T),
g_{1}(u)(t) ≡ ⟨φ_{1}(t), x[u](t)⟩ = h(t) + p(t), g_{2}(u)(t) ≡ φ_{2}(t, x[u](t)) ⩽ r(t) при п.в. t ∈ X.

Здесь: p ∈ H, r ∈ H – параметры, g_{0} : L_{2}(0, T) → R^{1} – сильно выпуклый функционал с постоянной κ, F, A : [0, T] → R^{n×n}, B : [0, T] → R^{n×m}, G : [0, T] → R^{m×m} – измеримые по Лебегу ограниченные матрицы, φ_{1}, h ∈ L_{∞}(0, T) – заданные функции, φ_{2} : [0, T] × R^{n} → R^{1} – выпуклая по x, непрерывная вместе с градиентом ∇_{x}φ_{2} функция, D ≡ {u ∈ L_{2}(0, T) : u(t) ∈ ∈ U при п.в. t ∈ (0, T)}, U ⊂ R^{m} – выпуклый компакт, X ⊂ [0, T], X = cl X^{∘}, x[u](t), t ∈ [0, T] – решение задачи Коши

ẋ = A(t)x + B(t)u(t), x(0) = x_{0} ∈ R^{n}, t ∈ [0, T].

Обозначим единственное решение задачи (P_{p,r}), если оно существует, через u_{p,r}^{0}.

Параметрическая двойственная регуляризация и принцип максимума Понтрягина.

Двойственная регуляризация [1] для задачи (P_{p,r}) заключается в непосредственном решении двойственной к (P_{p,r}) и регуляризованной по Тихонову задачи

R_{p,r}^{α}(λ, μ) ≡ V_{p,r}(λ, μ) − α∥(λ, μ)∥^{2} → sup, (λ, μ) ∈ H × H_{+},  (1)

V_{p,r}(λ, μ) ≡ min_{u∈D} L_{p,r}(u, λ, μ), L_{p,r}(u, λ, μ) ≡ g_{0}(u) + ⟨λ, g_{1}(u) − h − p⟩ + ⟨μ, g_{2}(u) − r⟩,

u[λ, μ] ≡ arg min{L_{p,r}(u, λ, μ) : u ∈ D}, (λ_{p,r}^{α}, μ_{p,r}^{α}) ≡ arg max{R_{p,r}^{α}(λ, μ) : (λ, μ) ∈ H × H_{+}},

H_{+} ≡ {z ∈ L_{2}(X) : z(t) ⩾ 0 при п.в. t ∈ X},

1Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 07-01-00495) и аналитической целевой ведомственной программы �Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)� Минобрнауки РФ (регистрационный � 2.1.1/3927).

в результате чего происходит аппроксимация в метрике L_{2}(0, T) при α → 0 решения u_{p,r}^{0} элементами u[λ_{p,r}^{α}, μ_{p,r}^{α}]. Наличие параметра (p, r) ∈ H×H в исходной задаче позволяет исследовать зависимость от него свойств сходимости двойственного алгоритма (1): связь с дифференциальными свойствами функции значений (S-функции) β(p, r) ≡ {g_{0}(u_{p,r}^{0}), если задача (P_{p,r}) разрешима ; +∞ в противоположном случае }, разрешимостью двойственной задачи, принципом Лагранжа и принципом максимума Понтрягина.

Важнейшее преимущество рассмотрения ограничений задачи (P_{p,r}), как ограничений в L_{2}(X), заключается, прежде всего, в том, что это приводит к устойчивому к ошибкам исходных данных алгоритму ее решения [1]. В то же время, при определенных условиях на исходные данные эти ограничения можно, естественно, трактовать и как ограничения в L_{∞}(X) (p, r ∈ L_{∞}(X) ) и C(X) (φ_{1}, h, p, r ∈ C(X)). При этом понятия оптимальности управления в указанных частных случаях эквивалентны понятию оптимальности для случая, когда �те же� ограничения рассматриваются в L_{2}(X).

Как и в [1], [2], алгоритм (1) для решения задачи (P_{p,r}) ведет себя двояко в зависимости от того, разрешима или нет двойственная к (P_{p,r}) задача. В первом случае семейство двойственных переменных (λ_{p,r}^{α}, μ_{p,r}^{α}), α → 0 ограничено в H × H, во втором – нет. Однако в обоих случаях �параллельно� с построением минимизирующего приближенного решения в смысле Дж. Варги алгоритм (1) ведет и к соответствующим необходимым условиям – так называемому регуляризованному принципу Лагранжа в недифференциальной форме [2] в задаче (P_{p,r}) и, соответственно, регуляризованному принципу максимума Понтрягина. Главное отличие последних от их классических аналогов заключается в том, что, во-первых, они записываются в терминах минимизирующих последовательностей (а не оптимальных управлений), а во-вторых, выполняются в любой задаче (P_{p,r}), имеющей решение (как известно, эти классические аналоги в задачах (P_{p,r}) с ограничениями в L_{2}(X) могут не быть справедливыми).

В докладе центральное внимание уделяется обсуждению регуляризованных принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина в задаче (P_{p,r}), возможности и целесообразности их применения для решения задач оптимизации, оптимального управления, а также некорректных обратных задач. Показывается также, что, если в задаче отсутствует ограничение-равенство ((P_{p,r})=(P_{r})), а ограничение-неравенство понимается как ограничение в C(X), r ∈ C(X), то регуляризованный принцип максимума после некоторой естественной перенормировки множителя μ_{r}^{α}, в независимости от того, разрешима или нет двойственная задача, приводит к невырожденному классическому принципу максимума Понтрягина для управления u_{r}^{0}, в записи которого участвует традиционная в таком важном частном случае мера Радона. Кроме того, обсуждается важность изучения параметрических задач (P_{p,r}) с точки зрения конструирования аналогичных алгоритмов решения и нелинейных задач оптимального управления с фазовыми ограничениями [3]. Рассматриваются иллюстративные примеры.

ЛИТЕРАТУРА 1. Сумин М.И. Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования на основе

теории двойственности // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. � 4. С. 602-625.

2. Сумин М.И. Метод возмущений и двойственная регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования // Проблемы динамического управления: сб. науч. тр. факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова/ под ред. Ю.С. Осипова, А.В. Кряжимского. Вып. 3. М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ, 2008. С. 200-231.

3. Сумин М.И. Регуляризованный двойственный метод решения нелинейной задачи математического программирования // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. � 5. С. 796-816.

Abstract: The report is devoted to application of the dual regularization method in parametric linearconvex optimal control problem with equality and inequality pointwise state constraints; so-called regularized Pontryagin maximum principle is discussed.

Keywords: optimal control; pointwise state constraints; minimizing sequence; perturbation method; duality; regularization; Pontryagin maximum principle.

Сумин Михаил Иосифович д. ф.-м. н., профессор Нижегородский государственный университет Россия, Нижний Новгород e-mail: msumin@sinn.ru Mikhail Sumin doctor of phys.-math. sciences, professor Nizhniy Novgorod State University Russia, Nizhniy Novgorod e-mail: msumin@sinn.ru

УДК 517.95

УСЛОВИЯ СОХРАНЕНИЯ ГЛОБАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ВОЛЬТЕРРОВЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В

ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} В. И. Сумин, А. В. Чернов

Ключевые слова: вольтерровы операторные уравнения; условия сохранения глобальной разрешимости. Аннотация: Дается обзор полученных авторами достаточных условий сохранения глобальной разрешимости

вольтерровых операторных уравнений, а также возможностей их конкретного применения к различным управляемым начально-краевым задачам для нелинейных уравнений с частными производными.

В [1] было предложено для изучения распределенных оптимизационных задач использовать функциональные уравнения вида

z(t) = f(t, A[z](t), v(t)),  t ∈ Π ⊂ R^{n},  z ∈ L_{p}^{m} ≡ (L_{p}(Π))^{m} ,  (1)

где f(., ., .) : Π × R^{l} × R^{s} → R^{m}, v(.) : Π → R^{s} — управляющая функция, A[.] : L_{p}^{m} → L_{q}^{l} — оператор, вольтерров на некоторой системе T измеримых подмножеств Π в том смысле, что ∀H ∈ T значения A[z](t), t ∈ H, не зависят от значений z(t), t ∈ Π\H. Приведенное определение [1] вольтерровости функционального оператора является непосредственным многомерным обобщением известного определения А.Н. Тихонова функционального оператора типа Вольтерра и означает, что ∀H ∈ T P_{H}A = P_{H}AP_{H}, где P_{H} — оператор умножения на характеристическую функцию множества H ⊂ Π. Множества H ∈ T при этом естественно назвать вольтерровыми множествами функционального оператора A. Форма (1) удобна в теории оптимального управления, во-первых, ввиду того, что к ней естественным образом приводятся разнообразные управляемые начальнокраевые задачи для самых различных нелинейных уравнений с частными производными, а вовторых, потому, что такое описание распределенных управляемых систем адекватно многим проблемам теории оптимизации (см., например, [1-3] и краткий обзор [4]). В частности, в [1-3] построена теория достаточных условий устойчивости существования глобальных решений (УСГР) уравнений вида (1) по возмущению функции f, управления v и оператора A, даны разнообразные примеры применения полученных общих условий такой устойчивости в конкретных оптимизационных задачах (см. [4]). Аналогичным образом в [2] получены достаточные условия УСГР для вольтерровых функциональных уравнений 2-го рода общего вида в пространстве L_{∞}^{m}. В [5] и других работах авторов доклада схема [1-3] получения условий УСГР функциональных уравнений была распространена на случай вольтерровых операторных уравнений второго рода общего вида в банаховом пространстве. В докладе дается обзор полученных авторами достаточных условий УСГР вольтерровых операторных уравнений, а также возможностей их конкретного применения к различным управляемым краевым задачам для нелинейных уравнений с частными производными. Сформулируем теорему УСГР из [5].

1Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 07-01-00495) и аналитической целевой ведомственной программы �Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)� Минобрнауки РФ (регистрационный � 2.1.1/3927).

Пусть E — банахово пространство, ℙ(E) — множество всех проекторов на E, то есть линейных ограниченных операторов P : E → E со свойством P P = P (ℙ(E) полуупорядочено в смысле отношения P_{1} ⊂ P_{2}, означающего P_{1}P_{2} = P_{2}P_{1} = P_{1}; если P_{1} ⊂ P_{2}, то (P_{2} −P_{1}) ∈ ℙ(E)). Проектор P назовем вольтерровым проектором оператора F : E → E, если P F P = P F. Все множество вольтерровых проекторов F обозначим B(F). Если система B(F) нетривиальна, то есть состоит не только из нулевого P = 0 и единичного P = I операторов, то F будем называть вольтерровым оператором (а также вольтерровым оператором на любой нетривиальной подсистеме B(F) ). Если F : E → E вольтерров, то для уравнения

z = F [z], z ∈ E  (2)

при любом P ∈ B(F) естественным образом определяется P -локальный аналог путем замены E на P E, а F на P F, и, соответственно, — понятие P -локального решения. Пусть Ω — класс тех F : E → E, каждому из которых отвечает единственное в E (то есть глобальное) решение (2).

Всякую конечную систему проекторов T = {P_{0}, P_{1}, …, P_{k}} ⊂ B(F) со свойствами 0 = P_{0} ⊂ ⊂ P_{1} ⊂ … ⊂ P_{k} = I назовем вольтерровой цепочкой оператора F. Введем обозначения: P_{(α,β)} —

разность проекторов P_{α} −P_{β}; для произвольной системы ℜ ⊂ ℙ(E) положим |ℜ| ≡ sup{∥P ∥_{E→E} :

P ∈ ℜ}, ℜ^{(−)} ≡ {P_{(2,1)} : P_{1}, P_{2} ∈ ℜ, P_{1} ⊂ P_{2}}. Если T = {P_{0}, P_{1}, …, P_{k}} — вольтеррова цепочка

F : E → E, а функция φ(.) : T^{(−)} → ℝ_{+} и число δ > 0 таковы, что φ(P_{(i,i−1)}) < δ ∀i ∈ \overline{1, k}, то цепочку T назовем вольтерровой (φ, δ)-цепочкой оператора F.

Пусть: N (.) : ℝ_{+} → ℝ_{+} — неубывающая функция; ℜ ⊂ ℙ(E) — ограниченное по операторной норме множество, причем 0, I ∈ ℜ; φ(.) : ℜ^{(−)} → ℝ_{+} — функция. Оператор F : E → E отнесем к классу 𝔽(N , ℜ, φ), если ℜ ⊂ B(F), и для любых P_{1}, P_{2} ∈ ℜ, P_{1} ⊂ P_{2}, и любых x, z, Δz ∈ E имеем:

∥P_{(2,1)}(F [P_{1}x + P_{(2,1)}z] − F [P_{1}x + P_{(2,1)}[z + Δz]])∥_{E} ⩽

⩽ φ(P_{(2,1)}) · N (max{∥P_{1}x∥_{E}, ∥P_{(2,1)}z∥_{E}, ∥P_{(2,1)}[z + Δz]∥_{E}}) · ∥P_{(2,1)}[Δz]∥_{E}.

Обозначим через F(N , ℜ, φ) ту часть 𝔽(N , ℜ, φ), каждый элемент F которой при любом δ > 0 обладает лежащей в ℜ вольтерровой (φ, δ)-цепочкой. Если F ∈ F(N , ℜ, φ), то для любого P ∈ ∈ B(F) уравнение (2) не может иметь более одного P -локального решения.

Т е о р е м а. Пусть F_{0} ∈ F(N , ℜ, φ_{0})∩Ω и z_{0} ∈ E — глобальное решение (2) при F = F_{0}. Тогда при некотором δ > 0 для любой (φ_{0}, δ)-цепочки T ≡ {P_{0}, P_{1}, …, P_{k}} ⊂ ℜ оператора F_{0} найдутся числа ε > 0, C > 0 такие, что, если характеристика φ операторного класса F(N , ℜ, φ) обладает свойством

|φ(P) − φ_{0}(P)| ⩽ ε ∀P ∈ ℜ^{(−)},

то каждый оператор F ∈ F(N , ℜ, φ), для которого ∥F [z_{0}] − F_{0}[z_{0}]∥_{E} ⩽ ε, принадлежит Ω, а соответствующее глобальное решение z ∈ E уравнения (2) удовлетворяет неравенству ∥z − − z_{0}∥_{E} ⩽ C∥F [z_{0}] − F_{0}[z_{0}]∥_{E}.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сумин В.И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // ДАН СССР. 1989. Т. 305. � 5. C. 1056-1059.

2. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1992.

3. Сумин В.И. Управляемые функциональные вольтерровы уравнения в лебеговых пространствах // Вестн. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород, 1998. Вып. 2 (19). С. 138-151.

4. Сумин В.И. Вольтерровы функциональные уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // Дифференциальные уравнения и топология: тез. докл. Междунар. конф., посвящ. 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина. М, 2008. С. 400-401.

5. Сумин В.И., Чернов А.В. О достаточных условиях устойчивости существования глобальных решений вольтерровых операторных уравнений // Вестн. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород, 2003. Вып. 1 (26). С. 39-50.

Abstract: The authors give review of their theorems about the existence-stability conditions of global solutions of Volterra operator equations; applications of these theorems to the nonlinear controllable initial boundary value problems is discussed.

Keywords: Volterra operator equations, existence-stability conditions of global solutions.

Сумин Владимир Иосифович д. ф.-м. н., профессор Нижегородский государственный университет Россия, Нижний Новгород e-mail: v_sumin@mail.ru Vladimir Sumin doctor of phys.-math. sciences, professor Nizhniy Novgorod State University Russia, Nizhniy Novgorod e-mail: v_sumin@mail.ru

Чернов Андрей Владимирович к. ф.-м. н., доцент Нижегородский государственный университет Россия, Нижний Новгород e-mail: chavnn@mail.ru Andrey Chernov candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Nizhniy Novgorod State University Russia, Nizhniy Novgorod e-mail: chavnn@mail.ru УДК 517.929

МЕТОД МАЛЫХ ФОРМ В ПРОБЛЕМЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} М. Т. Терёхин

Ключевые слова: предельный цикл; многочлен; простые корни; корни четной и нечетной кратности. Аннотация: Исследуется проблема существования предельных циклов системы дифференциальных

уравнений второго порядка с векторным параметром; получено представление решения системы; приведены теоремы о числе предельных циклов.

Рассматривается система уравнений вида

ẋ = −y + ∑_{i+j=k}^{n} (a_{ij} + μ_{ij}) x^{i}y^{j}, y = x + ∑_{i+j=k}^{n} (b_{ij} + λ_{ij}) x^{i}y^{j},  (1)

в которой a_{ij}, b_{ij} – постоянные действительные числа, μ_{ij}, λ_{ij} – параметры, k ⩾ 2.

Пусть μ_{ν} = (μ_{ν 0}, μ_{ν−1 1}, ..., μ_{0 ν}), λ_{ν} = (λ_{ν 0}, λ_{ν−1 1}, ..., λ_{0 ν}), при любом ν ∈ {k, k + 1, ..., n}, γ_{ν} = (μ_{ν}, λ_{ν}) – вектор, первыми координатами которого являются координаты вектора μ_{ν}, остальными ν + 1 координатами – координаты вектораλ_{ν}. Вектор γ определим равенством γ = = (γ_{k}, γ_{k+1}, ..., γ_{n}).

В полярных координатах систему (1) можно заменить уравнением

\frac{dρ}{dφ} = \frac{∑_{ν=k}^{n} ρ^{ν} [τ_{ν} (φ) + rτ_{ν}^{1} (φ, l_{ν})]}{1 + ∑_{ν=k}^{n} ρ^{ν−1} [λ_{ν} (φ) + rλ_{ν}^{1} (φ, l_{ν})]}  (2)

γ = rl, | l | = 1, r > 0, | ∑_{ν=k}^{n} ρ^{ν−1} [λ_{ν} (φ) + rλ_{ν}^{1} (φ, l_{ν})]| ⩽ q < 1.

Уравнение (2) запишем в виде \frac{dρ}{dφ} = Q ( φ, ρ, r, l) , в котором Q (φ, ρ, r, l) =

= ∑_{j=k}^{∞} Y_{j} (φ, ρ, r, l), Y_{j} (φ, ρ, r, l) – непрерывная, 2 π-периодическая по φ форме порядка j относительно

r, ρ.

Доказывается, что в окрестности точки (α, r), при любом l ( | l | = 1) решение ρ (φ, α, r, l) уравнения (1) можно представить равенством

ρ (φ, α, r, l) = α + ∑_{j=k}^{n} L̄_{j} (φ, α, r, l) + o (θ),  (3)

θ = (α, r).

Следовательно, для того чтобы ρ (φ, α, r, l) было ненулевым 2 π-периодическим решением уравнения (2), необходимо и достаточно, чтобы числа α > 0, r ⩾ 0 и вектор l ( | l | = 1) удовлетворяли равенству

∑_{j=k}^{s} L_{j} (α, r, l) + o ( |θ| ^{j}) = 0,  (4)

где L_{j} (α, r, l) = L̄_{j} (2π, α, r, l).

Метод представления решения уравнения (2) равенством (3) называется методом малых форм.

Пусть l_{0} ( | l_{0} | = 1) некоторый вектор и пусть натуральное число p ⩽ s таково, что L_{p} (α, r, l_{0}) не равно тождественно нулю, при любом j < p L_{j} (α, r, l_{0}) ≡ 0. Уравнение (4) можно записать так:

L_{p} (α, r, l_{0}) + o ( |θ| ^{p}) = 0

Определены условия, при выполнении которых в достаточно малой окрестности точки (x, y) = = (0, 0) система (1) не имеет предельных циклов. Исследован характер устойчивости точки (0, 0).

Заменой переменных α = kr уравнение сводится к уравнению

F (k, l_{0} ) + O (k, r) = 0,

где O (k, r) = o ( |k, r, r|^{p})/r^{p},F (k, l_{0} ) = L_{p} (k, 1, l_{0}).

Т е о р е м а 1. Пусть k_{1}, k_{2}, ..., k_{d} – различные положительные корни многочлена F (k, l_{0}) нечётной кратности. Тогда существует число δ > 0 такое, что при любом фиксированном r ∈ (0, δ], l = l_{0} уравнение (2) имеет не менее d ненулевых 2 π- периодических решений.

Т е о р е м а 2. Пусть k_{1}, k_{2}, ..., k_{d} простые положительные корни многочлена F (k, l_{0}), при любом k > 0, k ∉ {k_{1}, k_{2}, ..., k_{d}} F (k, l_{0}) ≠ 0. Тогда существует число δ и окрестность точки (x, y) = (0, 0), в которой при любом r ∈ (0, δ] система (1) имеет ровно d предельных циклов.

Определены условия, при которых корень нечётной кратности многочлена F (k, l_{0}) определяет единственный предельный цикл, а корень чётной кратности многочлена F (k, l_{0}) определяет ровно два предельных цикла системы (10) в достаточно малой окрестности точки (0, 0). Исследован характер устойчивости предельных циклов как в случае чётности, так и в случае нечётности корня многочлена.

В докладе будет рассмотрен пример системы уравнений (1), исследование которого выполнено методом малых форм.

Abstract: The problem of existence of limit cycles of a system of the second-order differential equations with a vector parameter is investigated; the representation of a solution of the system is received; theorems about the number of limit cycles are given.

Keywords: limit cycle; polynomial; prime roots; roots of even and odd multiplicity.

Терёхин Михаил Тихонович д. ф.-м. н., профессор Рязанский государственный университет Россия, Рязань e-mail: m.terehin@rsu.edu.ru Mikhail Teryokhin doctor of phys.-math. sciences, professor Ryasan State University Russia, Ryasan e-mail: m.terehin@rsu.edu.ru УДК 517.98

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА КВАТЕРНИОННОМ ШАРЕ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Д. С. Тугарёв

Ключевые слова: канонические представления; граничные представления; кватернионные гиперболические пространства.

Аннотация: Дано разложение канонических и порожденных ими граничных представлений на кватернионном гиперболическом пространстве.

Мы изучаем канонические представления R_{λ}, λ ∈ ℂ, группы G = Sp(1, 1) на кватернионном гиперболическом пространстве G/K, где K = Sp(1)×Sp(1). Это пространство есть кватернионный шар B, состоящий из кватернионов z таких, что |z| < 1. Канонические представления группы G мы определяем как ограничения на G представлений максимально вырожденных серий "надгруппы" G̃ = SL(n, ℍ). Они действуют в D(\overline{B}) по формуле

(R_{λ}(g)f)(z) = f (\frac{zα + γ}{zβ + δ} ) |zβ + δ|^{−4λ−8}, g = ( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ) .

Мы находим разложения канонических представлений R_{λ} на неприводимые составляющие (это – представления T_{σ}, связанные с конусом), а также разложения граничных представлений L_{λ} и M_{λ}, порождаемых представлениями R_{λ}. Мы изучаем преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими представлениями, и находим формулу Планшереля для формы Березина.

Abstract: A decomposition of canonical and generated by them boundary representations on a quaternion hyperbolic space is given.

Keywords: canonical representations; boundary representations; quaternion hyperbolic spaces.

Тугарёв Денис Сергеевич аспирант Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: molchano@molchano.tstu.ru Denis Tugarev post-graduate student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: molchano@molchano.tstu.ru УДК 519

1Работа поддержана грантами: научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.

ОБ ОДНОЙ ПОЛЕЗНОЙ ОЦЕНКЕ ПУАССОНОВСКИХ СУММ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ РИСКА

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Г. А. Тырыгина

Ключевые слова: пуассоновская сумма; нормальная аппроксимация; оценка.

Аннотация: Применимые на практике оценки точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских сумм могут быть полезными в некоторых моделях риска.

При исследовании распределения остатка средств R страховой компании по страховому портфелю из N договоров можно получить, что

R = r + ∑_{i=1}^{N} Z_{i} − ∑_{i=1}^{N} Y_{i},

где r – начальный капитал по страховому портфелю, Z_{i} – страховая премия, Y_{i} – величина выплат.

При этом N может быть как детерминированной, так и случайной величиной. Представляет интерес случай, когда N случайная величина. Пусть N = N_{λ} – случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром λ, λ > 0.

Формализация приведённой ситуации и некоторых других приводит к математическим моделям с пуассоновской суммой

S_{λ} = X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{N_{λ}},

где X_{1}, X_{2}, … – независимые одинаково распределённые случайные величины. Причём случайные величины N_{λ}, X_{1}, X_{2}, … независимы при каждом λ.

Для расчёта требуемых вероятностных показателей в рамках математических моделей, связанных с той или иной схемой страхования, можно привлекать результаты, полученные в теории предельных теорем. В [2] доказана асимптотическая нормальность пуассоновских сумм:

P (\frac{S_{λ} − aλ}{\sqrt{λ(a^{2} + σ^{2})}} < x)⇒ Φ(x) (λ → ∞)

при условии существования MX_{1}^{2}.

Здесь Φ(x) – стандартное нормальное распределение,

MS_{λ} = λa, где a = MX_{1}
\sqrt{DS_{λ}} ≡ \sqrt{λ(a^{2} + σ^{2})}, где σ^{2} = DX_{1}.

При решении задач, связанных с большими рисками, приходится иметь дело с распределениями, для которых не существуют моменты третьего порядка, а существуют моменты порядка 2 + δ, где 0 < δ < 1. Следовательно, представляет интерес случай, когда

MX_{1} = a, DX_{1} = σ^{2}, M|X_{1}|^{2+δ} < ∞, 0 < δ < 1.

Приведём практически применимые оценки точности нормальной аппроксимации для распределения пуассоновской суммы [1].

Если MX_{1} = a, DX_{1} = σ^{2}, M|X_{1}|^{2+δ} < ∞, 0 < δ < 1, то

sup_{x}|P (\frac{S_{λ} − λa}{\sqrt{λ(a^{2} + σ^{2})}} < x)−Φ(x)|⩽ C(δ) · \frac{M|X_{1}|^{2+δ}}{(a^{2} + σ^{2})^{\frac{(2+δ)}{2}} · λ^{\frac{δ}{2}}} ,

где

C(δ) = \frac{2^{1− \frac{δ}{2}} · Γ(\frac{2+δ}{2} )}{π(1 + δ)(2 + δ)}.

В [1] найдены числовые значения

\begin{matrix}δ & 0,05 & 0,10 & 0,15 & 0,20 & 0,25 & 0,30 & 0,35 \\ C(δ) & 0,2876 & 0,2592 & 0,2352 & 0,2141 & 0,1935 & 0,1791 & 0,1645 \end{matrix}

\begin{matrix}δ & 0,40 & 0,45 & 0,50 & 0,55 & 0,60 & 0,65 & 0,70 \\ C(δ) & 0,1515 & 0,1399 & 0,1294 & 0,1201 & 0,1116 & 0,1040 & 0,0970 \end{matrix}

\begin{matrix}δ & 0,75 & 0,80 & 0,85 & 0,90 & 0,95 & 1,00 \\ C(δ) & 0,0907 & 0,0850 & 0,0797 & 0,0750 & 0,0706 & 0,0665 \end{matrix}

ЛИТЕРАТУРА 1. Королёв В.Ю., Шевцова И.Г. О точности нормальной аппроксимации. II // Теория вероятностей и её

применение. 2005. Т. 50. Вып. 3. С. 555-564.

2. Королёв В.Ю. Сходимость случайных последовательностей с независимыми случайными индексами // Теория вероятностей и её применение. 1994. Т. 39. Вып. 2. С. 313-333.

Abstract: Normal approximation accurity estimaties poisson sums applied to practice might be beneficial in the risk models.

Keywords: Poisson sum; normal approximation; estimate.

Тырыгина Галина Алексеевна к. ф.-м. н., доцент Тольяттинский государственный университет Россия, Тольятти e-mail: Galex@tltsu.ru Galina Tyryguina candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Tolyatti State University Russia, Tolyatti e-mail: Galex@tltsu.ru УДК 517.98

О КОРРЕКТНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} В. М. Тюрин

Ключевые слова: дифференциальный оператор; пространство Соболева; корректность.

Аннотация: Изучается в пространстве Соболева корректность линейных дифферeнциальных операторов.

Пусть X – гильбертово пространство с нормой ∥ · ∥; L^{2} = L^{2} (R^{n}, X) – Лебегово пространство функций u : R^{n} → X (n ⩾ 2), при этом ∥ · ∥_{0} – норма в L_{2} ; H^{m} = H^{m}(R^{n}, X) m ∈ N – пространство Соболева функций u : R^{n} → X, в котором норма ∥ · ∥_{m} определяется обычным образом. Рассмотрим дифференциальный оператор P : H^{m} → L^{2} вида

P u = ∑_{|α|⩽m} A_{α}D^{α}u,

где A_{α} : R^{n} → H_{0m}(X, X) – непрерывные ограниченные функции, причём старшие коэффициенты A_{α}(|α| = m) постоянны.

Обозначим P_{m}(ξ) = ∑_{|α|=m} A_{α}ξ^{α}. Оператор P : H^{m} → L^{2} назовём равномерно эллиптическим

в R^{n}, если существует такая постоянная æ > 0, что

æ∥h∥ · |ξ|^{m} ⩽ ∥P_{m}(ξ)h∥

для любых ξ ∈ R^{n}, h ∈ X(ξ ≠ 0).

Далее, предполагается, что оператор P : H^{m} → L^{2} равномерно эллиптичен.

Оператор P : H^{m} → L^{2} назовём корректным (В.В. Жиков), если существует постоянная k > 0 такая, что

∥u∥_{m} ⩽ k∥P u∥_{0}

для всех u ∈ H^{m}. Если выполняется неравенство

∥u∥_{0} ⩽ k_{0}∥P u∥_{0},

то оператор P : H^{m} → L^{2} назовём 0-корректным.

Т е о р е м а. При сделанных предположениях относительно оператора P : H^{m} → L^{2} 0корректность эквивалентна его корректности.

Приводятся приложения приведенной теоремы.

Abstract: The correctness property of linear differential operators in the Sobolev space is studying.

Keywords: differential operator; Sobolev space; correctness.

Тюрин Василий Михайлович д. ф.-м. н., профессор Липецкий государственный технический университет Россия, Липецк e-mail: tuvm@stu.lipetsk.ru Vasilij Turin doctor of phys.-math. sciences, professor Lipetsk State Technical University Russia, Lipetsk e-mail: tuvm@stu.lipetsk.ru УДК 517.911, 517.968

ОЦЕНКА А.Ф. ФИЛИППОВА ДЛЯ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} О. В. Филиппова

Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; импульсные воздействия; оценка А.Ф. Филиппова.

Аннотация: Для функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями получена оценка решения относительно наперед заданной кусочно-непрерывной функции, аналогичная оценке А.Ф. Филиппова для обыкновенных дифференциальных включений. Отметим, что дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями исследованы в монографиях [1 – 3].

Пусть U ∈ [a, b] – измеримое по Лебегу множество. Обозначим L_{1}^{n}(U) пространство суммируемых по Лебегу функций x : U → ℝ^{n} с нормой ∥x∥_{L_{1}^{n}(U)} = ∫_{U} |x(s)|ds.

Множество всех ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства L_{1}^{n}[a, b] обозначим через S(L_{1}^{n}[a, b]).

Пусть t_{k} ∈ [a, b] (a < t_{1} < … < t_{m} < b) – конечный набор точек. Обозначим через C̃^{n}[a, b] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [a, t_{1}], (t_{1}, t_{2}], …, (t_{m}, b] ограниченных функций x : [a, b] → ℝ^{n}, имеющих пределы справа в точках t_{k}, k = 1, 2, …, m, с нормой ∥x∥_{C̃^{n}[a,b]} = sup{|x(t)| : t ∈ [a, b]}.

Рассмотрим задачу

ẋ ∈ Φ(x),  (1)
Δ(x(t_{k})) = I_{k}(x(t_{k})), k = 1, 2, …, m,  (2)
x(a) = x_{0},  (3)

где отображение Φ : C̃^{n}[a, b] → S(L_{1}^{n}[a, b]) удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества U ⊂ C̃^{n}[a, b] образ Φ(U) ограничен суммируемой функцией. Отображения I_{k} : ℝ^{n} → ℝ^{n}, k = 1, 2, ..., m, непрерывны и удовлетворяют условию Липшица: для каждого k = 1, 2, ..., m найдется такое число g_{k}, что для любых x, y ∈ ℝ^{n} выполняется оценка

|I_{k}(x) − I_{k}(y)| ⩽ g_{k}|x − y|;  (4)

Δ(x(t_{k})) = x(t_{k} + 0) − x(t_{k}), k = 1, 2, ..., m.

Будем говорить, что отображение Φ : C̃^{n}[a, b] → S(L_{1}^{n}[a, b]) обладает свойством A, если найдется такая суммируемая функция l : [a, b] → [0, ∞), что для любых функций x, y ∈ C̃^{n}[a, b] и любого t ∈ [a, b] выполняется неравенство

h_{L_{1}^{n}[a,t]}[Φ(x); Φ(y)] ⩽ ∫_{a}^{t} l(s)ds sup_{s∈[a,t]} |x(s) − y(s)|.  (5)

1Работа поддержана грантами РФФИ (� 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы"(РНП � 2.1.1/1131), и включена в Темплан � 1.6.07.

Если отображение Φ : C̃^{n}[a, b] → S(L_{1}^{n}[a, b]) удовлетворяет для любого измеримого множества U ∈ [a, b] оценке

h_{L_{1}^{n}[a,t]}[Φ(x); Φ(y)] ⩽ ∫_{U} l(s)ds∥x − y∥_{C̃^{n}[a,b]},  (6)

то будем говорить, что оно обладает свойством B.

О п р е д е л е н и е 1 . Под решением задачи (1)-(3) будем понимать функцию x ∈ C̃^{n}[a, b], для которой существует такое q ∈ Φ(x), что при всех t ∈ [a, b] имеет место представление

x(t) = x_{0} + ∫_{a}^{t} q(s)ds + ∑_{k=1}^{m} χ_{(t_{k},b]}(t)Δ(x(t_{k})),  (7)

где Δ(x(t_{k})), k = 1, 2, ..., m, удовлетворяют равенствам (2), χ_{(c,d]}(·) – характеристическая функция полуинтервала (c, d].

Далее предположим, что оператор Φ : C̃^{n}[a, b] → S(L_{1}^{n}[a, b]) (правая часть включения (1)) вольтерров по А.Н. Тихонову.

Пусть для функции y ∈ C̃^{n}[a, b] существует функция q̃ ∈ L^{n}[a, b], что для любого t ∈ [a, b] имеет место представление

y(t) = y(a) + ∫_{a}^{t} q̃(s)ds + ∑_{k=1}^{m} χ_{[t_{k},b]}(t)Δ(y(t_{k})),  (8)

где Δ(y(t_{k})), k = 1, 2, ..., m, удовлетворяет равенству (2). Пусть для функции κ ∈ L_{+}^{1}[a, b] для каждого измеримого множества U справедливо соотношение

ρ_{L_{1}^{n}(U)}[q̃; Φ(y)] ⩽ ∫_{U} κ(s)ds,  (9)

где функции q̃ ∈ L_{1}^{n}[a, b] и y ∈ C̃^{n}[a, b] удовлетворяют равенству (8).

Т е о р е м а. Пусть для функции y ∈ C̃^{n}[a, b] имеет место представление (8), а функция κ ∈ L_{+}^{1}[a, b] для каждого измеримого множества U ⊂ [a, b] удовлетворяет неравенству (9). Тогда, если отображение Φ : C̃^{n}[a, b] → S(L_{1}^{n}[a, b]) обладает свойством A, то существует такое решение x ∈ C̃^{n}[a, b] задачи (1)-(3), что для любого t ∈ [a, b] имеет место оценка

|x(t) − y(t)| ⩽ ξ(κ, p)(t);  (10)

если же отображение Φ : C̃^{n}[a, b] → S(L_{1}^{n}[a, b]) обладает свойствами A и B, то существует такое решение x ∈ C̃^{n}[a, b] задачи (1)-(3), которое для любого t ∈ [a, b] удовлетворяет оценке (10), и при почти всех t ∈ [a, b] справедливо соотношение

|q(t) − q̃(t)| ⩽ κ(t) + l(t)ξ(κ, p)(t),  (11)

где p = |x_{0}−y(a)|, функция l : [a, b] → [0, ∞) удовлетворяет оценкам (5), (6), а функция ξ(κ, p)(t) имеет вид

ξ(κ, p)(t) = ∫_{a}^{t} κ(s)e^{∫_{s}^{t} l(τ)dτ} ds + p e^{∫_{a}^{t} l(s)ds}+

+ ∑_{k=1}^{m} g_{k} (∫_{a}^{t_{k}}κ(s)e^{∫_{s}^{t_{k}} l(τ)dτ} ds + p e^{∫_{a}^{t_{k}} l(s)ds}) e^{∫_{t_{k}}^{t} l(s)ds}χ_{(t_{k},b]}(t)+

+ ∑_{k=1}^{m−1} g_{1}g_{k+1} (∫_{a}^{t_{1}}κ(s)e^{∫_{s}^{t_{1}} l(τ)dτ} ds + p e^{∫_{a}^{t_{1}} l(s)ds}) e^{∫_{t_{1}}^{t} l(s)ds}χ_{(t_{k+1},b]}(t)+

+ ∑_{k=2}^{m−2} g_{2}g_{k+1} (∫_{a}^{t_{2}}κ(s)e^{∫_{s}^{t_{2}} l(τ)dτ} ds + p e^{∫_{a}^{t_{2}} l(s)ds}) e^{∫_{t_{2}}^{t} l(s)ds}χ_{(t_{k+1},b]}(t)+

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+g_{m−1}g_{m} ( ∫_{a}^{t_{m−1}}κ(s)e^{∫_{s}^{t_{m−1}} l(τ)dτ} ds + p e^{∫_{a}^{t_{m−1}} l(s)ds}) e^{∫_{t_{m−1}}^{t} l(s)ds}χ_{(t_{m},b]}(t)+

+ ∑_{k=1}^{m−2} g_{1}g_{2}g_{k+2} (∫_{a}^{t_{1}}κ(s)e^{∫_{s}^{t_{1}} l(τ)dτ} ds + p e^{∫_{a}^{t_{1}} l(s)ds}) e^{∫_{t_{1}}^{t} l(s)ds}χ_{(t_{k+2},b]}(t)+

+ ∑_{k=1}^{m−3} g_{2}g_{3}g_{k+3} (∫_{a}^{t_{2}}κ(s)e^{∫_{s}^{t_{2}} l(τ)dτ} ds + p e^{∫_{a}^{t_{2}} l(s)ds}) e^{∫_{t_{2}}^{t} l(s)ds}χ_{(t_{k+3},b]}(t)+

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+g_{m−2}g_{m−1}g_{m} ( ∫_{a}^{t_{m−2}}κ(s)e^{∫_{s}^{t_{m−2}} l(τ)dτ} ds + p e^{∫_{a}^{t_{m−2}} l(s)ds}) e^{∫_{t_{m−2}}^{t} l(s)ds}χ_{(t_{m},b]}(t)+

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+g_{1}g_{2} … g_{m} (∫_{a}^{t_{1}}κ(s)e^{∫_{s}^{t_{1}} l(τ)dτ} ds + p e^{∫_{a}^{t_{1}} l(s)ds}) e^{∫_{t_{1}}^{t} l(s)ds}χ_{(t_{m},b]}(t).

Здесь числа g_{k}, k = 1, 2, ..., m, удовлетворяют неравенству (4).

Отметим, что если импульсные воздействия отсутствуют, то приведенные оценки (10), (11) совпадают с оценкой А.Ф. Филиппова для обыкновенных дифференциальных включений (см. [4]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища шк., 1987.

2. Завалищин C. Т., Сесекин А. Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.

3. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы теории функционально-дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1987.

4. Филиппов А.Ф. Диференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

Abstract: For a functional-differential inclusion with impulses there is derived the solution estimate with respect to a given piecewise continuous function. The estimate is analogous to that one of A.F. Filippov for ordinary differential inclusions. Note that differential equations with impulses were studied in monographs [1–3].

Keywords: functional-differential inclusion; impulses; A.F. Filippov’s estimate.

Филиппова Ольга Викторовна аспирант Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: philippova.olga@rambler.ru Olga Filippova post-graduate student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: philippova.olga@rambler.ru

УДК 517.911.5

НЕЯВНЫЕ ФОРМЫ ЗАПИСИ И НЕПРЕРЫВНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ РАЗРЫВНЫХ СИСТЕМ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} И. А. Финогенко

Ключевые слова: дифференциальные уравнения с разрывной правой частью; правостороннее условие Липшица; скользящий режим; аппроксимация Иосиды; запаздывание.

Аннотация: Исследуется метод представления дифференциальных уравнений с разрывной правой частью в неявной форме. Метод согласуется с известными подходами, такими как простейшее выпуклое доопределение в смысле Филиппова, метод эквивалентного управления. В рамках условий типа монотонности неявный метод позволяет получать однозначно определенные уравнения движения разрывных систем, в частности — уравнения скользящих режимов. Рассматриваются непрерывные аппроксимации Иосиды разрывных систем и оценки для точных и аппроксимирующих решений. Эти же вопросы изучаются для дифференциально-разностных разрывных систем.

Исследуются системы дифференциальных уравнений

ẋ = f(t, x),  (1)

где x = (x_{1}, …, x_{n}), f = (f_{1}, …, f_{n}) и, как обычно, ẋ = (ẋ_{1}, …, ẋ_{n}) — вектор производных ẋ_{i} = dx_{i}/dt. Предполагается, что функция f кусочно непрерывна по совокупности переменных (t, x) в некоторой области Ω из пространства R^{n+1} и ее множества точек разрыва определяются в виде гладких гиперповерхностей M_{i} = {(t, x) ∈ Ω : ϕ_{i}(x) = 0}, (i = 1, …, m). В каждой точке x градиенты ∇ϕ_{j}(x) функций ϕ_{j}(x) с индексами из множества I(x) = {i ∈ (1, …, m) : ϕ_{i}(x) = = 0} линейно независимы. Под решением уравнения (1) понимается решение (в смысле А.Ф. Филиппова [1]) дифференциального включения

ẋ ∈ F (t, x),  (2)

где F (t, x) — выпуклая оболочка всех предельных значений функции f(t, x) в каждой точке (t, x).

Через U_{δ}(x_{0}) = {x : ∥x−x_{0}∥ < δ} обознается δ-окрестность точки x_{0}. Уравнение (1) исследуется в рамках следующего условия:

1Работа выполнена при финансовой поддержке СО РАН (интеграционные проекты � 85 и � 107)

У с л о в и е A. Для каждой точки (t_{0}, x_{0}) ∈ Ω существуют числа δ = δ(t_{0}, x_{0}) > 0 и l = = l(t_{0}, x_{0}) > 0 такие, что для любых точек (t, x), (t, y) из областей непрерывности функции f(t, x) (возможно разных областей для различных точек (t, x), (t, y)), удовлетворяющих x, y ∈ U_{δ}(x_{0}), и любого t ∈ [t_{0}, t_{0} + δ), выполняется неравенство

⟨A(t, x)(x − y), f(t, x) − f(t, y)⟩ ⩽ l∥x − y∥^{2},  (3)

где A(t, x) = [a_{ij}(t, x)]_{i,j=1}^{n} — некоторая симметричная положительно определенная и непрерывно дифференцируемая матрица, ⟨ ·, ·⟩ — знак скалярного произведения и ∥ · ∥ — евклидова норма.

Если A(t, x) = E — единичная матрица, то условие A переходит в хорошо известное правостороннее условия Липшица (см. [1, стр. 82]). Если к тому же l = 0, то неравенство (3) называется условием монотонности. Использование в неравенстве (3) матрицы A(t, x) может быть полезно при изучении уравнений вида

A(t, x)ẋ = f_{0}(t, x) + g(t, x)

с симметричной, положительно определенной матрицей A(t, x) при производных, что характерно, например, для уравнений Лагранжа второго рода при описании движения механических систем с разрывными диссипативными характеристиками (релейными управлениями или кулоновыми силами трения).

Для каждой точки (t, x) разрыва функции f(t, x) и произвольного вектора z ∈ R^{n} такого, что ⟨∇ϕ_{i}(x), z⟩ ≠ 0 через f̃(t, x; z) обозначим предел функции f(t, x + hz) при h → +0. Определим множество F̃(t, x; z), как выпуклую оболочку предельных значений отображения z′ → f̃(t, x; z′) при z′ → z. Легко видеть, что F̃(t, x; z) ⊂ F (t, x) и F̃(t, x; 0) = F (t, x).

У т в е р ж д е н и е 1. Пусть выполняется условие A. Тогда:

1. При любых (t, x) ∈ Ω существует единственное решение z(t, x) включения

z ∈ Γ̃(t, x; z)

и положительно определенная квадратичная форма v(z) = zA(t, x)z^{T} при z = z(t, x) достигает своего минимального значения на выпуклом, компактном множестве F (t, x) из правой части (2). В частности, если A(t, x) — единичная матрица, то z(t, x) — ближайшая к началу координат точка множества F (t, x).

2. Дифференциальное включение (2) и дифференциальное уравнение

ẋ = z(t, x), z(t, x) ∈ H(t, x)  (4)

равносильны в том смысле, что множества их решений Каратеодори совпадают.

3. Для любой точки (t_{0}, x_{0}) найдется промежуток [t_{0}, t_{0}+δ), на котором любые два решения уравнения (4) с начальными данными (t_{0}, x_{0}) совпадают.

Для каждых фиксированных (t, x) и λ > 0 через z = J_{λ}(t, x) обозначим решение включения z ∈ x + λF (t, z) и пусть F_{λ}(t, x) = (J_{λ}(t, x) − x)/λ. Отметим, что формально J_{λ}(t, x) и −F_{λ}(t, x) представляют собой резольвенту и, соответственно, аппроксимацию Иосиды для отображения x → −F (t, x) при каждом фиксированном t.

Для произвольного множества Ω′ ⊂ Ω и числа δ > 0 через Ω^{′δ} будем обозначать δ-окрестность множества Ω′.

У т в е р ж д е н и е 2. Пусть выполняется условие A. Тогда:

1. Для любого компактного множества Ω′ ⊂ Ω и числа δ > 0 такого, что Ω^{′δ} ⊂ Ω существует число λ′ > 0 такое, что для любых λ ∈ [0, λ′] определено непрерывное отображение (λ, t, x) → F_{λ}(t, x) липшицевое по x с константой L = 1/λ и для любой фиксированной точки (t, x) ∈ Ω′ при λ → +0 выполняется: F_{λ}(t, x) → z(t, x).

2. Для любых начальных данных (t_{0}, x_{0}) ∈ Ω на некотором промежутке [t_{0}, t_{1}] определены решение x(t) включения (2) и решение x_{λ}(t) уравнения

ẋ = F_{λ}(t, x)

для каждого λ ∈ (0, λ′] и существует константа K > 0 такая, что ∥x_{λ}(t) − x(t)∥^{2} ⩽ λK для любых λ ∈ (0, λ′] и t ∈ [t_{0}, t_{1}].

Аналогичные вопросы рассматриваются для дифференциальных уравнений с запаздыванием ẋ(t) = f(t, x(t), x(t − τ)).

ЛИТЕРАТУРА

1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

2. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анали. М.: Мир, 1988.

Abstract: The method of representation of the differential equations with a discontinuous right-hand part in the implicit form is investigated. The method will be coordinated to known approaches, such as the convex definition in sense of Filippov, a method of equivalent control. Within the framework of conditions of monotony the implicit method allows to receive one-digit equations of movement of discontinuous systems, in particular - the equations of sliding modes. Continuous approximations of Yosida for explosive systems and estimations for exact and approximating solutions are considered. The same questions for delay differential equations are stuied.

Keywords: differential equations with discontinuous right-hand part; right-hand condition of Lipschitz; sliding mode; approximation of Yosida; delay.

Финогенко Иван Анатольевич д. ф.-м. н., профессор Институт динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН Россия, Иркутск e-mail: fin@icc.ru Ivan Finogenko doctor of phys.-math. sciences, professor Institute of System Dynamics and Control Theory of SD RAS Russia, Irkutsk e-mail: fin@icc.ru УДК 519.622.2, 517.925.52

ОТСЛЕЖИВАНИЕ НЕПРОДОЛЖИМЫХ ТРАЕКТОРИЙ ЛОМАНЫМИ ЭЙЛЕРА ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Д. В. Хлопин

Ключевые слова: ломаные Эйлера, непродолжаемые решения, приближение в метрике Хаусдорфа, интегральная устойчивость.

Аннотация: Исследуется возможность аппроксимации непродолжимых решений на всей области определения ломаными Эйлера из счетного числа отрезков; при этом сходимость понимается как сходимость графиков в метрике Хаусдорфа; показано, что в случае интегральной устойчивости решения вспомогательной системы и конечного интеграла от кривизны вдоль его графика для аппроксимации достаточно устремить к нулю размер отрезков ломаной.

Снабдим всякое конечномерное евклидово пространство евклидовой метрикой, на всевозможных замкнутых подмножествах такого пространства введем топологию Хаусдорфа [1]. Для всякой функции g пусть π(g) и υ(g) — ее области определения и значений соответственно, а Grg ⊂ π(g) × υ(g) — ее график. Через C_{m}^{s} обозначим множество таких непрерывных функций, что график Grg ⊂ R_{⩾0} × R^{m} замкнут, а π(g) связно.

Рассмотрим определенную на R_{⩾0} × R^{m} дифференциальную систему

ẋ = f(t, x).  (1)

Будем считать, что правая часть (1) непрерывна, и всякие два локальных решения φ′, φ′′ ∈ ∈ C_{m}^{s} если совпадают в одной точке, то совпадают на общей области определения π(φ′) ∩ π(φ′′). Тогда всякому b ∈ R^{m} корректно сопоставить максимальное вправо решение системы (1), удовлетворяющее условию x(0) = b; обозначим его через φ_{b} ∈ C_{m}^{s}. Отметим, что для всякого компакта I ⋐ R_{⩾0} в силу теоремы о непрерывной зависимости следует lim_{b→a} H(Grφ_{b}|_{I}, Grφ_{a}|_{I}) (см. [1]).

Обозначим через D множество возрастающих последовательностей из R_{⩾0}, содержащих точку 0. Под диаметром разбиения Δ = (t_{i})_{i∈N} будем понимать число d(Δ) = max_{i∈N}(t_{i+1} − t_{i}). Определим π(Δ) = ∪_{i∈N}[0, t_{i}], на этом множестве определим ломаную Эйлера по правилу: ξ_{Δ}(0) = = c, далее по индукции ξ_{Δ}(t_{i}) = ξ_{Δ}(t_{i−1})+f(t_{i−1}, ξ_{Δ}(t_{i−1}))(t_{i}−t_{i−1}), на [t_{i−1}, t_{i}] доопределим ξ_{Δ}(0) линейно.

Пусть π(φ_{c}) = [0, T ⟩ для некоторых c ∈ R^{m}, T ∈ R_{⩾0}. Существуют ли функции из C_{m}^{s}, графики которых являются ломаными, сколь угодно близкими в топологии Хаусдорфа к Grφ_{c}?

Известно, что из d(Δ) → 0 следует сходимость ξ_{Δ}|_{I} к решению φ_{c}|_{I} на всяком компакте I из их общей области определения (см. [2]), однако у конечных разбиений ломаная ξ_{Δ} ограничена, следовательно, приблизить всю траекторию φ_{c} ими невозможно. Таким образом, искать надо неограниченные ломаные с бесконечным числом звеньев. Кроме того при аппроксимации необходимо условие π(Δ) → π(φ_{c}), иначе удасться аппроксимировать не весь график Grφ_{c}, а лишь его часть.

Заметим, что вряд ли ломаные Эйлера смогут приблизиться к φ_{c} лучше, чем соседние траектории, поэтому при аппроксимации φ_{c} разумно предположить lim_{b→c} φ_{b} = φ_{c}. Это условие оказывается достаточным для принципиальной возможности аппроксимации.

1Работа частично поддержана грантом РФФИ �09-01-004361 и Фондом Содействия Отечественной Науке.

П р е д л о ж е н и е. Если lim_{b→c} φ_{b} = φ_{c}, то для всякого ε ∈ R_{>0} можно найти такое разбиение Δ, что π(Δ) = π(φ_{c}) и ξ_{Δ} ∈ B_{ε}(φ_{c}).

К сожалению построение такого разбиения Δ требует знания как траектории φ_{c}, но и всех близких к ней. Хотелось бы иметь численный метод, который даже без знания априори момента T мог бы строить достаточно точное разбиение Δ ∈ D.

В работе [3] для некоторых скалярных систем такой метод предложен, достаточно потребовать d_{f}(Δ) → 0, где d_{f}(Δ) = max_{i∈N}(t_{i+1} − t_{i})||f(t_{i}, ξ_{Δ}(t_{i}))||_{m} для всякой Δ = (t_{i})_{i∈N} ∈ D. Рассмотрим применимость этого метода.

Рассмотрим вспомогательную систему

y′ = ( \frac{dt}{dτ} ; \frac{dx}{dτ} ) = ( \frac{1}{\sqrt{1+||f(t,x)||_{m}^{2}}} ; \frac{f(t,x)}{\sqrt{1+||f(t,x)||_{m}^{2}}} ) , t(0) = 0, x(0) = c.  (2)

Любой точке Y ∈ R_{⩾0} × R^{m} сопоставим число κ(Y) — кривизну в этой точке интегральной кривой уравнения (1) (фазовой кривой уравнения (2)).

П р е д л о ж е н и е. Пусть правая часть системы (1) непрерывно дифференцируема, решение ȳ задачи (2) интегрально устойчиво [4, 5], а кроме того для некоторого r ∈ R_{>0} конечен интеграл ∫_{R_{⩾0}} ||κ||_{C(B_{r}(ȳ(τ)))}dτ. Тогда для всякого ε ∈ R_{>0} найдется такое δ(ε) ∈ R_{>0}, что для любого разбиения Δ ∈ D, у которого Grξ_{Δ} неограничен, из d_{f}(Δ) < δ(ε), d(Δ) < δ(ε) следует, что H(Grξ_{Δ}, Grφ_{c}) < ε.

С л е д с т в и е. Пусть правая часть системы (1) непрерывно дифференцируема, правая часть вспомогательной системы (2) — функция v — липшицева, решение ȳ задачи

(2) асимптотически устойчиво, а кроме того для некоторого r ∈ R_{>0} конечен интеграл ∫_{R_{⩾0}} ||κ||_{C(B_{r}(ȳ(τ)))}dτ. Тогда выполнено утверждение предложения.

С л е д с т в и е. Пусть правая часть скалярной и автономной системы (1) непрерывно дифференцируема, а для ее непродолжимого решения φ_{c} при некотором t ∈ [0, T ⟩ конечна полная вариация ∨_{t∈[t,T ⟩} arctg φ̇_{c}(t). Тогда выполнено утверждение предложения.

Показанные в [3] удобные условия на систему также суть следствие анонсируемого утверждения. Более того, там уже доказана интегральная стабильность (см. [3, Теорема 2]), а доказательство [3, Теорема 3] в точности опирается на конечность интеграла от кривизны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Филиппов В.В., Федорчук В.В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Физматлит, 2006.

2. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

3. Жуковский Е. С. О параметрическом задании решения дифференциального уравнения и его приближенном построении // Изв. ВУЗов. Сер. Математика. 1996. Т. 407. � 4. C. 31-34.

4. Вркоч И. Интегральная устойчивость // Чехослов. мат. журнал. 1959. T. 84. � 9. С. 71-129.

5. Chow S.-N., Yorke J.A. Lyapunov theory and perturbation of stable and asymptotically stable systems // J. Diffferential Equations. 1974. V. 15. P. 308-321.

Abstract: There is studied the possibility of approximation of nonextendable solutions on the domain by Euler’s polygonal curves consisting of countable sets of line segments. Convergence is understood in the sense of graphs convergence in the Hausforff metric. It is shown that if a solution of the auxiliary system is integrably stable and the integral of curvature taken along its graph is finite, then for approximation it is sufficient to tend the size of polyline segments to zero.

Keywords: euler’s polygonal curves, nonextendable solutions; approximation in the Hausdorff metric; integral stability.

Хлопип Дмитрий Валерьевич к. ф.-м. н. Институт математики и механики УрО РАН Россия, Екатеринбург e-mail: khlopin@imm.uran.ru Dmitriy Khlopin candidate of phys.-math. sciences Institute of Mathematics and Mechanics of UrD RAS Russia, Ekaterinburg e-mail: khlopin@imm.uran.ru

УДК 532.5

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ БЕСКОНЕЧНОГО ЦИЛИНДРА ВДОЛЬ ОСИ ВНИЗ

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} И. М. Цун

Ключевые слова: капиллярная ламинарная струя; бесконечный жидкостный цилиндр; вязкая и плотная среда; математическая модель движения; решение краевой задачи.

Аннотация: Исследуется вопрос о тормозящем воздействии вязкой, плотной среды на капиллярную ламинарную струю.

Рассмотрим движение цилиндра вдоль оси вертикально вниз диаметром d с плотностью ρ_{м} в вязкой среде с плотностью ρ_{с}, причем ρ_{м} > ρ_{с}. Очевидно, что тормозящее действие среды будет скомпенсировано, если архимедова и поверхностная тормозящая за счёт вязкости среды силы, приложенные к элементарному объему-диску цилиндра, в сумме не будут превосходить силы веса этого объёма. Это условие может быть приведено к виду:

d ⩾ \frac{4 p_{к}}{(ρ_{м} − ρ_{с}) g} ,  (1)

где p_{к} — касательные напряжения на поверхности движущегося цилиндра, возникающие вследствие вязкости среды, g — ускорение свободного падения, d — диаметр движущегося цилиндра.

Условие ρ_{м} > ρ_{с} выполняется, в частности, при экструдировании расплава стали (ρ_{м} ≈ 7000 кг/м^{3}) в воду и водные растворы (ρ_{с} ≈ 1000 кг/м^{3}) и в расплавы солей (ρ_{с} ≈ (2 ÷ 3) · 10^{3} кг/м^{3}) [1-4].

Таким образом, тормозящее воздействие среды оказывается существенным для струй относительно малых диаметров 0, 2÷3 мм. Величину касательных напряжений p_{к} на поверхности цилиндра можно уменьшить снижением скорости v движения цилиндра. Явный вид зависимости p_{к} = p_{к}(v) найден нами в результате решения задачи о движении бесконечного цилиндра вдоль оси в вязкой жидкости.

Сформулируем краевую задачу.

Уравнение движения — Навье-Стокса [5]:

ρ\frac{dw}{dτ} = ρg − ∇p + μ_{с}∇^{2}w,  (2)

где p — поле давлений в среде, w — векторное поле скоростей жидкости, увлекаемой движущимся цилиндром, μ_{с} — динамическая вязкость среды.

Краевые условия:

w_{z} = v при r = d/2,  (3)
w_{z} = 0 при r = d_{н}/2,  (4)

где d_{н} — диаметр цилиндрической стенки, ограничивающей объём жидкости.

В рассматриваемом случае

w = w_{z}(r) e_{z}^{o},  (5)

где (r, z) — цилиндрическая система координат, e_{z}^{o} — орт оси z координат, направленной вдоль оси цилиндра вниз.

Кроме того, в сечениях z = const

Q = 2 π ∫_{d/2}^{d_{н}/2} r w(r) dr,  (6)

где Q — расход жидкости через сечение z = const.

В рассматриваемом здесь случае

Q = 0.  (7)

Решение краевой задачи (2)-(7) имеет вид:

W_{z} = (1 + (R^{2} − 1) · F (D_{1})) − \frac{ln R}{ln D_{1}} (1 + (D_{1}^{2} − 1) · F (D_{1})),  (8)

где W_{z} = w_{z}/v , R = 2 r/d , D_{1} = d_{н}/d , 1 ⩽ R ⩽ D_{1} ,

F (D_{1}) = \frac{D_{1}^{2} − ln D_{1}^{2} − 1}{(D_{1}^{2} − 1)^{2} (\frac{D_{1}^{2}+1}{D_{1}^{2}−1} ln D_{1} − 1)} .

Явный вид зависимости p_{к} = p_{к}(v) величины касательных напряжений p_{к} на поверхности движущегося цилиндра от скорости v движения цилиндра:

p_{к} = μ_{с} \frac{dw_{z}}{dr} |_{r=d/2}= \frac{2 v μ_{с}}{d ln D_{1}} · \frac{D_{1}^{2} − ln D_{1}^{2} − 1}{(D_{1}^{2} − 1)^{2} (\frac{D_{1}^{2}+1}{D_{1}^{2}−1} ln D_{1} − 1)} .  (9)

С учетом того, что d_{н} >> d, то есть D_{1} >> 1 (D_{1} ⩾ 50), решения (8), (9) принимают вид:

W_{z} = \frac{1}{ln D_{1} − 1}((R/D_{1})^{2} − ln(R/D_{1}) − 1), p_{к} = \frac{2 v μ_{с}}{d (ln D_{1} − 1)} .  (10)

Подставляя выражение (10) в неравенство (1), получаем:

d ⩾ d_{к} = \sqrt{\frac{8 v μ_{с}}{(ρ_{м} − ρ_{с}) g (ln D_{1} − 1)}} ,  (11)

где d_{к} — критическое значение диаметра движущегося цилиндра.

Неравенство (11) ограничивает область значений диаметра движущегося цилиндра, при которых тормозящее действие среды и архимедова сила скомпенсированы весом цилиндра.

При математическом моделировании необходимые физические константы взяты из литературы [6]. Зависимость (11) согласуется с имеющимися экспериментальными данными [1– 4]. Так, авторы работы [2], экспериментируя с различными металлами, при диаметрах струи 127–152 мкм и скорости 1,8–2,6 м/с столкнулись с необходимостью точного совпадения скорости струи и охлаждающей жидкости воды и водных растворов. В наших экспериментах [3, 4] при экструдировании расплавов олова, алюминия, меди, стали струей диаметром 0,5÷1 мм со скоростью 1÷2 м/с в неподвижные среды: в воду, расплавы смеси селитр и смеси хлоридов признаков отрицательного действия торможения со стороны среды на полученных волокнах не обнаружено.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kavesh Sh. Melt spinning of metal fibers // American Institute of Chemical Engineers. Symposium Series. 1978. V.74. � 180. P. 1-15.

2. Патент 3845805 (США). Liquid Quenching of Free Jet Spun Metal Filaments / Sh. Kavesh.

3. Некоторые особенности тепломассообмена при экструдировании расплавленных металлов для получения литой проволоки / Г.К. Субботин, И.М. Цун, В.П. Петышин, В.И. Лукьянов // Теплотехника процессов выплавки стали и сплавов. Свердловск: Изд-во УПИ, 1977. Вып. 5. С. 31-37.

4. Цун И.М. Экспериментальные исследования устойчивости капиллярных струй // Вестн. МаГУ: Периодический научный журнал. Магнитогорск: МаГУ, 2001-2002. Вып. 2-3. С. 225-232.

5. Эглит М.Э. Лекции по механике сплошных сред. М.: Изд-во Московского университета, 2008. 318 с.

6. Теплотехнический справочник: в 2 т. М.: Энергия, 1975. Т. 1. 744 с.

Abstract: Investigation the question about a retarding action of the viscous and solid medium on a capillary laminar jet.

Keywords: capillary laminar jet; endless liquid cylinder; viscous and solid medium; mathematical model of motion; solution of boundary-value problem.

Цун Иосиф Менделеевич к. т. н., профессор Магнитогорский государственный университет Россия, Магнитогорск e-mail: tsoun@masu.ru Iosif Tsoun candidate of phys.-math. sciences, professor Magnitogorsk State University Russia, Magnitogorsk e-mail: tsoun@masu.ru

УДК 517.98

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕРЕЗИНА В ПОЛИНОМИАЛЬНОМ КВАНТОВАНИИ ДЛЯ ПАРА-ЭРМИТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ С ПСЕВДО-ОРТОГОНАЛЬНОЙ

ГРУППОЙ ДВИЖЕНИЙ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} С. В. Цыкина

Ключевые слова: симплектические многообразия; псевдо-ортогональные группы; полиномиальное квантование; преобразование Березина.

1Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.

Аннотация: Мы рассматриваем полиномиальное квантование на пара-эрмитовых симметрических пространствах G/H с псевдоортогональной группой движений G = SO_{0}(p, q). Мы даем выражение преобразования Березина через операторы Лапласа, находим его собственные числа и находим его асимптотику.

Общая теория полиномиального квантования на пара-эрмитовых симметрических пространствах была предложена в [1], явные вычисления для ранга один были проведены в [2]. Для полиномиального квантования ковариантные и контравариантные символы являются многочленами. Центральное место в полиномиальном квантовании занимает преобразование Березина B. Оно сопоставляет контравариантному символу оператора ковариантный символ этого оператора.

Мы рассматриваем полиномиальное квантование на следующих пара-эрмитовых симметрических пространствах G/H. Группа G есть псевдо-ортогональная группа SO_{0}(p, q), подгруппа H есть стационарная подгруппа элемента

Z_{0} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & E & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} )

из алгебры Ли g группы G в присоединенном представлении, так что G/H – орбита группы G в g. Связная компонента единицы H_{e} есть SO_{0}(p − 1, q − 1) × SO_{0}(1, 1). Размерность пространства G/H равна 2n − 4, где n = p + q, ранг равен двум.

На нашем пространстве G/H имеются два оператора Лапласа, это дифференциальные операторы Δ_{2} и Δ_{4} порядка 2 и 4, соответственно.

Мы получили [3] явное выражение преобразования Березина B через операторы Лапласа. А именно, обозначим m = (n − 4)/2, тогда

B = \frac{Γ(σ + n − 2 + k)Γ(σ + 1 − k)}{Γ(σ + n − 2)Γ(σ + 1)} · \frac{Γ(σ + m + 2 + l)Γ(σ + m + 1 − l)}{Γ(σ + m + 2)Γ(σ + m + 1)}.  (11)

Здесь σ – параметр полиномиального квантования, k, l – некоторые переменные. Фактически правая часть (1) зависит от λ_{2} и λ_{4}, где λ_{2} = 2(a_{1} + a_{2}), λ_{2} = 16(a_{1}a_{2} − ma_{1} + m^{2}a_{2}) и a_{1} = k(k + + n − 3), a_{2} = l(l + 1). Вместо λ_{2} и λ_{4} надо подставить Δ_{2} и Δ_{4}, соответственно.

Эта формула (1) вытекает из формулы для собственных чисел оператора B. На неприводимом подпространстве со старшим весом (k + l, k − l), где k, l ∈ ℕ = {0, 1, 2, …}, k ⩾ l, в пространстве многочленов на G/H собственное число есть

b_{k, l} = \frac{(σ + n − 2)^{[k]}}{σ^{(k)}} · \frac{(σ + m + 2)^{[l]}}{(σ + m)^{(l)}} ,

где x^{[r]} = x(x + 1) … (x + r − 1), x^{(r)} = x(x − 1) … (x − r + 1).

Далее, мы предлагаем формулу для полного асимптотического разложения (при σ → ∞) преобразования Березина B в виде двойного ряда по переменным s, t ∈ ℕ, s ⩾ t:

B = ∑ \frac{M_{st}}{σ^{(s)}(σ + m)^{(t)}} ,

где M_{st} – многочлен от Δ_{2} и Δ_{4} (δ_{st} – символ Кронекера):

M_{st} = P_{s}Q_{t}(1 − δ_{st}) + Q_{s} ∑_{r=0}^{t} \binom{s − r}{t − r}P_{r}m^{[t−r]}.

P_{s} = \frac{1}{s!} ∏_{j=0}^{s−1}\{a_{1} − j(j + n − 3)\}, Q_{t} = \frac{1}{t!} ∏_{j=0}^{t−1}\{a_{2} − j(j + 1)\}.

ЛИТЕРАТУРА

1. Molchanov V. F., Volotova N. B. Polynomial quantization on para-Hermitian symmetric spaces // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2005. T. 10. Вып. 4. С. 412–424.

2. Molchanov V. F., Volotova N. B. Polynomial quantization on rank one para-Hermitian symmetric spaces // Acta Appl. Math. 2004. V. 81. � 1–3. С. 215–232.

3. Tsykina S. V. Polynomial quantization on para-hermitian spaces with pseudo-orthogonal group of translations // Int. Workshop "Idempotent and tropical mathematics and problems of mathematical physics". Moscow. Aug. 25–30. V. II. 2007. C. 63–71.

Abstract: We consider polynomial quantization on para-Hermitian symmetric spaces G/H with the pseudoorthogonal group G = SO_{0}(p, q). We express the Berezin transform in terms of Laplacians, compute its eigenvalues and determine its asymtotics.

Keywords: simplectic manifolds; pseudoorthogonal groups; polynomial quantization; Berezin transform.

Цыкина Светлана Викторовна ассистент Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: molchano@molchano.tstu.ru Svetlana Tsykina assistant Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: molchano@molchano.tstu.ru

УДК 517.972.8

К ВОПРОСУ О РАСШИРЕНИИ НЕКОТОРЫХ ИГРОВЫХ ЗАДАЧ В КЛАССЕ КОНЕЧНО-АДДИТИВНЫХ МЕР

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} А. Г. Ченцов, Ю. В. Шапарь

Ключевые слова: конечно-аддитивная мера; максимин; слабая абсолютная непрерывность.

Аннотация: Рассматривается расширение неустойчивой игровой задачи в классе конечно-аддитивных мер.

Пусть (I_{1}, L_{1}) и (I_{2}, L_{2}) – пара измеримых пространств с полуалгебрами множеств, I_{1} ≠ ∅ и I_{2} ≠ ∅, η_{1} и η_{2} — неотрицательные вещественнозначные (в/з) конечно-аддитивные (к.-а.) меры на L_{1} и L_{2} соответственно. Фиксируем натуральные числа k, l, p, q;

(α_{i})_{i∈\overline{1,k}} : \overline{1, k} → B(I_{1}, L_{1}), (β_{j})_{j∈\overline{1,l}} : \overline{1, l} → B(I_{2}, L_{2}),
(γ_{i})_{i∈\overline{1,p}} : \overline{1, p} → B(I_{1}, L_{1}), (ω_{j})_{j∈\overline{1,q}} : \overline{1, q} → B(I_{2}, L_{2}),

где B(I_{1}, L_{1}) и B(I_{2}, L_{2}) — банаховы пространства ярусных [1, �2.7] в/з функций на I_{1} и I_{2} соответственно (см. также [2, гл. IV]). Пусть U и V — непустые подмножества (п/м) B(I_{1}, L_{1}) и B(I_{2}, L_{2}) соответственно, Y и Z — непустые компакты в ℝ^{p} и в ℝ^{q} соответственно. Рассматриваем ограничения

( ∫_{I_{1}} γ_{i}udη_{1})_{i∈\overline{1,p}} ∈ Y, ( ∫_{I_{2}} ω_{j}vdη_{2})_{j∈\overline{1,q}} ∈ Z  (1)

на выбор u ∈ U и v ∈ V (интегралы понимаются в смысле [1, гл. 3]). Через U (через V) обозначаем множество Y -допустимых (Z-допустимых) �управлений� u ∈ U (v ∈ V); см. (1). Пусть

( ∫_{I_{1}} |u|dη_{1} ⩽ c_{U} ∀u ∈ U) & ( ∫_{I_{2}} |v|dη_{2} ⩽ c_{V} ∀v ∈ V ) ,

где c_{U} и c_{V} — положительные константы. Фиксируем непрерывную в/з функцию f_{0} на ℝ^{k} × ℝ^{l}; определяем Φ в виде

(u, v) ↦ f_{0} (( ∫_{I_{1}} α_{i}udη_{1})_{i∈\overline{1,k}} , ( ∫_{I_{2}} β_{j}vdη_{2})_{j∈\overline{1,l}}) : U × V → ℝ.

Если ζ ∈]0, ∞[, то через O_{ζ}^{(p)}[Y] (через O_{ζ}^{(q)}[Z]) обозначаем открытую ζ-окрестность компакта Y (компакта Z) в смысле нормы, определяемой как наибольший модуль компонент соответствующего вектора;

U_{∂}[ζ] ≜ \{u ∈ U | (∫_{I_{1}} γ_{i}udη_{1})_{i∈\overline{1,p}} ∈ O_{ζ}^{(p)}[Y]\} , V_{∂}[ζ] ≜ \{v ∈ V | (∫_{I_{2}} ω_{j}vdη_{2})_{j∈\overline{1,q}} ∈ O_{ζ}^{(q)}[Z]\} .

Введем следующие правила погружения U и V в пространства 𝔸(L_{1}) и 𝔸(L_{2}) всех в/з к.-а. мер ограниченной вариации на L_{1} и L_{2} (см.[1, �3.7], [3, с. 69]):

u ↦ u ∗ η_{1} : U → 𝔸(L_{1}), v ↦ v ∗ η_{2} : V → 𝔸(L_{2}),

где управлениям из U и V сопоставляются неопределенные интегралы относительно η_{1} и η_{2} соответственно. Через Ũ (через Ṽ) обозначаем ∗ - слабое (см. [3, (3.4.13)]) замыкание множества {u ∗ η_{1} : u ∈ U} (множества {v ∗ η_{2} : v ∈ V });

Ũ_{∂} ≜ \{μ ∈ Ũ | ( ∫_{I_{1}} γ_{i}dμ)_{i∈\overline{1,p}} ∈ Y \} , Ṽ_{∂} ≜ \{ν ∈ Ṽ | ( ∫_{I_{2}} ω_{j}dν)_{j∈\overline{1,q}} ∈ Z\} .

Справедливы следующие свойства эквивалентности:

(Ũ_{∂} ≠ ∅) ⇔ (U_{∂}[ε] ≠ ∅ ∀ε ∈]0, ∞[); (Ṽ_{∂} ≠ ∅) ⇔ (V_{∂}[δ] ≠ ∅ ∀δ ∈]0, ∞[).  (2)

Полагаем в дальнейшем Ũ_{∂} ≠ ∅ и Ṽ_{∂} ≠ ∅. Пусть (см. (2))

𝔙(ε, δ) ≜ sup_{v∈V_{∂}[δ]} inf_{u∈U_{∂}[ε]} Φ(u, v) ∀ε ∈]0, ∞[ ∀δ ∈]0, ∞[;

𝕍 ≜ max_{ν∈Ṽ_{∂}} min_{μ∈Ũ_{∂}} f_{0} (( ∫_{I_{1}} α_{i}dμ)_{i∈\overline{1,k}} , ( ∫_{I_{2}} β_{j}dν)_{j∈\overline{1,l}}) .

∀æ ∈]0, ∞[ ∃ζ ∈]0, ∞[: |𝔙(ε, δ) − 𝕍| < æ ∀ε ∈]0, ζ[ ∀δ ∈]0, ζ[.

Пусть множество {u∗η_{1} : u ∈ U} всюду плотно в Ũ в топологии τ_{0}(L_{1}) [3, (4.2.9)] и {v ∗η_{2} : v ∈ ∈ V \} всюду плотно в Ṽ в топологии τ_{0}(L_{2}), а каждая из функций γ_{i}, i ∈ \overline{1, p} и ω_{j}, j ∈ \overline{1, l} является ступенчатой [1, �2.7] в смысле (I_{1}, L_{1}) и (I_{2}, L_{2}) соответственно. Тогда множество {u ∗ η_{1} : u ∈ U} всюду плотно в Ũ_{∂} (множество {v ∗ η_{2} : v ∈ V} всюду плотно в Ṽ_{∂}) при оснащении 𝔸(L_{1}) и 𝔸(L_{2}) ∗-слабыми топологиями [3, (3.4.13)]; U ≠ ∅, V ≠ ∅. Справедливо равенство: 𝕍 = sup_{v∈V} inf_{u∈U} Φ(u, v).

Из теорем 1, 2 имеем устойчивость по максимину: ∀ζ ∈]0, ∞[ ∃θ_{ζ} ∈]0, ∞[:

|𝔙(ε, δ) − sup_{v∈V} inf_{u∈U} Φ(u, v)| < ζ ∀ε ∈]0, θ_{ζ}[ ∀δ ∈]0, θ_{ζ}[.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ченцов А.Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры, I. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2008. 388 с.

2. Данфорд H., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. 895 с.

3. Chentsov A.G. Finitely additive measures and relaxations of extremal problems. N. Y.; L.; and M.: Plenum Publishing Corporation, 1996. 244 p.

Abstract: The extension of an unstable game problem in the class of finitely additivi measures is considered. Keywords: finitely additive measure; maximin; weak absolute continuity.

Ченцов Александр Георгиевич д. ф.-м. н., профессор Институт математики и механики УрО РАН Россия, Екатеринбург e-mail: chentsov@imm.uran.ru Aleksandr Chentsov doctor of phys.-math. sciences, professor Institute of Mathematics and Mechanics of UrD RAS Russia, Ekaterinburg e-mail: chentsov@imm.uran.ru

Шапарь Юлия Викторовна главный программист Институт математики и механики УрО РАН Россия, Екатеринбург e-mail: shaparuv@mail.ru Yulija Shapar senior programmer Institute of Mathematics and Mechanics of UrD RAS Russia, Ekaterinburg e-mail: shaparuv@mail.ru УДК 519.85

О НЕКОТОРЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ В ПРОСТРАНСТВАХ КРЫЛОВА НАД GF(2)

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} М. А. Черепнев

Ключевые слова: системы линейных уравнений; факторизация; пространство Крылова; алгоритм П.Монтгомери.

Аннотация: Хорошо известно, что задача факторизации целых чисел может быть решена с помощью решений системы линейных уравнений над GF(2). В данной статье представлено несколько результатов, которые могут быть полезны при вычислении решений таких систем. Данная техника позволяет работать с блоками векторов для использования машинной арифметики. Представлено несколько новых свойств формулы для решения линейного матричного уравнения из статьи П.Монтгомери об алгоритме решения систем линейных уравнений над GF(2). Эти свойства приводят к некоторым свойствам самих пространств Крылова.

При решении задачи факторизации возникает необходимость решать большие системы линейных однородных уравнений над полем 𝔽 = GF (2). На практике, ввиду особенностей работы с этим полем, вместо векторов удобно рассматривать блоки см. [1,2], то есть матрицы из 𝔽^{N×n}, где n – блочный параметр, обычно равный длине машинного слова, 32 или 64 .

Пусть N, M ∈ ℕ и требуется найти нетривиальное решение системы линейных однородных уравнений вида

DX = 0, D ∈ 𝔽^{M×N}, X ∈ 𝔽^{N×n}, M < N.  (1)

Выберем случайно блок Y ∈ 𝔽^{N×n} и рассмотрим систему

AX = B, A ∈ 𝔽^{N×N}, B, X ∈ 𝔽^{N×n},  (1)

где A = D^{T} D ∈ 𝔽^{N×N}, B = AY. Заметим, что любое решение X_{D} системы (1) позволяет построить X_{A} - решение системы (2) по формуле

X_{A} = X_{B} + Y.

Обратно, если есть X_{A} - решение системы (2), то D^{T} D(X_{A} − Y) = 0. Если rangD = M, то из полученного равенства находим, что D(X_{A} − Y) = 0. То есть X_{A} − Y - решение системы (1).

Отметим также, что при n − 1 ⩾ rangD − rangD^{T} D коразмерность пространства решений однородной системы с матрицей D, вложенного в пространство решений однородной системы с матрицей D^{T} D не больше чем n−1. Поэтому, если нам удалось построить n линейно независимых решений второй из этих систем, то некоторая их нетривиальная линейная комбинация будет решением первой.

В данной статье мы рассмотрим симметричный однородный случай. Пусть теперь надо решить систему линейных уравнений вида (2), где A - симметричная матрица.

Определим A-скалярное произведение двух векторов x, y ∈ 𝔽^{N} как (x, y) = x^{T} Ay. Обозначим ⟨W ⟩ векторное подпространство в 𝔽^{N}, порождённое столбцами матрицы W. Будем говорить, что пространства ⟨V ⟩ и ⟨W ⟩ А-ортогональны, если матрица V^{T} AW попарных А-скалярных произведений образующих их векторов равна нулю. Если матрица W^{T} AW обратима, то будем говорить, что А-скалярное произведение на пространстве ⟨W ⟩ невырождено. Обозначим также I_{n} единичную матрицу размера n.

Т е о р е м а 1.

Пусть матрица W ∈ 𝔽^{N×M} такова, что

W^{T} AW − невырожденная матрица,  (3)

а u ∈ 𝔽^{N}. Тогда существует единственный вектор w ∈ ⟨W ⟩, для которого

W^{T} A(u − w) = 0

При этом

w = W (W^{T} AW)^{−1}W^{T} Au.  (4)

Будем в дальнейшем называть w из теоремы 1 А-ортогональной проекцией вектора u на линейное пространство ⟨W ⟩.

Если теперь предположить, что u - решение уравнения (2), то его A-ортогональная проекция на любое подпространство ⟨W ⟩, базис которого, записанный по столбцам, образует матрицу W, удовлетворяющую условию (3), может быть вычислена однозначно по формуле

w = W (W^{T} AW)^{−1}W^{T} B.  (6)

Если же это решение лежит в ⟨W ⟩, то в ⟨W ⟩ оно единственно и определяется формулой (6).

Т е о р е м а 2. Пусть имеется набор попарно А-ортогональных подпространств ⟨W_{i}⟩, i = = 0, 1, …, m−1 в 𝔽^{N}, А-скалярное произведение на которых невырождено. Пусть также матрица А переводит сумму этих подпространств ⟨W ⟩ в себя и ⟨B⟩ ⊆ ⟨W ⟩. Тогда решение системы (4.) в ⟨W ⟩ единственно и задаётся формулой

X = ∑_{i=0}^{m−1} W_{i}(W_{i}^{T} AW_{i})^{−1}W_{i}^{T} B.

Т е о р е м а 3. Пусть пространство Крылова ⟨W ⟩ построено в виде суммы пространств ⟨W_{i}⟩, i = = 0, 1, …, m на первых m − 1, из которых A-скалярное произведение невырождено, с начальным блоком вида W_{0} = B = AY. Пусть ⟨W_{m}⟩ A-ортогонально всему ⟨W ⟩, в частности себе. Пусть A⟨W ⟩ ⊂ ⟨W ⟩ и матричное уравнение (2) имеет решение в виде блока векторов из ⟨W ⟩. Пусть вычислено A⟨W_{m}⟩, и dim⟨W_{m}⟩ = μ > 0. Тогда не более чем за 2\frac{(n+μ−1)(n+μ)}{2}N битовых операций с вероятностью не меньше 1 − \frac{1}{2^{n}} (при условии статистической независимости ⟨Y ⟩ и ⟨W ⟩) может быть вычислено решение системы (2).

Некоторые похожие утверждения приведены в [1].

ЛИТЕРАТУРА

1. Montgomery P.L. A Block Lanczos Algorithm for Finding Dependencies over GF(2). Advances in Cryptology - EuroCrypt’95 / L. C. Guillou and J.-J. Quisquater, rditors. Berlin: Springer-Verlag, 1995. (Lect. Notes in Comp. Sci. V. 921). P. 106-120.

2. Черепнев M.A. Блочный алгоритм типа Ланцоша решения разреженных систем линейных уравнений // Дискр. математика. 2008. Т. 20. Вып. 1. С. 145-150.

Abstract: It’s well known that integer factorization problem may be solved with the help of solutions of system of linear equations over GF(2) In this article we present some results that may be utilize for calculating solutions of such systems linear equations. This technique permit to work with blocks instead of single vectors, so machin-word operations may be apply. We present some new properties of formula for solution of linear matrix equation from Montgomery’s article about corresponding solution algorithm. This properties leads to some properties of Krylov spaces.

Keywords: system of linear equations; factorization problem; Krylov spaces; Montgomery’s algorithm.

Черепнев Михаил Алексеевич к. ф.-м. н., доцент Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Россия, Москва e-mail: cherepniov@gmail.com Mihail Cherepniov candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Moscow State University named after M.V. Lomonosov Russia, Moscow e-mail: cherepniov@gmail.com

УДК 517.91

БИФУРКАЦИЯ АНДРОНОВА-ХОПФА В СИСТЕМАХ С НЕГЛАДКИМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} И. В. Шарафутдинов

Ключевые слова: точка бифуркации; задача о бифуркации Андронова-Хопфа; негладкие нелинейности.

Аннотация: Рассматривается задача о бифуркации Андронова-Хопфа в случае, когда нелинейные части системы разрывны в точке бифуркации или в некоторой ее окрестности.

Пусть в пространстве ℝ^{N} задан некоторый вектор b = (b_{1}, b_{2}, …, b_{N}). Определим гиперплоскость P_{0} следующим образом:

P_{0} = x ∈ ℝ : (x, b) = 0.

Положим

P_{+} = x ∈ ℝ : (x, b) ⩾ 0 , P_{−} = x ∈ ℝ : (x, b) < 0.

Пусть T (0, δ) – замкнутый шар с центром в начале координат и радиусом, равным δ. Положим

B_{+}(δ) = P_{+} ∩ T (0, δ)

– полушар, лежащий с одной стороны от гиперплоскости P_{0}.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

x′ = f(x, y),  (1)

где f(0, λ) ≡ 0 , f(x, λ) ∈ C^{k}(B_{+}(δ)) , k ⩾ 2. В этом случае никаких требований относительно гладкости функции f(x, λ) во множестве ℝ^{N}\B_{+}(δ) не накладывается.

В полушаре B_{+}(δ) система (1) запишется в виде

x′ = f′_{x}(0, λ)x + o(x).

Здесь f′_{x} – односторонняя производная функции f(x, λ) в полушаре B_{+}(δ). Положим A(λ) = = f′_{x}(0, λ). Получим

\{ \begin{matrix}x′ = A(λ)x + ε(x, λ) , & x ∈ B_{+}(δ), \\ x′ = f(x, λ) , & x ∉ B_{+}(δ) \end{matrix}

Аналогично можно ввести в рассмотрение систему

\{ \begin{matrix}x′ = A(λ)x + ε_{1}(x, λ) , & x ∈ B_{+}(δ), \\ x′ = A(λ)x + ε_{2}(x, λ) , & x ∈ B_{−}(δ) \end{matrix}

В качестве примера рассмотрим систему

A(λ) = (\begin{matrix}2λ − 1 & −1 & 0 \\ 1 & 2λ − 1 & 0 \\ 0 & 0 & −λ \end{matrix}) (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) + a(x, λ),

где

a(x, λ) = (\begin{matrix}x_{1}x_{3} \\ x_{2}x_{3} \\ −(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) \end{matrix}) при x_{3} < 0 , a(x, λ) = (\begin{matrix}−x_{1}x_{3} \\ −x_{2}x_{3} \\ −(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) \end{matrix}) при x_{3} > 0.

В нуле вектор-функция a(x, λ) непрерывна, но не гладкая.

Проведя исследование, можно убедиться, что эта система с кусочно заданной нелинейностью

не имеет циклов при λ < \frac{1}{2} , а при λ > \frac{1}{2} имеет семейство циклов в полупространстве x_{3} < 0.

Далее рассмотрим двумерный пример. Пусть плоскость (x_{1}, x_{2}) разделена надвое прямой x_{1} = = x_{2}. Вектор, ортогональный этой прямой, имеет координаты b = (−1, 1). Рассмотрим систему, заданную по-разному в двух полуплоскостях:

\begin{cases}x′_{1} = λx_{1} − x_{2} − x_{1}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) \\ x′_{2} = x_{1} + λx_{2} − x_{2}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) \end{cases} , (b, x) ⩾ 0

\begin{cases}x′_{1} = λx_{1} − x_{2} + x_{1}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) \\ x′_{2} = x_{1} + λx_{2} + x_{2}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) \end{cases} , (b, x) < 0

Матрицы Якоби для каждой нелинейности такие:

a′_{1}(x, λ) = (\begin{matrix}−3x_{1}^{2} − x_{2}^{2} & −2x_{1}x_{2} \\ −2x_{1}x_{2} & −x_{1}^{2} − 3x_{2}^{2} \end{matrix})

a′_{2}(x, λ) = (\begin{matrix}3x_{1}^{2} + x_{2}^{2} & 2x_{1}x_{2} \\ 2x_{1}x_{2} & x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2} \end{matrix})

Таким образом, в точке (0, 0) и в каждой полуплоскости нелинейность a(x, λ) гладкая. А на прямой x_{1} = x_{2}, кроме точки (0, 0), нелинейность a(x, λ) не гладкая и даже разрывна.

Система имеет семейство циклов при λ = 0 и не имеет циклов при λ ≠ 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

2. Красносельский М.А., Кузнецов Н.А., Юмагулов М.Г. Операторный метод анализа устойчивости циклов при бифуркации Хопфа // АиТ. 1996. � 12. С. 24-30.

3. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971.

4. Козякин В.С., Красносельский М.А. Метод функционализации параметра в задаче о точках бифуркации // Докл. АН СССР. 1980. Т. 254. � 5. С. 1061-1064.

Abstract: The problem of Andronov-Hopff bifurcation in the case when the nonlinear parts of the system are discontinuous at the bifurcation point or in some its neighborhood is considered.

Keywords: bifurcation point; the problem of Andronov-Hopff bifurcation; non-smooth nonlinearities.

Шарафутдинов Ильдар Вакильевич старший преподаватель Стерлитамакская государственная педагогическая академия им. Зайнаб Биишевой Россия, Башкортостан, Стерлитамак sh ildar 79@mail.ru Ildar Sharafutdinov senior teacher Sterlitamaksk State Pedagogical Academy named after Zainab Biisheva Russia, Bashkortostan, Sterlitamak sh ildar 79@mail.ru

УДК 517.929

SINGULAR PERTURBATION ANALYSIS FOR WALLS AND GENE REGULATORY NETWORK WITH DELAY ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} I. Shlykova, A. Ponossov

Keywords: gene regulation; delay equations; singular perturbation analysis.

Abstract: The main result of the work provides a mathematical justification of the simplified analysis of gene regulatory networks under the present of delays. The emphases are put on sliding modes along one or more thresholds, which requires singular perturbation analysis.

We study the delay system

\begin{matrix}ẋ_{i} = F_{i}(Z_{1}, ..., Z_{m}) − G_{i}(Z_{1}, ..., Z_{m})x_{i} \\ Z_{k} = Σ(y_{i(k)}, θ_{k}, q_{k}) \\ y_{i}(t) = (ℜ_{i}x_{i})(t), t ⩾ 0, i = 1, ..., n, k = 1, ..., m. \end{matrix}  (1)

This system describes a gene regulatory network with autoregulation [1], [2], where changes in one or more genes happen slower than in the others, which causes delay effects in some of the variables. The functions F_{i}, G_{i} are affine in each Z_{k}, F_{i}(Z_{1}, ..., Z_{m}) ⩾ 0, G_{i}(Z_{1}, ..., Z_{m}) > 0 for 0 ⩽ Z_{k} ⩽ 1 (k = 1, ..., m). F_{i} and G_{i} stand for the production rate and the relative degradation rate of the product of gene i, respectively, and x_{i} denotes the gene product concentration. The input variables y_{i} endow Equations 1 with feedbacks which, in general, are described by nonlinear Volterra ("delay") operators ℜ_{i} depending on the gene concentration x_{i}(t). The delay effects in the model arise from the time required to complete transcription, translation and diffusion to the place of action of a protein. As in [1] we assume ℜ_{i} to be integral operators of the form

1The present study was partially supported by the National Programme for Research for Functional Genomics in Norway (FUGE) in the Research Council of Norway and by the Norwegian Council of Universities’ Committee for Development Research and Education (NUFU), grant no. NUFUSM-2008/10229.

(ℜ_{i}x_{i})(t) = ^{0}cx_{i}(t) + ∫_{−∞}^{t} K_{i}(t − s)x_{i}(s)ds, t ⩾ 0, i = 1, ..., n,

where K_{i}(u) = ∑_{ν=1}^{p} ^{ν}c_{i} ·^{ν}K_{i}(u) , ^{ν}K_{i}(u) = \frac{α_{i}^{ν} · u^{ν−1}}{(ν − 1)!} e^{−α_{i}u}, (ν = 0, ..., p, i = 1, ..., n). The coefficients

νc_{i} are real nonnegative numbers satisfying ∑_{ν=0}^{p} ^{ν}c_{i} = 1 and α_{i} > 0.

The "response functions"Z_{k} express the effect of the different transcription factors regulating the expression of the gene. Assume that each Z_{k} is the Hill function given by

Z_{k} = Σ(y_{k}, θ_{k}, q_{k}) = \{ \begin{matrix}0 & if y_{k} < 0 \\ \frac{y_{k}^{1/q_{k}}}{y_{k}^{1/q_{k}} + θ_{k}^{1/q_{k}}} & if y_{k} ⩾ 0 \end{matrix}

for q_{k} > 0. If q_{k} = 0 then Z_{k} becomes the unit step function.

To study (1) we apply the modification of linear chain trick method described in [1]. It helps us to remove the delay from the system and obtain the following equivalent system of ordinary differential equations

\begin{matrix}ẋ_{i} = F_{i}(Z_{1}, ..., Z_{m}) − G_{i}(Z_{1}, ..., Z_{m})x_{i} \\ ^{1}v̇_{i} = −α_{i} ·^{1}v_{i} + α_{i} ·^{2}v_{i} + α_{i}x_{i}(^{0}c_{i} +^{1}c_{i}) +^{0}c_{i}(F_{i}(Z_{1}, ..., Z_{m}) − G_{i}(Z_{1}, ..., Z_{m})x_{i}) \\ ^{2}v̇_{i} = −α_{i} ·^{2}v_{i} + α_{i} ·^{3}v_{i} + α_{i}x_{i} ·^{2}c_{i} \\ … \\ ^{p}v̇_{i} = −α_{i} ·^{p}v_{i} + α_{i}x_{i} ·^{p}c_{i} \\ Z_{k} = Σ(y_{i(k)}, θ_{k}, q_{k}), y_{i} = ^{1}v_{i}, i = 1, …, n, k = 1, …, m. \end{matrix}  (2)

We study the situation where exactly one of the variables y_{i} (i = 1, ..., n) in (2) approaches one of its threshold values θ_{k}, while the others stay away from their thresholds. Renumbering we can always assume that the singular variable is y_{1}. In the limit, i.e. as q̄ = (q_{1}, ..., q_{m}) → ¯0, we obtain that y_{1} = θ_{1} and Z_{k}(y_{k}) = 1 or 0 for k ⩾ 2.

Assume that (2) is equipped with the initial conditions x(t_{0}, q̄) = x^{0}(q̄), v(t_{0}, q̄) = v^{0}(q̄) and consider the wall W = {(x, v) : {y_{1} = θ_{1}}, Z_{k}(y_{k}) = B_{k}, k ⩾ 2}, where x = (x_{1}, ..., x_{n}), v = = (v_{1}, ..., v_{n}), B_{k} is a Boolean variable associating to each Z_{k} by B_{k} = 0 if y_{k} < θ_{k} and B_{k} = 1 if y_{k} > θ_{k}.

We want to find the conditions when the solutions of the smooth problem (2) uniformly converge to the solution of the limit system for q̄ = ¯0. To do this we use the singular perturbation analysis and replace y_{1} with Z_{1} [2]. This gives us the following equation of motion in W

\begin{matrix}q_{1}Ż_{1} = \frac{Z_{1}(1 − Z_{1})}{Σ^{−1}(Z_{1}, θ_{1}, q_{1})}(−α_{1}Σ^{−1}(Z_{1}, θ_{1}, q_{1}) + α_{1} ·^{2}v_{1} + α_{1}x_{1}(^{0}c_{1} +^{1}c_{1}) +^{0}c_{1}(F_{1}(Z_{1}, Z_{R})− \\ G_{1}(Z_{1}, Z_{R})x_{1})) \\ ẋ_{i} = F_{i}(Z_{1}, Z_{R}) − G_{i}(Z_{1}, Z_{R})x_{i}, \\ ^{1}v̇_{j} = −α_{j} ·^{1}v_{j} + α_{j} ·^{2}v_{j} + α_{j}x_{j}(^{0}c_{j} +^{1}c_{j}) +^{0}c_{j}(F_{j}(Z_{1}, Z_{R}) − G_{j}(Z_{1}, Z_{R})x_{j}) \\ ^{2}v̇_{i} = −α_{i} ·^{2}v_{i} + α_{i} ·^{3}v_{i} + α_{i}x_{i} ·^{2}c_{i} \\ … \\ ^{p}v̇_{i} = −α_{i} ·^{p}v_{i} + α_{i}x_{i} ·^{p}c_{i}, i = 1, …, n, j = 2, ..., n. \end{matrix} (3)

Consider Equation (3) with the initial conditions

x(t_{0}, q̄) = x^{0}(q̄), Z_{1}(t_{0}, q_{1}) = Z^{0}(q_{1}), ^{1}v_{1}(t_{0}, q̄) = θ_{1}, v(t_{0}, q̄) = (v_{1,R}, v_{2}, ..., v_{n}) = v^{0}(q̄), (4)

where v_{1,R} = (^{2}v_{1},^{3}v_{1}, ...,^{p}v_{1})

Let q̄ go to ¯0 and consider the corresponding reduced system

\begin{matrix}\frac{Z_{1}(1 − Z_{1})}{θ_{1}}(−α_{1}θ_{1} + α_{1} ·^{2}v_{1} + α_{1}x_{1}(^{0}c_{1} +^{1}c_{1}) +^{0}c_{1}(F_{1}(Z_{1}, B_{R})− \\ G_{1}(Z_{1}, B_{R})x_{1})) = 0 \\ ẋ_{i} = F_{i}(Z_{1}, B_{R}) − G_{i}(Z_{1}, B_{R})x_{i}, \\ ^{1}v̇_{j} = −α_{j} ·^{1}v_{j} + α_{j} ·^{2}v_{j} + α_{j}x_{j}(^{0}c_{j} +^{1}c_{j}) +^{0}c_{j}(F_{j}(Z_{1}, B_{R}) − G_{j}(Z_{1}, B_{R})x_{j}) \\ ^{2}v̇_{i} = −α_{i} ·^{2}v_{i} + α_{i} ·^{3}v_{i} + α_{i}x_{i} ·^{2}c_{i} \\ … \\ ^{p}v̇_{i} = −α_{i} ·^{p}v_{i} + α_{i}x_{i} ·^{p}c_{i}, i = 1, …, n, j = 2, ..., n. \end{matrix}  (5)

where B_{R} = (B_{2}, ..., B_{m}) with the initial conditions x(t_{0}, ¯0) = x^{0}(¯0), v(t_{0}, ¯0) = v^{0}(¯0).

Theorem 1. Suppose that W is an attractive wall (or an attractive part of the wall) and the limit initial point belongs to W, i.e. (x^{0}(q̄), v^{0}(q̄)) → (x^{0}(¯0), v^{0}(¯0)) ∈ W as q̄ → ¯0. Denote by Ẑ_{1} = Ẑ_{1}(x_{1},^{2}v_{1}), 0 < Ẑ_{1} < 1 a unique solution of the first equation in (5).

Then there exists T_{0} > t_{0} such that

lim_{q̄→¯0} x(t, q̄) = x(t, ¯0), lim_{q̄→¯0} v(t, q̄) = v(t, ¯0), t ∈ [t_{0}, T_{0}],  (6)

the convergence is uniform in t ∈ [t_{0}, T_{0}], where x(t, ¯0), v(t, ¯0) satisfy the system

\begin{matrix}ẋ_{i} = F_{i}(Z_{1}, B_{R}) − G_{i}(Z_{1}, B_{R})x_{i}, \\ ^{1}v̇_{j} = −α_{j} ·^{1}v_{j} + α_{j} ·^{2}v_{j} + α_{j}x_{j}(^{0}c_{j} +^{1}c_{j}) +^{0}c_{j}(F_{j}(Z_{1}, B_{R}) − G_{j}(Z_{1}, B_{R})x_{j}) \\ ^{2}v̇_{i} = −α_{i} ·^{2}v_{i} + α_{i} ·^{3}v_{i} + α_{i}x_{i} ·^{2}c_{i} \\ … \\ ^{p}v̇_{i} = −α_{i} ·^{p}v_{i} + α_{i}x_{i} ·^{p}c_{i}, i = 1, …, n, j = 2, ..., n. \end{matrix}  (7)

with the initial conditions (4).

Moreover, we have lim_{q_{1}→0} Z_{1}(t, q_{1}) = Ẑ_{1}, σ ⩽ t ⩽ T_{0}, the convergence is uniform on any [σ, T_{0}], σ > t_{0}.

Theorem 1 gives us opportunity to extend the solution along an attractive part of a wall, moreover this extension is unique and satisfies (7). Also, according to the formulas (6), we get the convergence of smooth solutions to the limit solutions as q̄ → ¯0.

REFERENCES 1. Shlykova I., Ponosov A., Shindiapin A., and Nepomnyashchikh Yu. A general framework for stability analysis of

gene regulatory networks with delay, Electron // J. Diff. Eqns. 2008. V. 2008. No. 104. P. 1-36.

2. Plahte E. and Kjøglum S. Analysis and generic properties of gene regulatory networks with graded response functions // Physica D. 2005 V. 201, No. 1-2. P. 150-176.

Аннотация: В данной работе дано математическое обоснование замещения общей модели генных сетей с запаздыванием более простой задачей, которая не содержит запаздывания. Доказана правомерность применения анализа сингулярных возмущений для полученной проблемы, показано, что этот метод позволяет значительно упростить анализ поведения траекторий вдоль сингулярных областей.

Ключевые слова: регулировка генных сетей; уравнения с запаздыванием; анализ методов сингулярных возмущений.

Irina Shlykova post-graduate student Norwegian University of Life Sciences Norway, Aas e-mail: irinsh@umb.no Шлыкова Ирина Викторовна аспирант Норвежский университет естественных наук Норвегия, Ос e-mail: irinsh@umb.no Arcady Ponossov doctor of phys.-math. sciences, professor Norwegian University of Life Sciences Norway, Aas e-mail: arkadi@umb.no Поносов Аркадий Владимирович д. ф.-м. н., профессор Норвежский университет естественных наук Норвегия, Ос e-mail: arkadi@umb.no

УДК 512.8

КЛАССЫ ОКРЕСТНОСНЫХ СИСТЕМ, ПОЛУЧЕННЫХ НА ОСНОВЕ СЕТЕЙ ПЕТРИ

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} А. М. Шмырин, И. А. Седых

Ключевые слова: идентификация; сети Петри; окрестностные системы.

Аннотация: Введены классы динамических четких и нечетких по значениям и окрестности окрестностных моделей сетей Петри, функционирующих как в четком, так и в нечетком времени.

В работе получены модели окрестностных систем на основе наиболее распространенных классов сетей Петри, которые наследуют некоторые свойства сетей Петри. В связи с этим окрестностные модели, полученные на основе сетей Петри, являются недетерминированными динамическими окрестностными системами [1-4].

Следующей особенностью окрестностных систем, полученных на основе сетей Петри, является их слоевая структура, причем каждый слой представляет собой некоторую окрестность.

Для увеличения возможностей сетей Петри, являющихся сугубо стохастическими, предложена методика детерминизации соответствующих окрестностных систем путем ввода меры недетерминированности. Мера недетерминированности позволяет регулировать стохастичность окрестностной системы за счет ограничений на количество активных слоев. Изменяя меру недетерминированности, можно менять меру стохастичности окрестностной системы. Это позволяет приблизить моделируемые процессы к реальным, которые являются в большей степени детерминированными [1].

Кроме того, в работе введены окрестностные системы с приоритетами, в которых всем слоям приписаны приоритеты (или веса), позволяющие регулировать конфликтные ситуации, возникающие в результате функционирования окрестностной системы, полученной на основе сетей Петри.

В окрестностных системах, полученных на основе классических сетей Петри, время соответствует номеру такта функционирования системы. Для моделирования процессов в реальном времени в работе рассматриваются также окрестностные системы, полученные на основе временных сетей Петри, функционирующие как в четком, так и нечетком времени.

Заметим также, что в приведенных ранее окрестностных моделях рассматривается нечеткость по окрестности. В некоторых видах сетей Петри присутствует нечеткость по значениям (нечеткость маркировки и времени срабатывания перехода). В работе предложены окрестностные системы, объединяющие окрестностную нечеткость с нечеткостью по значениям [2-4].

Для окрестностных систем, полученных на основе сетей Петри, ставится и решается задача смешанного управления, которая в сетях Петри не рассматривается. Предложен квадратичный критерий смешанного управления динамическими окрестностными системами и алгоритм решения задачи смешанного управления [4].

Таким образом, в данной работе рассматриваются различные классы динамических четких и нечетких по значениям и окрестности, линейных и нелинейных окрестностных моделей, функционирующих как в четком, так и в нечетком времени.

ЛИТЕРАТУРА 1. Блюмин С.Л., Шмырин А.М., Седых И.А. Сети Петри с переменной недетерминированностью как

окрестностные системы // Системы управления и информационные технологии. 2008. �3.2(33). С. 228-233.

2. Блюмин С.Л., Шмырин А.М., Седых И.А. Нечеткие сети Петри как окрестностные системы // Системы управления и информационные технологии. 2008. �3.2(33). С. 233-238

3. Блюмин С.Л., Шмырин А.М., Седых И.А. Моделирование нечётких сетей Петри окрестностными системами // Нечеткие системы и мягкие вычисления (НСМВ-2008): сб. науч. тр. 2-й Всерос. науч. конф. с междунар. участием. Ульяновск: УлГТУ, 2008. С. 96-104.

4. Шмырин А.М., Седых И.А., Арестова Л.Д. Смешанное управление нечёткими окрестностными системами, полученными на основе нечётких сетей Петри // Информационные технологии моделирования и управления. Научно- технический журнал. Воронеж: Научная книга, 2009. �1(53). С.92-97.

Abstract: the classes of dynamic clear and fuzzy by values and by neighborhood of the neighborhood’s models of Petri nets whitch performance as in clear and so in fuzzy time were introduced.

Keywords: identification; Petri nets; neighborhood’s systems.

Шмырин Анатолий Михайлович д. т. н., доцент Липецкий государственный технический университет Россия, Липецк e-mail: amsh@lipetsk.ru Anatiliy Shmyrin doctor of tech. sciences, senior lecturer Lipetsk State Technical University Russia, Lipetsk e-mail: amsh@lipetsk.ru

Седых Ирина Александровна доцент Институт права и экономики Россия, Липецк e-mail: sedykh-irina@yandex.ru Irina Sedykh senior lecturer Institute of the Right and Economics Russia, Lipetsk e-mail: sedykh-irina@yandex.ru УДК 517.926.4

МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО ВХОДОВ И СТАБИЛИЗИРУЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ^{1}

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} А. А. Щеглова

Ключевые слова: дифференциально-алгебраические уравнения; алгебро-дифференциальная система; управляемость, минимальное число входов; структурная форма; стабилизируемость; управление спектром.

Аннотация: Рассматривается управляемая линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений с тождественно вырожденной матрицей при производной искомой вектор-функции. Исследуются вопросы о стабилизируемости, управляемости показателями Ляпунова и о минимальной размерности вектора управления, при которой система может быть полностью управляема на любом отрезке из области определения. Эти проблемы изучаются применительно к стационарным системам с регулярным пучком, а также к системам с вещественно-аналитическими и гладкими коэффициентами, для которых определены некоторые структурные формы.

Рассматривается линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений

A(t)x′(t) + B(t)x(t) + U(t)u(t) = 0, t ∈ I = [t_{0}, +∞),  (1)

где A(t), B(t) — известные (n × n)-матрицы; x(t) — искомая n-мерная вектор-функция; U(t) — заданная (n × l)-матрица; u(t) — l-мерная вектор-функция управления. Предполагается, что det A(t) ≡ 0 на I. Такие системы называются алгебро-дифференциальными (АДС). Мерой неразрешенности АДС относительно производной служит целочисленная величина r : 0 ⩽ r ⩽ n, называемая индексом.

Исследуется вопрос о минимальном числе входов l ⩽ n, при котором АДС (1) вполне управляема на любом отрезке T ⊂ I. Допускается произвольно высокий индекс неразрешенности и переменный ранг матрицы A(t). Анализ осуществляется в предположениях, обеспечивающих существование некоторых структурных форм для системы (1) [1, 2].

Доказана теорема о минимальном числе входов для АДС с постоянными коэффициентами A, B, U в предположении регулярности матричного пучка λA + B.

Для систем с одним входом в стационарном и нестационарном случаях исследуются вопросы о стабилизируемости и о разрешимости задачи управления показателями Ляпунова. Основные результаты получены в условиях, гарантирующих наличие у АДС (1) так называемой �эквивалентной формы�, в которой разделены �алгебраическая� и �дифференциальная� части.

ЛИТЕРАТУРА 1. Щеглова А.А. Управляемость нелинейных алгебро-дифференциальных систем // Автоматика и

телемеханика. 2008. � 10. С. 57–80.

2. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем. Новосибирск: Наука, 2003.

Abstract: Linear control differential algebraic equations with identically degenerate matrix before the derivative of the desired vector function are considered. The issues of stabilizability, controllability of spectrum, and minimum dimension of control vector necessitated for complete controllability of the system on any closed interval from the domain of definition are investigated. The problems are analyzed in connection with time invariant systems having regular matrix pencils, and also systems with real-analytic or smooth coefficients possessing some structural forms.

1Работа выполнена при финансовой поддержке СО РАН: Интеграционный проект � 85 и Междисциплинарный интеграционный проект � 107.

Keywords: differential algebraic equations; algebraic differential system; controllability; minimum number of inputs; structural form; stabilizability; controllability of spectrum.

Щеглова Алла Аркадьевна д. ф.-м. н., с. н. с. Институт динамики систем и теории управления СО РАН Россия, Иркутск e-mail: shchegl@icc.ru Alla Shcheglova doctor of phys.-math. sciences, professor Institute of System Dynamics and Control Theory of Siberian Department of RAS Russia, Irkutsk e-mail: shchegl@icc.ru Варваринская церковь г. Тамбова. Место крещения А.Н. Колмогорова

В настоящее время на месте Варваринской церкви разбит сквер и находится памятник "Солдатам правопорядка"

ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 14, вып. 4, 2009

Запись в Метрической книге Варваринской церкви г. Тамбова:

ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 14, вып. 4, 2009

846